Vollständige Induktion

26.01.2005, 17:30

Martina19

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Vollständige Induktion

Hi!

Frage:

Es sei a eine beliebig positive reele Zahl. Bestätigen Sie, dass die Folge x1 = a, xn+1= 1/2(xn + a/xn) gegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ konvergiert. Die Konvergenz gegen ist sogar bei beliebigen Startwert gesichert.

Ich habe den Grenzwert durch Einsetzten berechnet und versuche gerade die Beschränktheit durch vollständige Induktion zu beweisen:

Induktionsanfang: x1 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ s

Induktionsannahme: xn $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ s

Induktionsbeweis: xn+1 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ s

1/2 (xn + a/xn) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ s

Und wie gehts weiter?

26.01.2005, 18:17

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RE: Vollständige Induktion
Ich hätte einen anderen Vorschlag:

Beweise lieber zuerst $\begin{eqnarray*} x_n\geq\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ für n>1 und benutze das anschließend zum Beweis der Monotonie $\begin{eqnarray*} x_{n+1}\leq x_n \end{eqnarray*}$ (auch für n>1). Wenn du das schaffst, ist die Existenz des Grenzwertes gesichert.

26.01.2005, 18:44

Martina19

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So?

Induktionsanfang: x1 $\begin{eqnarray*} \leq \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

Induktionsannahme: xn $\begin{eqnarray*} \leq \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

Induktionsbeweis: xn+1 $\begin{eqnarray*} \leq \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

(xn + a/xn)/2 $\begin{eqnarray*} \leq \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

xn² + a > 2 $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ * xn

(xn - $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ )² > 0

26.01.2005, 18:48

Leopold

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von Martina19
Die Konvergenz gegen ist sogar bei beliebigen Startwert gesichert.

Die Konvergenz wogegen?

Nimm einmal als Startwert -3.

26.01.2005, 18:52

Martina19

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Die Konvergenz gegen Wurzel a

26.01.2005, 18:54

Martina19

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SORRY !!

Hab mich bei der vollständigen Induktion geirrt, da gehört natürlich überall größer gleich!!

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26.01.2005, 18:54

Leopold

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Bei negativem Startwert ist das aber anders. Und mit 0 als Startwert würde ich auch nicht gerade beginnen ...

26.01.2005, 18:56

Martina19

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Aber was sagt mir die Aussage das xn größer gleich Wurzel a ist, da komm ich noch nicht mit.

26.01.2005, 19:15

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Leopold hat völlig recht - oben muss gefordert werden, dass $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ positiv ist. (Für negative Startwerte konvergiert die Folge auch, aber gegen $\begin{eqnarray*} -\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ .)

Und was $\begin{eqnarray*} x_n\geq\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ betrifft, das gilt i.a. erst ab n=2 (ich hatte oben deutlich "n>1" geschrieben!).

Ok, und jetzt die Motivation für diesen Nachweis: Durch

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}-x_n=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)-x_n=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{x_n}-x_n\right)=\frac{a-x_n^2}{2x_n} \leq 0 \end{eqnarray*}$

folgt unmittelbar die Monotonie, sofern wir eben $\begin{eqnarray*} x_n\geq\sqrt{a}>0 \end{eqnarray*}$ haben.

Damit habe ich dir den zweiten Teil schon verraten. Und zum ersten Teil hast du oben schon fast richtige Umformungen vorgenommen - die musst du nur noch richtig ordnen...

26.01.2005, 19:33

Martina19

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Sorry, mir fehlt der Durchblick!

Ich verstehe die Zusammenhänge und worauf wir hinaus wollen nicht ganz.

Ich verstehe das wir die Monotonie beweisen wollen ( mitteln xn+1 kleiner gleich xn ), wie du es grad gezeigt hast.

Doch verstehe ich den Beweis von xn kleiner gleich Wurzel a nicht? Also denn Beweis schon, aber denn Sinn nicht.

Ich versuche Konvergenz zu beweise, dabei hab ich einen Ansatz für den Grenzwert und ich weiß es ist Monoton fallend (Beweis).

Ich dachte bzw. denke ich muss jetzt feststellen ob es beschränkt ist.

Sorry, ich lern das alles neu und bin nicht gerade ein Schnellchecker aber ich verstehe deinen Ansatz nicht. Bitte verzweifle nicht an mir, es ist wichtig für mich das ich das verstehe.

26.01.2005, 19:34

Martina19

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Sorry, mir fehlt der Durchblick!

Ich verstehe die Zusammenhänge und worauf wir hinaus wollen nicht ganz.

Ich verstehe das wir die Monotonie beweisen wollen ( mittels xn+1 kleiner gleich xn ), wie du es grad gezeigt hast.

Doch verstehe ich den Beweis von xn kleiner gleich Wurzel a nicht? Also denn Beweis schon, aber denn Sinn nicht.

Ich versuche Konvergenz zu beweise, dabei hab ich einen Ansatz für den Grenzwert und ich weiß es ist Monoton fallend (Beweis).

Ich dachte bzw. denke ich muss jetzt feststellen ob es beschränkt ist.

Sorry, ich lern das alles neu und bin nicht gerade ein Schnellchecker aber ich verstehe deinen Ansatz nicht. Bitte verzweifle nicht an mir, es ist wichtig für mich das ich das verstehe.

