Matrix Eigenwert

23.06.2007, 16:50

meli05

Matrix Eigenwert

huhu,

ich soll von folgender Matrix die Eigenwerte berechnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 5 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich hab nun mal das 1/6 ignoriert und die determinante einfach berechnet:

raus kam bei mir -> $\begin{eqnarray*} -x^3+12x^2-36x=0 \end{eqnarray*}$ jetzt muss ich ja eigentlich noch die 1/6 darauf anwenden oder? bzw. $\begin{eqnarray*} 1/6^3 \end{eqnarray*}$

wie gehe ich mit dem 1/6 am besten um? muss ich das gleich am anfang mitrechnen? weil mein ergebnis (auch wenn mit 1/216) mal genommen stimmt nicht unglücklich

mfg
meli

23.06.2007, 17:11

cst

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RE: Matrix Eigenwert
Du darfst die $\begin{eqnarray*} 1/6 \end{eqnarray*}$ zunächst unter den Tisch fallen lassen, musst aber zum Schluss alle erhaltenen Eigenwerte mit $\begin{eqnarray*} 1/6 \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

Christian

23.06.2007, 17:23

meli05

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warum nicht mal $\begin{eqnarray*} 1/6^3 \end{eqnarray*}$ wenn ich determinanten berechne muss man das doch machen oder? also soviele zeilen/spalten wie es giobt muss der vorfaktor in potenz gesetzt werden?

trotzdem danke, so stimmt meine lösung dann natürlich Augenzwinkern

ach nochwas:

es war zudem gefragt:

Begründen Sie, wieso die Matrix einer Projektion in eine Ebene entspricht und geben Sie den Normalenvektor dieser Ebene an.

kann mir jmd dazu einen tipp geben? kann mir da kein reim drauf machen? unglücklich

23.06.2007, 18:18

cst

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Zitat:

Original von meli05
warum nicht mal $\begin{eqnarray*} 1/6^3 \end{eqnarray*}$ wenn ich determinanten berechne muss man das doch machen oder?

Es ist zwar $\begin{eqnarray*} det(1/6 A) = 1/6^3 \cdot det(A) \end{eqnarray*}$ , aber du musst ja für die Eigenwerte ansetzen

$\begin{eqnarray*} det(1/6 A - \lambda E) & = & 0~\text{und nicht}\\ det[1/6 (A - \lambda E)] & = & 0 \end{eqnarray*}$ .

Oder anders erklärt:
Wenn
$\begin{eqnarray*} A\cdot \vec{v} & = & \lambda \cdot \vec{v},~\text{dann}\\ \frac{1}{6} A \cdot \vec{v} & = & (\frac{1}{6} \cdot \lambda) \cdot \vec{v} \end{eqnarray*}$ .

Für einen Projektor gilt $\begin{eqnarray*} P^2 = P \end{eqnarray*}$ . Projiziert man einen Vektor auf eine Ebene, der parallel zur Ebene ist, ergibt sich als Bild der Vektor selbst. Projiziert man dagegen einen Vektor auf eine Ebene, der senkrecht zur Ebene ist, ergibt sich als Bild der Nullvektor.

23.06.2007, 20:01

meli05

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so also gut nochmal alles von vorne:

ich sollte von der matrix (s. oben) die eigenwerte- und vektoren berechnen.

ich habe raus $\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2}=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{3}=0 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} \lambda_{3}=0 \end{eqnarray*}$ habe ich die eigenvektoren schon berechnet und es hat alles gestimmt.

nur wenn ich jetzt die eigenvektoren von $\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2}=1 \end{eqnarray*}$ ausrechnen will erhalte ich diese seltsame matrix die sich einfach nicht lösen will...

die unten stehende matrix bzw. gleichungssystem erhalte ich ja so:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \begin{vmatrix} 5-\lambda_{1,2} & -2 & 1 \\ -2 & 2-\lambda_{1,2} & 2 \\ 1 & 2 & 5-\lambda_{1,2} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

=>

ich bekomme aber einfach keine nullzeile hin und kann damit die gleichung nicht lösen und keinen vektor bilden unglücklich

23.06.2007, 20:06

therisen

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Dass das falsch ist, wurde schon in deinem zweiten Thread festgestellt, den ich geschlossen habe.

