Integralberechnung

04.07.2007, 14:48

-Mischka-

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Integralberechnung

$\begin{eqnarray*} \int\frac{dx}{(x^2+a^2)^\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}^3} \end{eqnarray*}$
Weiter komm ich nicht. Maximal noch zu dem Schritt, aber ob der was bringt, weiß ich nicht:
$\begin{eqnarray*} =\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}\cdot(x^2+a^2)} \end{eqnarray*}$

04.07.2007, 14:53

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}\neq\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

04.07.2007, 14:58

-Mischka-

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Zitat:

Original von WebFritzi
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}\neq\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

uuups, hab mich verschrieben

$\begin{eqnarray*} \int\frac{dx}{(x^2+a^2)^\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}^3} \end{eqnarray*}$
Weiter komm ich nicht. Maximal noch zu dem Schritt, aber ob der was bringt, weiß ich nicht:
$\begin{eqnarray*} =\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}\cdot(x^2+a^2)} \end{eqnarray*}$

04.07.2007, 15:02

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} x = a \sinh(t) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x = a \cosh(t) \end{eqnarray*}$ . Eins von beiden. Ich vergesse immer das dazugehörige Additionstheorem. Deswegen, weiß ich nicht, welche der Substitutionen die richtige ist. Aber eine von beiden wird dich auf ein einfacheres Integral bringen.

04.07.2007, 15:12

therisen

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Nimm den sinh. Der ist wenigstens bijektiv Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.07.2007, 15:15

WebFritzi

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grrr

Augenzwinkern

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04.07.2007, 15:57

-Mischka-

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ok, hab ja das Integral:
$\begin{eqnarray*} \int\frac{dx}{(x^2+a^2)^\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$
Substitution: $\begin{eqnarray*} z=\frac{x}{a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int\frac{dx}{(\frac{x^2}{a^2}\cdot{a^2}+a^2)^\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int\frac{adz}{(z^2\cdot{a^2}+a^2)^\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int\frac{adz}{(a^2(z^2+1))^\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int\frac{adz}{a^3(z^2+1)^\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a^2}\int\frac{dz}{(z^2+1)^\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$
Nächste Substitution:
$\begin{eqnarray*} z=\sinh(u) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dz}=\cosh(u) <=> dz=\frac{du}{\cosh(u)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a^2}\int\frac{du}{(\sinh^2(u)+1)^\frac{3}{2}\cosh(u)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a^2}\int\frac{du}{(\cosh^2(u))^\frac{3}{2}\cosh(u)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a^2}\int\frac{du}{\cosh^4(u)} \end{eqnarray*}$
An dieser Stelle hänge ich mal wieder böse

böse

unglücklich

Wie komm ich weiter?

04.07.2007, 16:09

therisen

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Hallo,

du hättest auch gleich $\begin{eqnarray*} x=a\sinh z \end{eqnarray*}$ substituieren können (wie Webfritzi gesagt hat).

Es gilt $\begin{eqnarray*} dz = \cosh(u)~du \end{eqnarray*}$ . Warum schreibst du das also in den Nenner?

Gruß, therisen

04.07.2007, 16:16

-Mischka-

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Zitat:

Original von therisen
Hallo,

du hättest auch gleich $\begin{eqnarray*} x=a\sinh z \end{eqnarray*}$ substituieren können (wie Webfritzi gesagt hat).

Es gilt $\begin{eqnarray*} dz = \cosh(u)~du \end{eqnarray*}$ . Warum schreibst du das also in den Nenner?

Gruß, therisen

Zitat:

Original von therisen
Nimm den sinh. Der ist wenigstens bijektiv Augenzwinkern

Augenzwinkern

?!?

Wiso ist dz=cosh(u)du?!?
$\begin{eqnarray*} z=\sinh(u) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{du}=\cosh(u) <=> dz=\frac{du}{\cosh(u)} \end{eqnarray*}$

€dit: Merke gerade, dass nach 4 Stunden Mathe, die Konzentration leicht nach lässt, mache morgen oder so weiter...

