Polynomring

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Grübel Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomring
Hallo,

habe da ein Problem mit einem Beweis:

Sei R ein nullteilerfreier kommutativer Ring.
Zeige: dann ist auch der Polynomring R[x] nullteilerfrei.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

seien f und g aus R[x], grad(f) und grad(g)>=0 (also nicht nullpolynome)
was gilt denn dann für grad (f*g)?

mfg jochen
Grübel Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also ich versuchs mal:




dann ist grad(f) = n und grad(g) = m.

grad(f*g) = n + m, denn:



da R nullteilerfrei gibt es kein

kann man das so machen?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ja, so hätte ich das auch gemacht Freude
in einem ring mit nullteilern könnte es eben passieren, das a_n*b_m=0 ist....

mfg jochen
Grübel Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke für den Tipp!
Grübel Auf diesen Beitrag antworten »

Hab da nochmal was:

Sei R ein nullteilerfreier kommutativer Ring. Seien zwei Elemente. Genau dann sind die Hauptideale Rf und Rg gleich, wenn es eine Einheit gibt mit .

Ok, Hauptideal heißt alle Vielfachen von f erzeugen ein Ideal in R, ebenso für g.

Jetzt ist f wiederum ein Vielfaches von g, denn . Wenn ich jetzt zeigen könnte das alle Vielfachen von f die Vielfachen der Vielfachen von g treffen (kann mir noch wer folgen), dann wär das Problem ja gelöst ODER ich bin auf ner völlig falschen Spur smile
 
 
Grübel Auf diesen Beitrag antworten »

weiß keiner? unglücklich
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Erstmal: nicht ungeduldig werden! Solche Beiträge wie dein letzter vermindert eher die Chance auf eine Antwort!

Wenn (f) und (g) gleich sind, dann liegt doch f in (g) und g in (f).
Schreib das doch mal als Gleichungen auf...

Gruß
Anirahtak
Grübel Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für die Ungeduld, aber es ist nicht mehr lange bis zur Prüfung, werd nen bischen nervös.

Dein Tipp hat mir leider auch nicht sehr weitergeholfen.
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

g in (f), also gibt es a in R mit g=fa.

Nun ja mit dem anderen machst du es dann genauso...

Gruß
Anirahtak
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Grübel
Dein Tipp hat mir leider auch nicht sehr weitergeholfen.


Weil du ihn nicht befolgt hast!

Also: Wegen f in (g) gibt es ein u aus R mit f=ug, und wegen g in (f) gibt es auch ein v aus R mit g=vf. Also folgt f=uvf, oder anders geschrieben

0=uvf-f=(uv-1)f

unter Einsatz der Distributivgesetze (0,1 wie üblich Null- und Einselement in R). Jetzt sollte es aber klar sein.
Grübel Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Sorry, wenns ein bischen unhöflich geklungen hat. Tut mir leid.
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