kubische splines

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hansi111 Auf diesen Beitrag antworten »
kubische splines
also ich hab drei punkte A(0/0), B(100/200) und C(1000/0).
die aufgabe lautet dann : die drei punkte a b und c sollen durch eine strasse verbunden werden.bestimmen sie den strassenverlauf durch eine kubische spline.
ich hab keinen plan wie ich dabei anfangen soll...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kubische splines
Weißt du denn wenigstens, was ein kubischer Spline ist?
hansi111 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kubische splines
ja zwei funktionen die dann in dem punkt b ineinander übergehn... i wois nur nicht wie i auf die funktionen komm... weil in meim buch steht zwar dass i irgendwelche sachen gleichsetzen muss aber ich weis nicht welche
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kubische splines
Sind denn nur 3 Punkte nicht etwas wenig Angaben um einen kubischen Spline eindeutig zu bestimmen... verwirrt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

3 punkte sollten reichen um einen kubischen spline aus 2 funktionen zu bestimmen.

an den randstellen setzt man die 2te ableitung gleich 0.
an den schnittstellen setzt man die die ersten beiden ableitungen gleich.
und man kennt von jeder funktion 2 punkte.


dann hat man für 8 variablen 8 gleichungen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
an den Randstellen setzt man die 2te ableitung gleich 0.
an den Schnittstellen setzt man die die ersten beiden ableitungen gleich.
und man kennt von jeder funktion 2 punkte.


Na siehst du. Du sagt einfach, dass es sich um einen natürlichen Spline handeln soll. Das muss aber nicht so sein. Deswegen meine Rückfrage. Auch die Stetigkeit ist nicht von vorneherein klar.

Ein kubischer Spline ist zunächst nur eine Stückweise polynomiale Funktion, deren Restriktionen Polynome dritten Grades sind. Augenzwinkern
 
 
hansi111 Auf diesen Beitrag antworten »

wenn i die erste beide ableitungen gleich setzen soll, welche ableitunga sind des dann?
weil i hab s mal versucht und die punkte a und B und die punkte B und C in die funktion dritten grades gsetzt. un dann einfach die beide ableita un gleichsetza?
weil dann hab i immer noch so viele unbekannte un komm nicht weiter...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

hansi, bitte unterlasse den Dialekt im Fachforum. Im off-topic kannst Du es halten wie Du magst.

Vielleicht stellst Du erstmal die bekannten Gleichungen auf.
hansi111 Auf diesen Beitrag antworten »

also, ich habe jetzt die gleichungen aufgestellt und nach einigem probieren und einsetzen habe ich die beiden funktionen tatsächlich herausbekommen.
danke für eure hilfe!!!
hansi111 Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe nochmal eine frage:
warum setze ich an der randstelle f´´(x0) =0?
und warum setze ich an dr nahtstelle die erste und zweite ableitung der beiden funktionen gleich?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Weil du dich wohl entschlossen hast einen natürlichen Spline zu konstruieren, der in den Splineknoten 2x stetig differenzierbar ist.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hansi111
warum setze ich an der randstelle f´´(x0) =0?

Das ist mir auch nicht klar. Also zählen wir mal:
Wir haben 3 Punkte, das ergibt 2 kubische Splines mit je 4 Parameter, insgesamt also 8 Parameter.
Zu jedem Spline gibt es 2 Punkte ==> 4 Gleichungen
Am inneren Punkt soll die 1. Ableitung der beiden Splines übereinstimmen ==> 1 Gleichung
Am inneren Punkt soll die 2. Ableitung der beiden Splines übereinstimmen ==> 1 Gleichung
Jetzt kann man noch die 1. Ableitung der Splines an den Randpunkten vorgeben ==> 2 Gleichungen

Damit haben wir 8 Gleichungen zusammen. Warum nun tmo die 2. Ableitung an den Randpunkten gleich Null setzen will, ist mir auch nicht klar.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nun nicht so ganz wie ich meine Antworten formulieren soll, da wir uns in der Schulmathe bewegen. Ein Spline ist eine Stückweise polynomiale Funktion. Die Teilfunktionen nennt man Restriktionen. Diese sind beim kubischen Spline Polynome vom Höchstgrad 3.