04.07.2007, 16:21

therisen

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Zitat:

Original von -Mischka-
$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{du}=\cosh(u) <=> dz=\frac{du}{\cosh(u)} \end{eqnarray*}$

Darüber solltest du nochmal nachdenken Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mein Beitrag mit dem "sinh" bezog sich auf Webfritzis Vorschlag, $\begin{eqnarray*} x=a\sinh(z) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=a\cosh(z) \end{eqnarray*}$ zu substituieren...

Gruß, therisen

04.07.2007, 18:03

-Mischka-

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Zitat:

Original von therisen

Zitat:

Original von -Mischka-
$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{du}=\cosh(u) <=> dz=\frac{du}{\cosh(u)} \end{eqnarray*}$

Darüber solltest du nochmal nachdenken Augenzwinkern

Augenzwinkern

ok, hab ich jetzt fleißigst getan, aber entweder ich hab heut abend en Brett vorm Kopf, oder ich bin einfach dumm. Oder ich hab zu wenig geschlafen. Kannst mir ja en Tipp geben, wo mein Fehler ist, oder ich seh es mir, wie gesagt morgen noch mal an. Heut hab ich so viel gerechnet, kann nicht mehr gut rechnen.

04.07.2007, 18:29

Bjoern1982

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Wenn man das "du" auf die andere Seite holt, dann kommt es einfach als Faktor dazu.

04.07.2007, 18:36

-Mischka-

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ok, damit wäre zweifelsfrei bewiesen, dass ich heute kein mathe mehr kann. AU man, ist das peinlich *rotwerd*

ABER: Ich glaube, der Fehler liegt trotzdem woanders.
ich habe geschrieben:
$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{du}=cosh(u) \end{eqnarray*}$
Wenn das so richtig ist, ist es wirklich so:
$\begin{eqnarray*} dz=cosh(u)u \end{eqnarray*}$

Aber habe ich nicht ausversehen den Kehrwert hingeschrieben, muss es nicht so sein:
$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dz}=cosh(u) \end{eqnarray*}$
Dann würde das wieder stimmen:
$\begin{eqnarray*} \frac{du}{cosh(u)}=dz \end{eqnarray*}$

Oder verrenne und blamiere ich mir gerade total?

04.07.2007, 18:37

mYthos

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Bitte keine Formeln (und nicht in Latex) in das Thema setzen, damit wird es unleserlich!!

*** Geändert!***

Und: Ist das wirklich Hochschul-Mathe? Ich glaube eher nicht!

mY+

04.07.2007, 19:03

therisen

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Zitat:

Original von -Mischka-
Oder verrenne und blamiere ich mir gerade total?

Ja. Schau's dir morgen nochmal an Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, therisen

PS: Mythos) Die hyperbolischen Funktionen sind (zumindest in Bayern) nicht (mehr?) Schulstoff.

04.07.2007, 22:34

-Mischka-

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Zitat:

Original von mYthos
Und: Ist das wirklich Hochschul-Mathe? Ich glaube eher nicht!

Ja ist es. In der Schule (Mathe-LK) wird Substitution nur Ansatzweise besprochen. Da substituiert man nur wenn die Ableitung dessen, was man substituiert im Zähler des Bruches steht (und nicht weiter verändert werden muss). Darüber hinaus hat therisen vollkommen recht:

Zitat:

Original von therisen
PS: Mythos) Die hyperbolischen Funktionen sind (zumindest in Bayern) nicht (mehr?) Schulstoff.

Waren sie auch nie!
Nur trig. Fkts sind Schulstoff, und bei denen sieht es so aus, dass man einfach die Beziehungen lernt, ohne eine vernünftige Beweisführung. Und überhaupt, lernt man nie, dass

http://upload.wikimedia.org/math/b/3/6/b36bd7d234578f62251aa61e40b09410.png oder

http://upload.wikimedia.org/math/f/3/6/f36b7f89887096394f3ecea3949e366c.png

Ich bin aber trotzdem noch Schüler, schiele aber schon mit 2 Augen auf das, was mich in der Uni erwarten wird.

