"Für welche x- Werte nimmt die Funktion f den Funktionswert 0 an?"

25.01.2005, 15:36

Suédoise

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"Für welche x- Werte nimmt die Funktion f den Funktionswert 0 an?"

Also wir haben mal wieder Hausuafgaben auf. Die Afgabe lautet wie folgt: "Für welche x- Werte nimmt die Funktion f den Funktionswert 0 an?" Wir haben in der Schule schon angefangen und Aufgabe a) und b) gerechnet. Ich bin mir aber, was die anderen Ergebnisse betrifft, nicht sicher. Könnte mir bitte

bitte

bitte

jemand sagen, ob sie richtig oder falsch sind?

a) f(x) = x - x²
d.h. x - x² = 0
x (1 - x)= 0
x1= 0 v x2= 1

b) f(x) = x² + x - 2
d.h. x² + x - 2 = 0
(x + 2) (x - 1) = 0
x1= 2 v x2= 1

c) f(x) = 1- 2 hoch x
d.h. 1- 2 hoch x = 0
1 = 2 hoch x
2 hoch 0 = 2 hoch x
x = 0

d) f(x) = 1 - sin x
d.h. 1 - sin x= 0
sin x= 1
x ist ungefähr 1,6

e) f(x) = x³- x²
d.h. x³ - x² = 0
(1x mal 1x mal 1x) - (1x mal 1x) = 0
x1 = 0 v x2 = 1

f) f(x) = x²- 2x - 3
d.h. x² - 2x -3 = 0
?????

g) f(x) = 3 hoch -x - 1
d.h. 3 hoch -x - 1= 0
3 hoch - x = 1
(x: 3) = 1
(x:3) = (3:3)
x = 1

h) f(x) = cos x + 1
d.h. cos x + 1 = 0
cos x = -1
x ist ungefähr 3,1

Bei f) weiss ich nicht, wie ich das machen soll. Ist das eine binomische Formel?
Bei d) und h) habe ich es mir glaub ich auch zu leicht gemacht?!

P.S. Manche Zeichen (z.B. Bruchstriche) wusste ich nicht, wie man die hier schreibt, deswegen habe ich es ausgeschrieben. Im Heft schreibe ich das natürlich anders.

25.01.2005, 15:47

klarsoweit

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RE: "Für welche x- Werte nimmt die Funktion f den Funktionswert 0 an?"

Zitat:

Original von Suédoise
g) f(x) = 3 hoch -x - 1
d.h. 3 hoch -x - 1= 0
3 hoch - x = 1
(x: 3) = 1
(x:3) = (3:3)
x = 1

hää?

verwirrt

Die Aufgabe heißt doch $\begin{eqnarray*} 3^{-x} - 1 = 0 \end{eqnarray*}$ ? Wenn ja, ist in dieser Rechnung der dickste Klops. (Mach mal die Probe.) Löse die doch ähnlich wie c).

f) ist nicht wirklich eine binomische Formel, aber Idee schon richtig. Das Thema heißt da Faktorisieren, also den Ausdruck als (x + ...) * (x + ...) schreiben. Man kann auch mit einer sogenannten quadratischen Ergänzung zur binomischen Formel kommen.

d) und h) Überlege mal wie sin(x) und cos(x) aussehen und wo sin(x) = 1 bzw. cos(x) = -1 ist. Da gibt es mehr als eine Möglichkeit.

e) auch hier ist erstmal Faktorisieren angesagt: also x³ - x² = x² * (.......)

25.01.2005, 15:56

JochenX

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Zitat:

b) f(x) = x² + x - 2
d.h. x² + x - 2 = 0
(x + 2) (x - 1) = 0
x1= 2 v x2= 1

2 stimmt hier auch nicht....

25.01.2005, 16:00

PK

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bei der b) ist noch zusätzlich ein kleiner Vorzeichenfehler.

zu e) und h)... klarsoweit hat eigentlich schon alles gesagt.

Wie sieht es bei dir mit der p-q-Formel aus, mit der bekommst du die f und die b auch gelöst.

die g) geht genauso wie die c).

edit: sorry, ich hab irgendwie LOED gelesen...

25.01.2005, 16:07

JochenX

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Zitat:

zu e) und h)... LOED hat eigentlich schon alles gesagt.

nein, die ehre gehör klarsoweit!