26.01.2005, 19:43

Martina19

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Ich bin ein Dummi. Ist nicht gerade xn kleiner gleich Wurzel a eine Beschränktheit? Verzeihts mir ich hab in letzter Zeit nicht viel geschlafen - viel Stress.

26.01.2005, 19:46

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Zum wiederholten Mal: Es ist $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ größer oder gleich $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ , und nicht "kleiner oder gleich" !!!!!!!!!!

Benutzt habe ich das oben im Monotoniebeweis an der Stelle $\begin{eqnarray*} a-x_n^2\leq 0 \end{eqnarray*}$ .

Und was den eigentlichen Beweis von $\begin{eqnarray*} x_n\geq\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ angeht:

Bei dir oben steht schon was ähnliches wie $\begin{eqnarray*} (x_n-\sqrt{a})^2\geq 0 \end{eqnarray*}$ , das ist zweifelsohne eine richtige Aussage (Quadrat ist immer nichtnegativ). Daher gilt für alle n>0 wegen $\begin{eqnarray*} x_n>0 \end{eqnarray*}$ (die rekusiven Folgenwerte bleiben positiv, wenn der Startwert positiv ist):

$\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{(x_n-\sqrt{a})^2}{2x_n}=\frac{x_n^2-2\sqrt{a}x_n+a}{2x_n}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)-\sqrt{a}=x_{n+1}-\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ ,

also ist $\begin{eqnarray*} x_{n+1}\geq\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ , q.e.d.

Natürlich habe ich dich enttäuschen müssen: Vollständige Induktion war überhaupt nicht nötig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: Beschränktheit ist doch jetzt klar:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a}\leq x_n\leq x_2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$
Aber das reicht doch noch nicht für Konvergenz! Die Monotonie dagegen schon (natürlich in Verbindung mit dieser Beschränktheit).

26.01.2005, 20:44

Martina19

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Ich glaub jetzt hab ichs. Ich geh jetzt noch mal alles genau und ordentlich durch. Danke sehr!! Bei Probleme komm ich aber wieder (ist nicht als Drohung gemeint) :-)

26.01.2005, 20:51

Martina19

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Nur noch kurze Frage:

Wenn ich als zweiten Teil die Folge x1 = a, xn+1 = xn + a/xn auf Konvergenz bzw. Divergenz prüfen muss, funktioniert das so ähnlich, oder?

26.01.2005, 20:55

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Lies dir alles nochmal durch - die Konvergenz ist bereits gezeigt, denn:

Jede monotone beschränkte Folge besitzt einen Grenzwert.

Es ist nur noch zu zeigen, dass auch tatsächlich $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ als Grenzwert herauskommt - und nicht etwa ein größerer Wert. verwirrt

verwirrt

26.01.2005, 22:22

Martina19

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Bei xn+1 = xn + a/xn komm ich auf keinen Grenzwert.

Muss ich jetzt zeigen das sie unbeschränkt ist oder gibt es einen einfacheren Weg zu zeigen das sie divergent ist.

26.01.2005, 23:55

AD

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Ach, jetzt sehe ich erst, dass du plötzlich mit einer anderen Folge daher kommst. Ja, die müsste divergent sein.

Wenn sie beschränkt wäre, müsste es ein Supremum geben. Man kann dann aber zeigen, dass es Folgenglieder größer als dieses Supremum gibt - Widerspruch.

27.01.2005, 07:50

Martina19

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Mal angesehen davon das ich nicht weiß was ein Supremum ist, wie kann ich das Beweisen das es größere Folgeglieder gibt?

WICHTIG! Bitte antworte bald! Bin ziemlich in Zeitdruck!

27.01.2005, 08:41

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(Unter Druck setzen lassen wir uns hier nur ungern - manche reagieren sogar allergisch darauf. Also bitte nicht so "rumschreien". unglücklich

unglücklich

)

http://de.wikipedia.org/wiki/Supremum

Wenn deine Folge ein endliches Supremum S besäße, dann muss $\begin{eqnarray*} x_n\leq S \end{eqnarray*}$ für alle n gelten und außerdem für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ mindestens ein $\begin{eqnarray*} n' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_{n'}\geq S-\varepsilon \end{eqnarray*}$ existieren. Durch geeignete Wahl von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ lässt sich dann $\begin{eqnarray*} x_{n'+1}>S \end{eqnarray*}$ zeigen, und das ist dann offenbar ein Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} x_n\leq S \end{eqnarray*}$ für alle n.

Ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ , welches zum Widerspruch führen könnte, versuch jetzt aber mal selbst zu finden!

27.01.2005, 09:12

Lukas

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Warum gilt die Monotonie erst ab n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 2 ?

1 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 1 ist eine wahre Aussage.

27.01.2005, 09:29

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@lukas

Du redest jetzt von der ersten Folge $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{n}\right) \end{eqnarray*}$ mit Startwert $\begin{eqnarray*} x_1=a \end{eqnarray*}$ , oder? Dann hast du dir den Nachweis nicht sorgfältig genug angeschaut, sonst hättest du folgendes bemerkt:

Betrachte mal den Parameterfall $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} x_1=\frac{1}{4}=0.25 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2=\frac{5}{8}=0.625 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_3=\frac{41}{80}=0.5125 \end{eqnarray*}$ , ...

Wie sieht's den jetzt aus mit der Monotonie ab n=1 ?

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