Steffensenverfahren

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TomBombadil Auf diesen Beitrag antworten »
Steffensenverfahren
Hi!

Ich habe mal wieder eine Frage: Mir fehlt zum Verstehen des Steffensenverfahren zum bestimmen von Nullstellen irgendwie die Idee. d.h. was ist denn die Idee des Steffensenverfahren. In Büchern heißt es immer es sei die "lineare Extrapolation des Fehlers delta x0". Aber das bringt mich irgendwie überhaupt nicht weiter. Also wer hat denn schon einmal von dem Steffensenverfahren gehört, und weiß wie man die Idee bzw. die Motivation irgendwie anschaulich(oder graphisch) erklären könnte.
Davor haben wir das Sekantenverfahren behandelt, und irgendwie scheint das Steffenssenverfahren eine Art Verbesserung des einfachen Sekantenverfahrens zu sein.

Gruß

TomBombadil
C. Dötsch Auf diesen Beitrag antworten »
Steffensen-Verfahren
Das Steffensen-Verfahren ist nichts anderes, als die Aitkens-Delta-Quadrat-Beschleunigung angewandt auf die Fixpunktiteration . Zwar konvergiert das Steffensenverfahren auch nur quadratisch, so wie die Fixpunktiteration (für eine 2-mal stetig diffbare Funktion). Aber - und das verwundert mich auch - ist der Wert, den man mit dem Steffensenverfahren aus 3 Folgegliedern der Fixpunktiteration berechnet eine bessere Näherung an den Fixpunkt, als jedes der 3 Folgenglieder!

Man bedenke, dass zwar zwei verschiedene Verfahren dieselbe Konvergenzordnung haben können, aber nicht umbedingt auch dieselbe Konvergenzgeschwindigkeit haben müssen! Denn nach der Definition der Konvergenzordnung, ist die Konstante in der Abschätzung ja für zwei Folgen von der Konvergenzordnung p nicht gleich!
 
 
C.Dötsch Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Steffensen-Verfahren
Direkt zu Deiner Frage:

Mit dem Steffensen-Verfahren berechnet man einen Fixpunkt. Wenn man eine Nullstelle berechnen möchte, dann muß man das Steffensen-Verfahren auf eine Funktion anwenden, deren Fixpunkt gerade Deine gesuchte Nullstelle ist. Anders formuliert:

Hast Du eine Funktion f, deren Nullstelle Du mithilfe des Steffensen-Verfahren berechnen möchtest, so definierst Du Dir eine Funktion g, deren Fixpunkt die Nullstelle von f ist. Das kann man z.B. so machen:


Wenn f(x)=0 ist, dann ist g(x)=x - also wende nun das Steffensen-Verfahren auf die Funktion g an, und Du erhälst den Fixpunkt von g, der ja gerade die von Dir gesuchte Nullstelle von f ist! Voila - Fertig!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wie's aussieht, kennst du dich verdammt gut mit numerischen Verfahren aus (auf jeden Fall deutlich besser als ich) - derartige Experten sind dünn gesät hier im Board.

Deshalb ein besonderes Willkommen , C.Dötsch. Schön, wenn du dich auch irgendwann hier registrierst.


P.S.: Hoffentlich kommt auch TomBombadil mal wieder vorbei (war das letzte mal vor 2 Monaten hier), wäre sonst schade um die Mühe, die du dir hier gemacht hast.
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