23.06.2007, 20:24

meli05

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und was ist falsch? traurig

die eigenwerte stimmen laut lösung

23.06.2007, 20:29

cst

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Der Eigenwert der "unmultilplizierten" Matrix ist 6, nicht 1! Du musst entweder erst das 1/6 reinmultiplizieren, dann in der Hauptdiagonalen 1 subtrahieren (und evtl. das 1/6 wieder ausklammern) oder gleich mit der "unmultiplizierten" Matrix rechnen und als Eigenwert 6 nehmen.

24.06.2007, 00:00

meli05

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stimmt shit bin ich verstockt. Hammer

also ich habe nun die matrix auf zeilenstufenform gebracht

es blieb diese zeile übrig

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und eben x1=a, x2=b gesetzt

->x3=a+2b

in meiner lösung steh aber folgendes:

http://vale5.va.funpic.de/l%F6sung.jpg

den vorderen teil mit a erfülle ich ja aber wie komme ich auf den hinteren teil? da müsste ich ja mein x1=a+b setzen oder so???

oder überseh ich jetz wieder was *dies mal auf die uhrzeit schieb* smile

24.06.2007, 11:14

WebFritzi

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Man, die beiden Vektoren in der Musterlösung spannen halt den Lösungsraum auf...

24.06.2007, 11:51

meli05

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ja schon aber wuie komme ich drauf?

24.06.2007, 12:05

therisen

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Der Lösungsraum ist zweidimensional. Also: Wenn du zwei linear unabhängige Vektoren aus deinem Lösungsraum hast, dann bilden diese bereits eine Basis.

Und: Tatsächlich erfüllen $\begin{eqnarray*} (1,0,1)^t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1,-1,-1)^t \end{eqnarray*}$ die Bedingung

$\begin{eqnarray*} -x_1-2x_2+x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

und sie sind linear unabhängig...

Gruß, therisen

24.06.2007, 12:21

meli05

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d.h. ich suche mir zu dem vektor 1,0,1 einen linear unabhäöngigen? kann ich mir den auch erechnen-=?

24.06.2007, 12:27

therisen

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Ich denke der zweite Vektor wurde eher durch scharfes hinschauen gefunden. Aber natürlich kannst du ihn auch berechnen, in dem du ein neues lineares Gleichungssystem löst. Aber wozu das alles? Es ist s...ehr egal, mit welcher Basis des Lösungsraumes du arbeitest. Mach dir das Leben nicht schwerer als es eh schon ist Augenzwinkern

24.06.2007, 13:01

meli05

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hm ok und wo muss ich scharf hinschaun, dass ich den erkenne komme nämlich irgendwie nicht drauf unglücklich

und wie sähe theoretisch das gleichungssystem aus dass ich noch lösen müsst um auf den vektor zu kommen.?

hab ich jetzt eigentlich damit eine projektion der matrix in eine ebene erreicht oder? wenn ich jetzt den normalenvektor dieser ebene will kann ich das mit dem kreuzprodukt aus den beiden vektoren machen oder?

danke für eure gedult Augenzwinkern

24.06.2007, 17:25

cst

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*haarerauf* Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} -x_1-2x_2+x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ heißt umgestellt

$\begin{eqnarray*} x_1= -2x_2+x_3 \end{eqnarray*}$ .

Wähle für die (beliebigen) Parameter $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ z.B. $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und du erhältst den ersten Eigenvektor. Für die Wahl $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ erhältst du den zweiten. Der Normalenvektor wird bei der Projektion auf "einen Punkt" (Nullvektor) abgebildet, also ist der Eigenvektor zum Eigenwert 0 gleich dem Normalenvektor. Natürlich kannst du auch aus $\begin{eqnarray*} (1,0,1)^t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1,-1,-1)^t \end{eqnarray*}$ das Kreuzprodukt bilden, am einfachsten aber liest du ihn aus der Ebengleichung $\begin{eqnarray*} -x_1-2x_2+x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ ab -- kommt jedesmal dasselbe raus.

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