Isomorphie

26.01.2005, 15:27

Alamos

Isomorphie

Hallo,

ich machs kurz:

Wieso kann es keinen Isomorphismus zwischen ( $\begin{eqnarray*} Z_{8}^{*},1,\cdot \end{eqnarray*}$ ) und ( $\begin{eqnarray*} Z_{4},0,+ \end{eqnarray*}$ ) geben?

und

Wieso sind ( $\begin{eqnarray*} R_{+},1,\cdot \end{eqnarray*}$ ) und ( $\begin{eqnarray*} R - \{0\},1,\cdot \end{eqnarray*}$ ) nicht isomorph?

Ich komm da einfach nicht hinter. Vielen dank im vorraus!

26.01.2005, 16:20

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RE: Isomorphie
Nur als Nachfrage (nicht alle Leuten verwenden dieselbe Symbolik!):

$\begin{eqnarray*} (Z_{4},0,+) \end{eqnarray*}$ ist sicher die additive Restklassengruppe modulo 4.

Und $\begin{eqnarray*} (Z_{8}^{*},1,\cdot) \end{eqnarray*}$ ist vermutlich die multiplikative Gruppe der zu 8 teilerfremden Restklassen modulo 8, richtig?

Falls ja: Vergleiche mal die Ordnung der Elemente in beiden Gruppen!

26.01.2005, 17:58

Alamos

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Ja, das sieht du völlig richtig.
Also $\begin{eqnarray*} Z_{8}^{*}=\{1,3,5,7\} \end{eqnarray*}$

Und jetzt schau ich mir mal die Ordnungen der Elemente an. Falls mir das immernoch nicht hilft, meld ich mich nochmal. Danke erstmal!

26.01.2005, 18:07

Alamos

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Ok,

also in der multiplikativen Gruppe $\begin{eqnarray*} Z_{8}^{*} \end{eqnarray*}$ haben alle Elemente die Ordnung 2, sie sind also zu sich selbst invers. In der additiven Gruppe $\begin{eqnarray*} Z_{4} \end{eqnarray*}$ haben 1 und 3 die Ordnung 4 und 2 die Ordnung 2. Daher kann man keinen Isomorphismus erzeugen und das ist auch genau der Grund warum das mit der multiplikativen Gruppe $\begin{eqnarray*} Z_{10}^{*} \end{eqnarray*}$ klappt. Da gibt es nämlich 2 Elemente mit der Ordnung 4 und 1 Element mit der Ordnung 2, wie in $\begin{eqnarray*} Z_{4} \end{eqnarray*}$ . Stimmt das so ungefähr?

Bleibt nur noch zu klären wieso ( $\begin{eqnarray*} R_{+},1,\cdot \end{eqnarray*}$ ) und ( $\begin{eqnarray*} R - \{0\},1,\cdot \end{eqnarray*}$ ) nicht isomorph sind?

26.01.2005, 18:32

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Ja, das stimmt so.

Bei dem zweiten Problem denk mal an die Ordnung von (-1) bei der zweiten Gruppe!

26.01.2005, 19:00

Alamos

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Ach so. In der ersten Gruppe gibt es kein Element mit der Ordnung 2. Daher kann es keine Isomorphie geben!

Vielen Dank, Arthur. Vom Protagonisten einer meiner Lieblingsbücher habe ich aber auch nichts anderes erwartet Augenzwinkern

26.01.2005, 19:03

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Wenn's nach der Fachkompetenz geht, hätte ich mich aber Tricia McMillan ("Trillian") nennen müssen. Aber ich wollte eben das Geschlecht nicht wechseln... Big Laugh

20.11.2006, 20:03

Dr. Logik

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Sorry, dass ich das Thema noch einmal aufgreife, aber ich habe da eine Frage zu.

Zitat:

Original von Alamos

Daher kann man keinen Isomorphismus erzeugen...

Warum kann man keinen Isomorphismus erzeugen, wenn die eine Gruppe keine Elemente mit der gleichen Ordnung wie die andere besitzt? Kann man das irgendwie beweisen oder gibt es da einen Satz zu?

mfg, Dr. Logik

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