In Eurem Buch müssen weitere Einschränkungen gemacht worden sein, die Du uns hier einfach nicht nennst. In der Numerik verwendet man oft folgende Splines:




Stetigkeits- und Glattheitsbedingungen

Es sollen folgende Bedingungen erfüllt sein:










____________________________________________________



Da insgesamt 4n Freiheitsgrade vorhanden sind, müssen noch 2 Bedingungen hinzugefügt werden, um Eindeutigkeit zu erhalten.


Wahl der Eindeutigkeit


  • Natürlicher Spline



    Die Bedingung wird deswegen als natürlich bezeichnet, weil die zweite Ableitung im Wesentlichen die Krümmung einer Funktion darstellt. Daer hat dieser Spline die geringste Krümmung.

    Sie erweist sich allerdings als schlecht, da hier dann z.B. die Funktion nicht durch einen kubischen Spline reproduziert wird.

  • Periodischer Spline



  • Vollständiger Spline



    Sofern diese Werte bekannt sind, wird ein kubisches Polynom durch den Spline reproduziert.

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Wir haben 3 Punkte, das ergibt 2 kubische Splines mit je 4 Parameter, insgesamt also 8 Parameter.

Freude

Doch dann scheint hier jeder irgendwelche Intuitiven Bedingungen an den Spline zu stellen. Warum sollten die gelten? Augenzwinkern Nochmal: der Spline ist das Ganze, deswegen ist die Aussage

Zitat:
... der beiden Splines übereinstimmen ...


nicht richtig, auch wenn damit wahrscheinlich das Richtige gemeint ist.

@ Klarsoweit:

Ebenso wie Du die zweite Ableitung in Frage stellst, könnte man deine Bedingung der ersten Ableitung am Rand in Frage stellen Augenzwinkern

@hansi:

Ich wäre Dir doch sehr dankbar, wenn du uns endlich sagen würdest, wie ihr einen Spline definiert habt. Sonst können wir uns hier noch ewig "streiten" wie wir die hier benötigten 8 Bedingungen aufstellen wollen. Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also ok: ein Spline ist die gesamte Funktion, die abschnittsweise aus (in der Regel) kubischen Polynomen besteht.

Welche Bedingungen man am Rand nehmen kann, hat tigerbine ausführlich erläutert. Ich hatte mich da auf die 1. Ableitungen eingeschossen, weil die Aufgabenstellung dies vermuten ließ. Es geht da ja um eine Straße (= x-Achse), die irgendwann die x-Achse verläßt, durch einen bestimmten Punkt läuft und dann wieder zur x-Achse zurückkehrt.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@tigerbine

Da Hansi in meiner Paraklasse ist (hatte sie aufs Matheboard verwiesen Augenzwinkern ) kann ich vllt. antworten: Es geht dabei um eine GFS (soweit ich weiß) und daher gibt es keine Def. aus dem Unterricht. Aber Stoff ist es definitiv nicht Augenzwinkern

air
(Jedenfalls gehe ich davon aus, das Hansi eine gewisse Madeleine aus der 11. Klasse am MiGy Geislingen ist, was durch den schwäbischen Akzent nur nahezulegen ist Big Laugh )
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre schon wenn ihr GFS nochmal in Worten schreibt.

Wenn es eine "Referatartige" Arbeit ist, dann fragt bitte beim Lehrer nach den genauen Bedingungen, vorher kommen wir hier nicht weiter.

Wink
blub0815 Auf diesen Beitrag antworten »

in der Numerik gibt es doch einen Algorithmus dafür. Ich kenn es auch nur mit mehr als 4. Punkten aber selbst mit 3 Punkten funktioniert der. Ob das Ergebnis dann sinnvoll ist kann ich so nicht sagen aber falsch ist es bestimmt nicht Big Laugh Wenn interesse besteht kann ich den Posten und ein Bsp.
hansi111 Auf diesen Beitrag antworten »

also die definition weis ich nicht direkt.
ich weis jetzt nur dass man ´die erste ableitungen gleichsetzen muss damit die beiden funktionen die gleiche steigung haben.
die zweite ableitung wird auch gleichgesetzt damit an der nahtstelle KEINE wendestelle ist, weil sonst die kurve in meiner aufgabe nach links anstatt nach rechts gehen würde
irieill Auf diesen Beitrag antworten »

die aufgabe ist ja eigentlich schon gelöst wie der autor es geschrieben hat.

ich hab aber auch mal ne zeitlang mit dem thema geliebäugelt und dabei folgende seite gefunden die es wert ist ewig in meinen favorieten gespeichert zu sein und auch für andere sehr interessant sein dürfte.

>>kubische splines mit applet
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