25.01.2005, 16:25

iammrvip

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@Suédoise
nimm ruhig Vieta solange wie du es siehst. p-q-Formel ist umständlich und dauert länger Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

$\begin{eqnarray*} x^2 - 2x - 3 \end{eqnarray*}$ lässt sich auch faktorisieren. Überlege dir, wie kommt man auf $\begin{eqnarray*} -3 \end{eqnarray*}$ ?? und was ergibt die Summe aus $\begin{eqnarray*} -x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -x_2 \end{eqnarray*}$

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25.01.2005, 16:39

Suédoise

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Aufgabe
a) f(x) = x - x²
d.h. x - x² = 0
x (1 - x)= 0
x1= 0 v x2= 1

b) f(x) = x² + x - 2
d.h. x² + x - 2 = 0
(x + 2) (x - 1) = 0
x1= 2 v x2=- 1

c) f(x) = 1- 2 hoch x
d.h. 1- 2 hoch x = 0
1 = 2 hoch x
2 hoch 0 = 2 hoch x
x = 0

d) f(x) = 1 - sin x
d.h. 1 - sin x= 0
sin x= 1
x ist ungefähr 1,6

e) f(x) = x³- x²
d.h. x³ - x² = 0
x² mal (x hoch 1 - x)
?????

f) f(x) = x²- 2x - 3
d.h. x² - 2x -3 = 0
x² - 2x = 3
x² - 2x + 1 = 3 + 1
(x - 1x)² = 4 / Wurzel ziehen
x - 1 = 2
x1 = -3, x2 = 3

g) f(x) = 3 hoch -x - 1
d.h. 3 hoch -x - 1= 0
3 hoch - x = 1
(1: 3 hoch x) = 1
(1: 3 hich x) = (1: 3 hoch 1/3)
x = 1/3

h) f(x) = cos x + 1
d.h. cos x + 1 = 0
cos x = -1
x ist ungefähr 3,1

Soll ich bei d) und h) alle Lösungen hinschreiben??? Die sind doch unendlich.... Bei e) komme ich nicht weiter...

25.01.2005, 16:42

JochenX

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Zitat:

b) f(x) = x² + x - 2
d.h. x² + x - 2 = 0
(x + 2) (x - 1) = 0
x1= 2 v x2=- 1

ich hab mal nur den eil angeguggt...
wie sprach ich oben? 2 stimmt nicht..... 1 war richtig... verschlimmbessert....

25.01.2005, 16:43

Suédoise

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RE: Aufgabe
Sind die Ergebnisse bei e) -1 für x1 und 0 für x2????

25.01.2005, 16:43

iammrvip

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RE: Aufgabe

Zitat:

Original von Suédoise
e) f(x) = x³- x²
d.h. x³ - x² = 0
x² mal (x hoch 1 - x)
?????

Wenn du $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ klammerst, steht in der Klammer nur noch ein x.

$\begin{eqnarray*} x^3 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x - 1) = 0 \end{eqnarray*}$

/edit: Japp. Da sind die Ergebnisse Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

$\begin{eqnarray*} x_1 = 0, x_2 = 1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

f) f(x) = x²- 2x - 3
d.h. x² - 2x -3 = 0
x² - 2x = 3
x² - 2x + 1 = 3 + 1
(x - 1x)² = 4 / Wurzel ziehen
x - 1 = 2
x1 = -3, x2 = 3

Warum zerlegst du das nicht auch in Linearfaktoren verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} x^2- 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow (x + 1)(x - 3) = 0 \end{eqnarray*}$

25.01.2005, 16:45

PK

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d und h stimmen noch nicht.
f) ist zum Teil richtig, aber nur eins von beiden.

g) einfach wie die c)

25.01.2005, 16:46

Suédoise

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Richtig?
Also sind die Ergebnisse -2 und 1?!

25.01.2005, 16:49

PK

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ja.

Und jetzt noch der Rest.

25.01.2005, 16:50

iammrvip

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Ist für d ein Intervall vorgegeben?? Sonst musst du die Periode des sinus beachten Freude

Freude

25.01.2005, 17:00

Suédoise

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Jetzt aber!!!
a) f(x) = x - x²
d.h. x - x² = 0
x (1 - x)= 0
x1= 0 v x2= 1

b) f(x) = x² + x - 2
d.h. x² + x - 2 = 0
(x + 2) (x - 1) = 0
x1= -2 v x2= 1

c) f(x) = 1- 2 hoch x
d.h. 1- 2 hoch x = 0
1 = 2 hoch x
2 hoch 0 = 2 hoch x
x = 0

d) f(x) = 1 - sin x
d.h. 1 - sin x= 0
sin x= 1
x ist ungefähr 1,6

e) f(x) = x³- x²
d.h. x³ - x² = 0
x² mal (x hoch 1 - 1) = 0
x1 = - 1 v x2 = 0

f) f(x) = x²- 2x - 3
d.h. x² - 2x -3 = 0
x² - 2x = 3
x² - 2x + 1 = 3 + 1
(x - 1x)² = 4 / Wurzel ziehen
x - 1 = 2
x1 = -3 v x2 = 1

g) f(x) = 3 hoch -x - 1
d.h. 3 hoch -x - 1= 0
3 hoch - x = 1
(1: 3 hoch x) = 1
(1: 3 hich x) = (1: 3 hoch 1/3)
x = 1/3

h) f(x) = cos x + 1
d.h. cos x + 1 = 0
cos x = -1
x ist ungefähr 3,1

d) und h) verstehe ich immer noch nicht, wie ich die Lösungen aufschreiben soll.... Da ist kein Intervall vorgegeben, deswergen könnte man es ja unendlich schreiben?!

