Determinante einer Symmetrischen KillerMatrix

27.06.2007, 17:36

SilverBullet

Determinante einer Symmetrischen KillerMatrix

Hab hier als Klausurvorbereitung eine Aufgabe :

Berechnen sie die Determinante der Matrix $\begin{eqnarray*} (\frac 1 {i+j})_{i,j= 1,...,n} \end{eqnarray*}$

Also die Matrix sieht dann ja so aus :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac 1 2 & \frac 1 3 & \frac 1 4 & \frac 1 5 & ... & ... & \frac 1 {n+1} \\ \frac 1 3 & \frac 1 4 & \frac 1 5 & \frac 1 6 & ... & ... & \frac 1 {n+2}\\ ...&&\frac 1 6&&&...&...\\ ...& &&&&...&... \\ ...& &&&&...&... \\ \frac 1 {n+1} & \frac 1 {n+2} & ... &&&&\frac 1{2n}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun hab ich aber absolut 0 Idee wie man hier an die Determinante rankommen soll ?!?!

Hab schonmal probier die Determinanten für n = 1,2,3 ausgerechnet die lauten :

$\begin{eqnarray*} Det(A_1) = \frac 1 2, Det(A_2) = \frac 1 {72}, Det(A_3) = \frac 1 {43200} \end{eqnarray*}$

Aber was richtig dollen hab ich hier noch nicht rausgefunden

27.06.2007, 17:52

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Hmmm, zunächst mal nur ein Link-Tipp:

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A067689

Muss jetzt weg, schau aber später vielleicht mal vorbei... Wink

EDIT: Ach ja, noch zwei Stichworte:

Hilbert-Matrix, trifft hier nicht ganz zu, aber nah verwandt. Auf jeden Fall ist es eine Cauchy-Matrix.

EDIT2: Wenn ich mich nicht irre, kommt nun bei Anwendung der Determinantenformel für die Cauchy-Matrix der Wert

$\begin{eqnarray*} \det(A_n) = \frac{a_n^2}{a_{2n}} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a_m: = \prod\limits_{k=1}^m ~ k! = \prod_{k=1}^m k^{m+1-k} \end{eqnarray*}$

heraus. Dazu müsste allerdings diese Determinantenformel als bekannt vorausgesetzt oder aber bewiesen werden. Augenzwinkern

27.06.2007, 20:33

SilverBullet

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Hui sowas hatten wir leider noch nicht.
Es schaut auch ein wenig grausig aus wenn man darauf selber kommen müsste Augenzwinkern

Hab die Formel mal probiert aber ich glaub das passt hier nicht. Entweder ich verrechne mich oder die Formel stimmt für die Matrix von mir halt nicht denn :

$\begin{eqnarray*} Det(A_3) = \frac {(1!2!3!)^2} {(1!2!3!4!5!6!)} = \frac 1 {172800} \end{eqnarray*}$

aber für meine 3x3 Matrix ist $\begin{eqnarray*} Det(A_{3x3}) = \frac 1 {43200} \end{eqnarray*}$

27.06.2007, 20:56

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Hmm ja, da hab ich was vergessen - neuer Anlauf:

$\begin{eqnarray*} \det(A_n) = \frac{a_n^2a_{n-1}^2}{a_{2n}} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a_m: = \prod\limits_{k=0}^m ~ k! \end{eqnarray*}$

Hoffe, jetzt stimmt es. Augenzwinkern

27.06.2007, 21:14

SilverBullet

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Jupp das passt vielen dank.

Ich hatte probiert irgendwie was aus den Matrizen zu lesen.
Es schien auch erfolgsversprechen aus folgendes zu tun

Det(1/2) = 1/2

$\begin{eqnarray*} DET\begin{pmatrix} \frac 1 2 & \frac 1 3 \\ \frac 1 3 & \frac 1 4\end{pmatrix} = \frac 1 2 \cdot \frac 1 3 \cdot \frac 1 3 \cdot \frac 1 4 = \frac 1 {72} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} DET\begin{pmatrix} \frac 1 2 & \frac 1 3 & \frac 1 4 \\ \frac 1 3 & \frac 1 4 & \frac 1 5 \\ \frac 1 4 & \frac 1 5 & \frac 1 6\end{pmatrix} = \frac 1 2 \cdot \frac 1 3 \cdot \frac 1 3 \cdot \frac 1 4 \cdot \frac 1 4 \cdot \frac 1 5 \cdot \frac 1 5 \cdot \frac 1 6 = \frac 1 {43200} \end{eqnarray*}$

Aber das passt schon im nächsten Schritt nicht oder aber ich sehe ein falsches Muster... Ist ja quasi wie nen Rätsel smile

27.06.2007, 23:29

WebFritzi

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Also, wenn Arthurs Formel stimmt, dann stimmt dein Schema leider nicht.

28.06.2007, 14:55

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Ich hab's nochmal überprüft: Sofern die in der Wikipedia angegebene Formel für die Determinante einer Cauchy-Matrix richtig ist, dann stimmt auch meine obige Formel.

Dann kann man ja zunächst mal schauen, welche Faktoren im Nenner von Schritt zu Schritt dazukommen, ansonsten schwirren einem die Fakultäten nur so um die Ohren: smile

$\begin{eqnarray*} \frac{\det(A_{n-1})}{\det(A_n)} = \frac{a_{2n} a_{n-2}^2}{a_{2n-2} a_n^2} = \frac{(2n)!(2n-1)!}{n!^2(n-1)!^2} = \binom{2n}{n} \cdot \binom{2n-2}{n-1} \cdot (2n-1) \end{eqnarray*}$

Hmmm, einfacher kann ich's auch nicht ausdrücken. verwirrt

$\begin{eqnarray*} \det(A_1) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \det(A_2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6\cdot 2\cdot 3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \det(A_3) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6\cdot 2\cdot 3} \cdot \frac{1}{20\cdot 6\cdot 5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \det(A_4) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6\cdot 2\cdot 3} \cdot \frac{1}{20\cdot 6\cdot 5} \cdot \frac{1}{70\cdot 20\cdot 7} \end{eqnarray*}$

28.06.2007, 15:55

SilverBullet

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Zitat:

Also, wenn Arthurs Formel stimmt, dann stimmt dein Schema leider nicht.

Ne ich weiß das hab ich ja auch schnell rausgefunden wollte nur mal meine vorgehensweise posten hätte ja sein können das ich mit dem Schema doch irgendwie auf ne richtige Lösung komme.
Ich frag mich halt nur wie ich auf die richtige Lösung in einer Klausur kommen sollte wenn wir die Formel von Arthur halt nicht kennen.. Naja das wird sich morgen klären dann wird der Zettel besprochen.

Danke jedenfalls nochmal für die Hilfe

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