Schwerpunkt S

29.06.2007, 18:29	Xeo	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwerpunkt S Hi, ich brauche den Flächenschwerpunkt für einen Kreisbogen. Habe das Ergebnis vorliegen, aber ich komme nicht wirklich dahin. Das Koordinatensystem liegt im Kreismittelpunkt -> y nach links und z nach unten (pos.). (Hinweis: Auf der Zeichnung ist zu erkennen, dass Alpha größer 90° ist. Salopp gesprochen beginnt er im ersten Quadranten und geht bis in den zweiten Quadranten - bitte nur bildlich vorstellen) Mir sind der Radius R und der Winkel Alpha bekannt. Ich dachte mir ich könnte so vorgehen: Ich bilde das Integral: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{R}{\int_{o}^{\alpha}~y}~dA \end{eqnarray}$ ...? dA müsste $\begin{eqnarray} = Rd\phidR \end{eqnarray}$ sein
29.06.2007, 18:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ nicht zugleich als Parameter und als Variable verwenden. Wie der Kreis da liegt, ist mir nicht so ganz klar. Wieso nimmst du nicht $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ als Variablen für das Koordinatensystem? EDIT Der Schwerpunkt muß ja auf der Symmetrieachse des Kreissektors liegen. Ich habe heraus, daß er den Abstand $\begin{eqnarray} \frac{4R}{3 \alpha} \sin{\frac{\alpha}{2}} \end{eqnarray}$ (Winkel im Bogenmaß) vom Kreismittelpunkt hat.
29.06.2007, 19:16	Xeo	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Schwerpunkt liegt nur dann auf der Symmetrieachse, wenn man das Koordinatensystem vernünftig legt. Hat man bei dieser Aufgabe aber nicht (leider). Genau. In Polarkoordinaten wäre das Ergebnis richtig. Aber ich weiss nicht, wie man darauf kommt. Bezogen auf y,z kriege ich es leider auch nicht raus.
29.06.2007, 19:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Schwerpunkt liegt immer auf der Symmetrieachse des Kreissektors. Daher können wir die Rechnung optimieren, indem wir den Kreissektor günstig in ein kartesisches $\begin{eqnarray} xy \end{eqnarray}$ -Koordinatensystem legen, z.B. so, daß die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse die Symmetrieachse ist. Dann muß die $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Koordinate $\begin{eqnarray} y_S \end{eqnarray}$ des Schwerpunktes zwangsläufig 0 sein, und wir müssen nur noch die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Koordinate $\begin{eqnarray} x_S \end{eqnarray}$ berechnen. Wenn der Kreissektor $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ den Mittelpunktswinkel $\begin{eqnarray} \alpha \in (0,2\pi] \end{eqnarray}$ und den Radius $\begin{eqnarray} R>0 \end{eqnarray}$ besitzt, dann wird er in Polarkoordinaten $\begin{eqnarray} (r,\varphi) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x = r \cos{\varphi} \, , \ y = r \sin{\varphi} \end{eqnarray}$ beschrieben durch die Ungleichungen $\begin{eqnarray} A: \ \ \ 0 \leq r \leq R \, , \ \ - \frac{1}{2} \, \alpha \leq \varphi \leq \frac{1}{2} \, \alpha \end{eqnarray}$ Das gibt dir zugleich die Integrationsgrenzen in Polarkoordinaten. Und jetzt mußt du nur noch in $\begin{eqnarray} x_S = \frac{1}{\|A\|} \int_A~x~\mathrm{d}(x,y) \end{eqnarray}$ Polarkoordinaten einführen ( $\begin{eqnarray} \|A\| \end{eqnarray}$ ist der Flächeninhalt des Sektors und kann elementargeometrisch ermittelt werden). $\begin{eqnarray} x_S \end{eqnarray}$ gibt dir dann den Abstand des Schwerpunktes vom Kreismittelpunkt auf der Symmetrieachse des Kreissektors an. Wenn der Kreissektor dann einmal anders im Koordinatensystem liegt, kannst du diese Situation sofort auf den von mir beschriebenen Spezialfall zurückführen.
29.06.2007, 20:24	Xeo	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe mal eine kleine Skizze angehängt. Der Ausschnitt darf anscheinend nicht gedreht werden und es wird vorausgesetzt, dass das KOOS wie beschrieben liegen muss. Sicherlich wird der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse liegen, aber dadurch, dass ich den Kreismittelpunkt als KOOS nehmen muss, werde ich wohl oder übel $\begin{eqnarray} x_s \end{eqnarray}$ auch berechnen müssen. -- Also dafür müssen doch die Grenzen richtig sein, die ich nun benutze... $\begin{eqnarray} y_S = \frac{1}{2R\alpha} \int_{0}^{R}\int_{0}^{\alpha}~r\cdot cos\phi~Rdr~d\phi \end{eqnarray}$
29.06.2007, 22:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn in Polarkoordinaten für den Winkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \alpha_1 \leq \varphi \leq \alpha_2 \end{eqnarray}$ , dann hat der Sektor den Mittelpunktswinkel $\begin{eqnarray} \alpha = \alpha_2 - \alpha_1 \end{eqnarray}$ , seine Symmetrieachse hat $\begin{eqnarray} \varphi_S = \frac{1}{2} \left( \alpha_1 + \alpha_2 \right) \end{eqnarray}$ als Polarkoordinaten-Winkel (ich nehme natürlich an, daß der Kreismittelpunkt im Ursprung liegt). Jetzt verwende ich das Ergebnis des Spezialfalls. Somit hat der Schwerpunkt die Polarkoordinaten $\begin{eqnarray} r_S = \frac{4R}{3 \alpha} \sin{\frac{\alpha}{2}} \, , \ \ \varphi_S \end{eqnarray}$ Die Umrechnung in kartesische Koordinaten erfolgt mit $\begin{eqnarray} x_S = r_S \cos{\varphi_S}, \, y_S = r_S \sin{\varphi_S} \end{eqnarray}$ . Fertig. Jetzt zu deiner Figur. Die ist sehr merkwürdig. Das ist ja nicht einmal ein Rechtssystem. Du müßtest daher erst einmal definieren, wie du in Polarkoordinaten den Winkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ mißt. Wenn du die üblichen Transformationsformeln für Polarkoordinaten verwenden willst, wovon ich jetzt einmal ausgehe, müßtest du positive Winkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ per Drehung im Uhrzeigersinn interpretieren (weil du ein Linkssystem hast). Dann wäre das Integrationsintervall für $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ aber nicht das, was du am Integral stehen hast, sondern $\begin{eqnarray} \left[\frac{3}{2} \pi - \alpha \, , \, \frac{3}{2} \pi \right] \end{eqnarray}$ . Der Faktor vor dem Integral scheint mir auch nicht zu stimmen, es ist jedenfalls nicht der Kehrwert des Flächeninhalts. Und der Integrand ist auch falsch. Der muß $\begin{eqnarray} r^2 \sin{\varphi}~\mathrm{d}\varphi~\mathrm{d}r \end{eqnarray}$ heißen. Das sollte doch die Formel für $\begin{eqnarray} y_S \end{eqnarray}$ sein, nicht wahr? Warum machst du alles so furchtbar kompliziert? Der von mir vorgeschlagene Weg ist effektiv, geht schnell und führt auch zum allgemeinen Ergebnis. Ich habe es dir oben und in meinem vorigen Beitrag beschrieben.
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