25.01.2005, 17:04

iammrvip

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RE: Jetzt aber!!!

Zitat:

Original von Suédoise
d) f(x) = 1 - sin x
d.h. 1 - sin x= 0
sin x= 1
x ist ungefähr 1,6

h) f(x) = cos x + 1
d.h. cos x + 1 = 0
cos x = -1
x ist ungefähr 3,1

Nullstelle an sich stimmt ja. Aber es ist unvollständig, denn der Sinus und der Cosinus sind beide periodisch; das musst du beachten.

Der Sinus hat eine Periode von $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ . Also gilt bei d)

$\begin{eqnarray*} \sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k , k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

25.01.2005, 17:12

Suédoise

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K?
Wo kommt denn das k auf einmal her? Was bedeutet das k?

25.01.2005, 17:14

PK

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k ist eine beliebige ganze Zahl, die setzt du ein und du bekommst immer 0 raus, wenn du das in die Funktion einsetzt.

25.01.2005, 17:20

Suédoise

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Dann ist es bei h) doch dasselbe, denn die Periode von kosinus ist ja auch 2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ !!!

Oder kommt etwas anderes raus, weil das Vorzeichen anders ist und es ja -1 heißt?

25.01.2005, 17:23

Suédoise

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Dann heißt es doch nur - $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ / 2 oder???

25.01.2005, 17:23

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

siehe dir mal die Graphik im Anhang zu der Funktion an der Gleichung an.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sin x - 1 \end{eqnarray*}$

Wie du siehst hat $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ immer wieder einen Schnittpunkte mit der x-Achse (eigentlich berührt er die x-Achse nur, aber ich weiß nicht, ob du damit was anfangen kannst). Die berechnete Nullstelle ist $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ eine Periode von $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ , also sich der Graph aller $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ "wiederholt", tritt diese Nullstelle immer wieder auf, aller $\begin{eqnarray*} 2\pi\cdot k \end{eqnarray*}$ . Dabei muss das k eingefügt werden, da sie zu erst bei $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , danach bei $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} + 2\pi \end{eqnarray*}$ , danach bei $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} + 4\pi \end{eqnarray*}$ , ... ist.

25.01.2005, 17:42

Suédoise

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Also ist die Nulstelle bei cosinus bei $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ?

Das würde ja bedeuten, dass es heißt: x = $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ + 2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ k oder???

25.01.2005, 17:44

Suédoise

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oder heißt es: - $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ + 2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ k ???

25.01.2005, 17:58

iammrvip

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japp. stimmt.

25.01.2005, 18:30

Suédoise

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe lautet doch aber: cos x + 1 = 0

Wieso dann cos x = 1????

25.01.2005, 18:31

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer

Hammer

sorry. schreibfehler Hammer

Hammer

Hammer

25.01.2005, 18:32

Suédoise

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Ach so die Nullstelle ist bei $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist 1, also cos x= 1?!

25.01.2005, 18:33

Suédoise

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Ach so ok. Also heißt es cos x = -1

25.01.2005, 18:35

Suédoise

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x= -1???

25.01.2005, 18:37

iammrvip

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japp. hab's oben auch gleich berichtigt.

$\begin{eqnarray*} \cos x = -1 \end{eqnarray*}$

jetzt stimmt es auch.

$\begin{eqnarray*} x = \pi + 2\pi k~(k \in \mathbb Z) \end{eqnarray*}$

Ich meinte bloß, dass das noch nicht stimmte.

25.01.2005, 18:38

Suédoise

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Jetzt bin ich durcheinander...

25.01.2005, 18:43

Suédoise

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Jetzt bin ich durcheinander. Was stimmt jetzt und was nicht?
x = - $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ + 2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ k????

25.01.2005, 18:47

iammrvip

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$\begin{eqnarray*} x = +\pi + 2\pi k~(k\in \mathbb Z) \end{eqnarray*}$

stimmt. Hast du schon richtig gesagt.

25.01.2005, 18:52

Suédoise

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Ok danke!!! Gott

Gott

25.01.2005, 18:53

iammrvip

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bitte schön Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

26.01.2005, 08:54

klarsoweit

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RE: Jetzt aber!!!

Zitat:

Original von Suédoise
g) f(x) = 3 hoch -x - 1
d.h. 3 hoch -x - 1= 0
3 hoch - x = 1
(1: 3 hoch x) = 1
(1: 3 hich x) = (1: 3 hoch 1/3)
x = 1/3

Bei der ganzen Diskussion um sin und cos ist dieser Teil unter die Räder geraten. Siehe dazu nochmal meinen Beitrag am Anfang.

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