Skalarprodukt in Dreiecken

26.01.2005, 15:24	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt in Dreiecken Ich habe hier eine Aufgabe, die wirklich echt schwer war (ich bin der einzige gewesen, der sie mit Skalarprodukten lösen konnte, wie es die Lehrerin haben wollte - ausser halt die letzte Aufgabe). Hier erst mal die Aufgabe (ich hoffe die Angaben reichen, denn ich kann keine Skizze anfertigen): Man konstruiert an den Aussenseiten irgendeines Dreieckes ABC zwei gleichschenklige Dreiecke BAM und CAN, die beide jeweils einen rechten Winkel bei A haben. 1) Zeige, dass die Geraden (MC) und (BN) senkrecht zueinander stehen. [gelöst] 2) Vergleich die Winkel MAC und BAN, danach die Skalarprodukte $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AC} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AN} \end{eqnarray}$ [gelöst] 3) Zeige, dass die Seitenhalbierende (AI) des Dreieckes ABC eine Höhe des Dreieckes AMN ist [gelöst] Und nun zum Problem 4) Repräsentiert die Höhe von A im Dreieck ABC eine Seitenhalbierende von AMN? (Schnittpunkt zwischen MN und der Höhe=J) Hier bin ich folgendermassen vorgegangen: Ich habe gesagt, dass die Seitenhalbierende AJ vom Dreieck AMN eine Höhe vom Dreieck ABC ist, aber die Lehrerin mochte meinen (extrem einfachen, weil in der vorigen Aufgabe schon einmal angewandten) Weg nicht, weil ich zu beweisende Tatsachen als bewiesen genommen habe und damit bewiesene Tatsachen bewiesen habe. Es funktioniert aber natürlich. Jedenfalls hat die Lehrerin sich dann einmal an der Aufgabe versucht und es auch nicht geschafft. Habt ihr eine Idee? Gruss MI
26.01.2005, 15:53	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt in Dreiecken Sofern deine Rechnung in c) aus äquivalenten Umformungen besteht, dann drehe sie doch einfach in der Reihenfolge um, natürlich unter Symbolaustausch $\begin{eqnarray} B\longleftrightarrow M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C\longleftrightarrow N \end{eqnarray}$ , dann muss auch deine Lehrerin zufrieden sein.
26.01.2005, 16:14	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt in Dreiecken oder so: S liegt auf g (t=1) $\begin{eqnarray} g:\vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} c_2\\ b-c_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ werner
27.01.2005, 20:27	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
@Arthur Dent: Das hab ich versucht, ... aber nicht hinbekommen. Ich poste einfach mal meinen Weg für 3) und einen Ansatz für 4): (AI) ist die Höhe von Dreieck AMN dann, und nur dann, wenn $\begin{eqnarray} \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{MN}=0 \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{MN}=(\overrightarrow{IB}+ \overrightarrow{BA}).(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BI}).(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AN} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =0+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AN}-\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AN}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AN}-\frac{1}{2}( \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}. \overrightarrow{AN}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =0 \end{eqnarray}$ weil $\begin{eqnarray} \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AN} \end{eqnarray}$ (wurde in Aufgabe 2 bewiesen) So. Das kann man leider nicht so einfach umdrehen, sonst hätte ich es ja längst schon gemacht... Ansatz der Lehrerin: Vorgegeben ist im Aufgabentest: $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AJ}.\overrightarrow{BC}=0 \end{eqnarray}$ Und davon hat sie jetzt versucht den vierten Schritt aus Aufgabe drei herauszubekommen -hat sich aber immer im Kreis bewegt. Weisst du, wie man es zeigen könnte (oder irgendwer anders). @wernerrin Deinen Weg habe ich leider nicht verstanden (bin halt 11. Klasse, oder zur Zeit besser: Première S), aber die Skizze ist genau gleich der Skizze aus dem Buch. Da bin ich schon einmal beruhigt. Gruss MI //edit: Sorry, hatte einige Latexprobleme (man sollte beim zumachen von Latex doch lieber einen Slash statt einen Backshlash verwenden. )
28.01.2005, 06:09	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
3) mal Standart analytisch A(0\|0), B(2b\|0), C(2c\|2d), N(-2d\|2c), M(0\|-2b) m(NM) = (2c+2b)/-2d =-(c+b)/d m'(NM) = -1/m(NM) = d/(c+b) Höhe von 0 auf NM: y = d/(c+b) * x Mittelpunkt BC = ((2b+2c)/2\|(2d+0)/2) = (b+c\|d) d ?=? d/(c+b) * (b+c) = d und damit liegt der Mittelpunkt von BC auf der Höhenlinie von 0 auf NM 4) m(BC) = 2d/(2c-2b) =d/(c-b) m'(BC) = -(c-b)/d Höhe hb: y=-(c-b)/d * x Mitte NM = (-2d/2 \|2c+(-2b)/2 ) = (-d\|c-b) c-b ?=? -(c-b)/d * (-d) = c-b bingo das wars ... du siehst ganz klar die Analogie zw. 3 u 4 Jetzt musst das nur noch auf deine Art übertragen. .
28.01.2005, 06:48	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Merci!! Werds mir noch mal genauer angucken müssen, aber das sieht schon einmal gut aus. Vielen Dank schon mal! Gruss MI
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