Gleichungssystem und Eigenwerte/vektoren

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meli05 Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem und Eigenwerte/vektoren
Hallo Wink

ich habe folgende matrix gegeben:

http://www.theochem.uni-stuttgart.de/~100on/mathe/mathe2/6.10/gifs/img6.10.4.a.gif

und soll nun die inverse matrix davon berechnen, um damit das Gleichungssystem zu lösen...


inverse hab ich das raus:



nun ist mir aber nicht klar wie ich damit das gleichungssystem lösen kann?`? verwirrt
danke schonmal smile

mfg
Meli
therisen Auf diesen Beitrag antworten »



Multipliziere von links mit , das liefert




Gruß, therisen
meli05 Auf diesen Beitrag antworten »

ah alles klar hat gepasst danke Augenzwinkern

nun soll ich über den Ansatz die Eigenwerte und Vektoren bestimmen...


kann ich das auch über die inverse machen, so wie oben? oder muss ich da jetzt :



dieses system auflösen?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt, dass das, was du da geschrieben hast, Quatsch ist? Eine Matrix ist nicht gleich einem Vektor! Zudem solltest du dir die Definition von Eigenwerten und -vektoren mal anschauen.
meli05 Auf diesen Beitrag antworten »

ich komm einfach nicht drauf, was ich mit dem x=(1,a,a^2) anfangen soll :-(

folgende definition habe ich gefunden:

http://upload.wikimedia.org/math/1/a/d/1ad6377fedc3454bfe4030367e8b6bfd.png

das ergäbe ja:



mhh kannst du mir nen tipp geben :-(
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von meli05
ich komm einfach nicht drauf, was ich mit dem x=(1,a,a^2) anfangen soll :-(

Das ist mir auch rätselhaft. Kannst du mal den kompletten Aufgabentext posten?

Die Eigenwerte sind die Nullstellen vom charakteristischen Polynom. Dies wiederum ist die Determinante det(A - lambda*E).
 
 
meli05 Auf diesen Beitrag antworten »

also es steht folgendes da:

Gegeben ist die Matrix

http://www.theochem.uni-stuttgart.de/~100on/mathe/mathe2/6.10/gifs/img6.10.4.a.gif

a) Berechnen Sie A-1.

b) Lösen Sie damit das inhomogene Gleichungssystem x=(1,2,3) .

c) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von A über den Ansatz x=(1,a,a^2)

a und b habe ich ja gelöst...

zu c) noch folgender tipp:

"Das durch den gegebenen Ansatz erhaltene lineare Gleichungssystem läßt sich zu einer Bestimmungsgleichung für den Parameter a umformen. Aus den Lösungen dieser Gleichungen lassen sich die Eigenwerte c berechnen. Wieso kann man komplexe Eigenwerte erwarten?"

verwirrt

danke für die mühe"

lg
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe das auch nicht. verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja. Mit dem etwas unverständlichen Ansatz x=(1,a,a^2) kommen wir auf das GLS:



Mit ein paar Umformungen kann man daraus eine Gleichung für lambda aufstellen.
meli05 Auf diesen Beitrag antworten »

mhh man soll ja laut tipp erstmal ein gleichungsystem so umformen, dass man das a errechnen kann und daraus dann die eigenwerte?!

geht das mit deinem ansatz @ klarsoweit

was mich verwirrt für a gibt es anscheinend drei lösungen d.h. man müsste ja irgendwo irgendwie auf kommen nur wo ?
verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösung EV (1,1,1) ist ja offensichtlich. Lambda dazu ist 6. Aber mit welcher Motivation soll man auf den "a"-Vektor kommen? verwirrt

Es hätte ja nichts gegen die übliche Vorgehensweise gesprochen. Aber wie sieht man dieser Matrix an, dass ein EV diese Gestalt haben muss... verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von meli05
mhh man soll ja laut tipp erstmal ein gleichungsystem so umformen, dass man das a errechnen kann und daraus dann die eigenwerte?!

Ob man alle Eigenwerte über diesen Ansatz berechnen kann ist fraglich, denn dann müßten alle Eigenvektoren die Form (1; a; a²) haben. Und ob du aus dem GLS erst das a oder erst das lambda bestimmst, ist dir überlassen.

Zitat:
Original von meli05
was mich verwirrt für a gibt es anscheinend drei lösungen d.h. man müsste ja irgendwo irgendwie auf kommen nur wo ?
verwirrt

Wieso sollte es für a 3 Lösungen geben? Denkbar wäre auch, daß es nur 1 oder 2 Lösungen gibt.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit: vertausch mal 2. und dritte Zeile. Dann sollte klar werden, dass es drei l.u. Eigenvektoren geben muss.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich verstehe jetzt die Welt nicht mehr. Wenn ich Eigenwerte und -Vektoren auf dem klassischen Weg bestimme, dann erhalte ich den Eigenwert 6 und den Eigenvektor (1, 1, 1). Nicht mehr und nicht weniger. Die Existenz von 3 linear unabhängigen Eigenvektoren ist im Bereich der reellen Zahlen weit und breit nicht erkennbar.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

War ein kleiner Gedankenfehler von mir. Augenzwinkern Big Laugh
meli05 Auf diesen Beitrag antworten »

also es müssen komplexe a's und komplexe eigenwerte rauskommen..

in der lösung steht:

die punkte muss ich rausfinden Big Laugh








verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von meli05
also es müssen komplexe a's und komplexe eigenwerte rauskommen..

Von mir aus auch das. Wie wäre es, wenn du deine Rechnung einfach mal hier hinschreiben würdest? Dann schauen wir weiter.
meli05 Auf diesen Beitrag antworten »

ja wüsst ich wie ichs rechnen muss hätte cih ja nicht hier nachgefragt unglücklich ich weiß leider auch nicht wie man da drauf kommen soll... naja ich werd morgene mal mein mathe tutor fragen...

mfg
meli
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Nun ja. Mit dem etwas unverständlichen Ansatz x=(1,a,a^2) kommen wir auf das GLS:



Mit ein paar Umformungen kann man daraus eine Gleichung für lambda aufstellen.

Also ich weiß nicht, wo jetzt das Problem ist. Mache aus obiger Gleichung ein GLS mit 3 Gleichungen und löse nach a oder lambda auf. Wo hängt es denn da?
meli05 Auf diesen Beitrag antworten »

ja wenn ich rechne:






komme ich schlussendlich auf wenn ich jetzt für 6 einsetze (einer der Eigenwerte!) komm ich auf und damit nur auf sehr scheusliche lösungen...

vor allem sollte es ja für a nur 3 lösungen geben, wenn ic jetzt die andren beiden Eigenwerte einsetze, dann hab ich ja 4 lösungen unglücklich
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von meli05
komme ich schlussendlich auf (

Du solltest das GLS so umformen, daß du eine Gleichung bekommst, in der nur lambda oder nur a vorkommt. Ich mache das mal vor:

* 2
* (-3)






2. Gleichung zur 1. Gleichung addieren:




1. Gleichung weiter umformen:




Das kannst du jetzt in die 3. Gleichung einsetzen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zwischenfrage

Ist der Zettel eigentlich schon abgegeben, oder klar warum dieser a-Vektor gewählt wurde? Wink
meli05 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Wink

leider sind wir in der übstd noch nicht bis zu dieser aufgabe gekommen, warum dieser vektor gewählt wurde??? um studenten zu quälen denk ich smile

also ich frage mich warum ich



oben einsetzen muss?

wenn ich jetzt und einsetze komme ich auf und

diese a's stehen auch in meiner lösung!

jetzt ist nur meine frage, wie komme ich von



auf

wieder die leichtesten umformungen die ich nicht hinbekommen *schäm!

2.

jetz hab ich ja die und die wie komme ich jetzt auf die eigenvektoren?
damit?
[/latex]

indem ich dort eben a und lamdba einsetze und die gleichung löse?



danke für eure hilfe Mit Zunge
mfg
meli
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von meli05
also ich frage mich warum ich



oben einsetzen muss?

...

jetz hab ich ja die und die wie komme ich jetzt auf die eigenvektoren?
damit?
[/latex]

indem ich dort eben a und lamdba einsetze und die gleichung löse?

Also deine Fragen zeigen mir, daß du (oder ich???) das ganze wirklich noch nicht verstanden hast. Deswegen nochmal von vorn, so wie ich die Sache sehe:

Eigenwerte bestimmt man typischer Weise über die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Aus irgendwelchen Gründen (die ich nicht kenne) verzichtet man darauf und macht folgenden Ansatz (dessen Motivation ich ebenfalls nicht kenne):



Dieses GLS entspricht 3 Gleichungen, aus denen man irgendwie das lambda und das a bestimmen soll. Das heißt, zu dem Zeitpunkt, wo man die Beziehung hat, weiß man die Eigenwerte noch nicht. Deswegen muß man damit in die 3. Gleichung gehen, so daß man eine Gleichung erhält, in der nur noch das lambda vorkommt. Wenn man dann die lambda-Lösungen hat, kann man auch die entsprechenden a-Werte bestimmen. Die gefundenen a-Lösungen muß man dann nur noch in den Ansatz für den Eigenvektor eintragen, also in , und dann hat man sie. Augenzwinkern

Zitat:
Original von meli05
jetzt ist nur meine frage, wie komme ich von



auf

wieder die leichtesten umformungen die ich nicht hinbekommen *schäm!

Ich würde den oberen Bruch mal mit erweitern. Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke schon, dass Du (klarsoweit) es verstanden hast. Augenzwinkern Ich muss gestehen, dass meine Neugier doch sehr steigt, wie man der Matrix ansehen soll dass ihre Eigenvektoren von der Form



sind. (böse Endlich wissen will Big Laugh )
meli05 Auf diesen Beitrag antworten »

dann verstehe ich trotzdem nicht, wieso ich, wenn ich die normalen eigenwerte einsetze trotzdem auf die a werte komme die in der lösung stehen unglücklich

und wenn ich den oberen term mit erweitere erhalte ich das:



=



auch nicht besser als davor?! unglücklich

danke echt das ihr hier am ball bleibt, obwohl sich das thema ja schon etwas zieeeht smile

lgmeli
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von meli05
dann verstehe ich trotzdem nicht, wieso ich, wenn ich die normalen eigenwerte einsetze trotzdem auf die a werte komme die in der lösung stehen unglücklich

Weil (aus Gründen, die ich nicht verstehe) der Ansatz mit Eigenvektoren (1, a, a²) zu einem GLS führt, das eben lösbar ist. Und wenn man diese Lösungen nimmt, dann sind das per Definition Eigenwerte bzw. -vektoren.

Zitat:
Original von meli05
und wenn ich den oberen term mit erweitere erhalte ich das:

Da hast du meinen Tipp nicht richtig gelesen. unglücklich
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Zwischenfrage

Ist der Zettel eigentlich schon abgegeben, oder klar warum dieser a-Vektor gewählt wurde? Wink
meli05 Auf diesen Beitrag antworten »

soll ich mal meinen matheproof fragen ? smile

wäre es mit einem anderen nicht gegangen oder wie?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde eben gerne wissen, woher er direkt aus der Matrix weiß, dass die EVs die Gestalt



haben. I.A. weiß man das nicht und sein Lösungsweg ist eher untypisch.
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