Mithilfe des Abstandes den Punkt auf der Gerade finden

Neue Frage »

cmaster Auf diesen Beitrag antworten »
Mithilfe des Abstandes den Punkt auf der Gerade finden
Hallo!

Ich habe eine gerade: und den Punkt R(2;5;7)

Den Abstand zwischen dem Punkt und der Geraden kann ich ja ausrechnen mit der Formel:

; r = R; v=irgendein Punkt auf der Geraden; n=Normaleneinheitsvektor z.B. .

d=7,44

So nun habe ich den Abstand und wie finde ich jetzt den Punkt F auf der Geraden, der den Abstand zu R mit 7,44 hat?

Vielen Dank für die Hilfe Hilfe
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hoffentlich ist das jetzt nicht zu kompliziert.....
aber ich glaube mal ganz fest, genau da kommt deine abstanmdsformel her Augenzwinkern

stelle die ebene auf, die die gerade als normalenvektor hat und durch deinen äußeren punkt geht.
schneide diese ebene mit der geraden.
ergibt dir den lotfußpunkt des abstandes.... und somit auch den abstand selbst eigentlich.

mfg jochen
cmaster Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
stelle die ebene auf, die die gerade als normalenvektor hat und durch deinen äußeren punkt geht.
Wie stelle ich die Ebene auf? Ich habe doch nur die Gerade.



Müsste dann da stehen?:



Wie bekomme ich dann F raus?
Denjell Auf diesen Beitrag antworten »

die Ebene E ist:

4x_1+5x_2+7x_3=d

d erhält man indem man den Punkt R einsetzt.

Dann Gerade und Ebene schneiden lassen und schon hat man den Punkt auf der Geraden der den geringsten Abstand von R hat.

MfG
cmaster Auf diesen Beitrag antworten »

Ich rechne mal vor:

4x+5y+7z=82 habe ich wenn ich R in die Gleichung einsetze.

Das ganze wandel ich dann in die Parameterform um:


Die Gerade und die Ebene wird gleichgesetzt:


t wird in die Gerade eingesetzt:


Der gesuchte Punkt auf der Gerade ist also: (8;6,5;2,5). Ist das richitg?
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mal ganz anders gerechnet, mit gleichem Ergebnis, aber mit etwas anderem Abstand:

Abstand d vom Punkt R zu einem Punkt der Geraden G:
xR=2; yR=5; zR=7
xG=10+4*t; yG=9+5*t; zG=6+7*t

d² = (xG-xR)²+(yG-yR)²+(zG-zR)²
d² = (10+4t-2)²+(9+5t-5)²+(6+7t-7)²
d² = (8+4t)²+(4+5t)²+(-1+7t)²

d ist ein Minimum bei kürzestem Abstand, also auch bei (d²)' = 0:
(d²)' = 2*4*(8+4t) + 2*5*(4+5t)+2*7*(-1+7t) = 0
daraus: 32+16t + 20+25t + (-7)+49t = 0
daraus: 45 + 90t = 0
daraus: t = -1/2

xG=8; yG=6,5; zG=2,5
und
d²=36+2,25+20,25=58,5
d=7,648...
 
 
cmaster Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, hat dieses Verfahren mit d² einen bestimmten Namen?

Ich habe mal probiert ein bißchen damit zu spielen.

Angenommen der Punkt R ist der Ursprung also (0;0;0). Und ich habe eine etwas andere Gerade:

xR=0;yR=0;zR=0

xG=10+4t;yG=9+5t;zG=6+0t

d²=(10+4t)²+(9+5t)²+(6)²

(d²)'=2*4(10+4t)+2*5(9+5t)+2*(6)=0
daraus: 80+32t+90+50t+12=0
daraus: 182+82t=0
daraus: t=-182/82=2,28

xG=18,87;yG=20,09;zG=6
F(18,87;20,09;6)

Habe ich einen Fehler gemacht?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mithilfe des Abstandes den Punkt auf der Gerade finden
ebene durch P senkrecht auf g:

mit geraden geschnitten gibt t = -1/2 und P(8/6,5/2,5),
und wenn ich mich nicht verrechnet habe,
PR = 7,648 > 7,44 ?

abstand von 2 punkten mit der distanzformel, hier:

ergibt eine quadratische gleichung für t, und aus g die punkte mit dem gewünschten abstand
werner
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »