Konvergenzordnung von newton-Verfahren

27.01.2005, 14:03

TomBombadil

Konvergenzordnung von newton-Verfahren

Also ich hab da ein Problem. Eigentlich ist es schone ein wenig übertriben, damit das Matheboard zu "belästigen", aber ich komme da einfach nicht drauf:

Es geht um das Newton-Verfahren, sowie die Konvergenzordnung, wenn die gesuchte Nullstelle eine doppelte Nullstelle ist.

Wenn ich nun meine Fixpunktgleichung $\begin{eqnarray*} x = x-\frac{f(x)}{f'(x)} \end{eqnarray*}$ ableite:

Sollte doch das rauskommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x) f''(x)}{f'(x)^{2}} \end{eqnarray*}$

So nun hat der Autor des Buches diesen Ausdruck auf den folgenden umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \frac{f'(x)}{2 f''(x)f'(x)} f''(x) \end{eqnarray*}$ das ist ja dann genau 1/2.

Also es gilt auch, dass f''(x*) = 0 f'(x*) = 0 und f(x*) = 0.

Ich danke für Eure Bemühungen.

Mfg

TomBombadil

EDIT: Tippfehler verbessert

27.01.2005, 15:56

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzordnung von newton-Verfahren

Zitat:

Original von TomBombadil
Wenn ich nun meine Fixpunktgleichung $\begin{eqnarray*} x = x-\frac{f(x)}{f'(x)} \end{eqnarray*}$ ableite:

Mir ist absolut rätselhaft, was du da tust:
Du hast eine Fixpunktgleichung, die nur für einzelne isolierte Punkte x gilt, möglicherweise sogar nur für einen Punkt (nämlich die Nullstelle).

Und die willst du nach x differenzieren ??? Dazu brauchst du mindestens eine Epsilon-Umgebung, um das machen zu können - und die hast du hier nicht.

Also was soll das ganze?

27.01.2005, 19:18

TomBombadil

Auf diesen Beitrag antworten »

das mit der fixpunktform ist eine iterationsvorschrift. d.h. links steht x1 und rechts x0. Ich habe nur die rechte Seite Abgeleitet. Das ist doch möglich, wenn ich x1 als eine Funktion von x0 ansehe. Die Idee ist, dass ein Satz existiert, der sagt, dass wenn die 1. Ableitung(der rechten Seite) an der Nullstelle gleich Null ist, dann konvergiert die Iteration mindestens mit der Ordnung 2.

Hier sollte gezeigt werden, dass falls die gesuchte Nullstelle eine eine doppelte Nullstelle ist(also von f(x)), dann ist die 1. Ableitung (der rechten Seiten) immer gleich 0,5. (eben ungleich Null). Und somit konvergiert das Verfahren nur mit der Ordnung 1.

27.01.2005, 19:46

Auf diesen Beitrag antworten »

Also: Du leitest die Iterationsvorschrift

$\begin{eqnarray*} g(x):=x-\frac{f(x)}{f'(x)} \end{eqnarray*}$

(das ist keine Fixpunktgleichung!) nach x ab:

$\begin{eqnarray*} g'(x)=\frac{f(x)f''(x)}{f'(x)^2} \end{eqnarray*}$ .

Sei nun $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ Nullstelle von f.

1.Fall: $\begin{eqnarray*} f'(x_0)\neq 0 \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} g'(x_0)=f(x_0)\cdot \frac{f''(x_0)}{f'(x_0)^2}=0 \end{eqnarray*}$ .

2.Fall: $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$

Hier hätten wir "0 / 0", also ein Fall für L'Hospital:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to x_0} g'(x)=f''(x_0)\cdot \lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{f'(x)^2}=f''(x_0)\cdot\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{2f'(x)f''(x)}=f''(x_0)\cdot\frac{1}{2f''(x_0)}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

War das dein Problem?

27.01.2005, 19:54

TomBombadil

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau. (sagte ja es sei ein wenig übertrieben das Matheboard damit zu "belästigen"). Aber ich hatte irgendwie denn Grenzwert aus meiner Wahrnehmung gestrichen, und somit(fast) Stunden zugebracht das sozusagen "direkt umzuformen". (mit geschickter Ergänzung und so.....). Deswegen auch die etwas spartanische Anfangserläuterung, sorry.

Dann sage ich mal wieder Danke.

Gruss

TomBombadil

27.01.2005, 19:58

Auf diesen Beitrag antworten »

War keine Belästigung. Unter diesem Aspekt hatte ich das Newton-Verfahren bisher nicht betrachtet, also habe ich in gewisser Weise auch was dazu gelernt. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenzordnung von newton-Verfahren

Verwandte Themen