Euklidischer Algorithmus

24.01.2005, 22:22

Dryandra

Euklidischer Algorithmus

Hi ich bräuchte mal Hilfe zu folgender Aufgabe

Berechnen siein folgenden Ringen R mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus (mit Rechnung) den grössten gemeinsamen Teiler
d:=ggT(a,b) der angegebenen Paare a,b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R, und stellen sie ihn als R-Linearkombination d=ua+vb mit u,v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R dar.

(a) R= $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , a=2759, b=2047

(b)R= $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ [X],a= $\begin{eqnarray*} X^{4}+ 2X^{3} -X^{2}-4X -2 X \end{eqnarray*}$ , b= $\begin{eqnarray*} X^{4} +X^{3} -X^{2} -2X-2 \end{eqnarray*}$

Ich versteh die aufgabe absolut nicht, also bitte dringend um Hilfe, Danke

25.01.2005, 19:32

carsten

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Was genau ist denn unverstaendlich und was ist schon bekannt?

- ggT
- euklidischer Algorithmus
sollten bekannt sein (?)

und von dem Ring nicht verwirren lassen, bei (a) ist das ganz normal, wie als waere da nix von einem Ring erzaehlt. Ist das mit der Linearkombination auch klar ?

bei (b) ist das schon etwas schwieriger, da geht es um alle Polynome mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Ist dafuer klar, wie der euklidische Algorithmus angewendet wird?

Gruesse Carsten

08.02.2005, 12:48

Mark

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Zitat:

Original von carsten

bei (b) ist das schon etwas schwieriger, da geht es um alle Polynome mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Ist dafuer klar, wie der euklidische Algorithmus angewendet wird?

mir ist es nicht klar..hab in etwa das selbe problem, und konnte nirgends eitwas dazu finden, wie ich den eukl. algo auf Funktionen anwende...

wäre schön, wenn du mir evtl weiterhelfen könntest...

08.02.2005, 15:55

Sciencefreak

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Du kannst doch auch einfach Polynome subthrahieren und addieren und so weiter. Da hast du beim euklidischen Algorithmus halt immer ein Polynm und keine Zahl, aber das ändert nichts. Und am Ende muss dann auch wieder ein Polynom herauskommen.
Die erste Zeile müsste dann so in etwa aussehen
a-b= $\begin{eqnarray*} (X^{4}+ 2X^{3} -X^{2}-4X -2 X)-(X^{4} +X^{3} -X^{2} -2X-2) \end{eqnarray*}$
a-b= $\begin{eqnarray*} X^3-4X+2 \end{eqnarray*}$
natürlich musst du dann auch manchmal den Wert den du substahieren willst mit x multiplizieren. Aber das probiere erst mal alleine aus!

08.02.2005, 21:27

fin007

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hi...
also ggt(a,b) von zwei zahlen ist ja relativ leicht mit dem euklidischen alg.
der für polynome geht mehr oder weniger analog wie schon sciencefreak schrieb.
naja wollte dir aber nen guten link geben mit bsp von ggts von polynomen. da siehst du nochmal genau wie es geht...

http://research.mupad.de/LOCAL/LEHRE_UNI...illpeuklid.html

bis dann

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