04.07.2007, 23:44

Tomtomtomtom

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Da man bei dir wohl von gesteigertem Interesse ausgehen kann, hier mal noch als Tipp, daß beide von dir heute hier geposteten Intgrale unter den Überbegriff "Binomisches Integral" fallen, für die der Satz von Tschebyscheff eine Aussage macht, ob sie elementar lösbar sind. Je nach Koeffizienten läßt sich auch genau die Substitution angeben, die zum Erfolg führt. Vielleicht helfen dir diese Stichworte bei der Suche nach Lösungen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Binomisches_Integral

05.07.2007, 00:59

-Mischka-

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Zitat:

Original von Tomtomtomtom
Da man bei dir wohl von gesteigertem Interesse ausgehen kann, hier mal noch als Tipp, daß beide von dir heute hier geposteten Intgrale unter den Überbegriff "Binomisches Integral" fallen, für die der Satz von Tschebyscheff eine Aussage macht, ob sie elementar lösbar sind.

DANKE!!! Das hat mir geholfen Big Laugh

Big Laugh

!
Hab jetzt ein wenig meinen klaren Kopf zurück, und folgende Lsg gefunden:
$\begin{eqnarray*} \int\frac{dx}{(x^2+a^2)^\frac{3}{2}}=\frac{1}{a^2}\tanh areasinh(\frac{x}{a}) \end{eqnarray*}$
Ist das richtig?

05.07.2007, 01:10

Lazarus

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Wieso in die ferne schweifen wenn das gute liegt so nah ?

$\begin{eqnarray*} \tanh\left({\rm arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)\right)=\frac{x}{a\cdot \sqrt{\frac{x}{a}+1}} \end{eqnarray*}$

Damit vereinfacht sich der ganze Ausdruck doch sehr und das Integral lautet:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{\dd x}{\sqrt{\left(x^2+a^2\right)^3}}=\frac{x}{a^2\cdot \sqrt{x^2+a^2}}+C \end{eqnarray*}$

05.07.2007, 16:11

-Mischka-

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Zitat:

Original von Lazarus
Wieso in die ferne schweifen wenn das gute liegt so nah ?

$\begin{eqnarray*} \tanh\left({\rm arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)\right)=\frac{x}{a\cdot \sqrt{\frac{x}{a}+1}} \end{eqnarray*}$

Damit vereinfacht sich der ganze Ausdruck doch sehr und das Integral lautet:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{\dd x}{\sqrt{\left(x^2+a^2\right)^3}}=\frac{x}{a^2\cdot \sqrt{x^2+a^2}}+C \end{eqnarray*}$

bist du dir da sicher? Ich soll das Integral in den Grenzen von 0 bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Bei meiner Lsg kommt folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{x}{a} = \infty \end{eqnarray*}$
nächster Schritt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} areasinh(x) = \infty \end{eqnarray*}$
Schlussendlich:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} tanh(x) = 1 \end{eqnarray*}$
Bei deinem Ding kommt was anderes raus. Zumahl du mindestens ein a vergessen hast, oder seh ich das falsch?

05.07.2007, 16:24

therisen

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Es gilt

$\begin{eqnarray*} \tanh(\mathrm{arsinh}(x)) = \frac x{\sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} \tanh(\mathrm{arsinh}(x/a)) = \frac x{\sqrt{x^2+a^2}} \end{eqnarray*}$

Also genau das, was Lazarus geschrieben hat.

Gruß, therisen

05.07.2007, 17:16

-Mischka-

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Zitat:

Original von therisen
Es gilt

$\begin{eqnarray*} \tanh(\mathrm{arsinh}(x)) = \frac x{\sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} \tanh(\mathrm{arsinh}(x/a)) = \frac x{\sqrt{x^2+a^2}} \end{eqnarray*}$

Also genau das, was Lazarus geschrieben hat.

Gruß, therisen

OK, dann starte ich mal den Versuch das auseinander zu nehmen:
$\begin{eqnarray*} \tanh(\mathrm{arsinh}(x))=\frac{\sinh(\mathrm{arsinh}(x))}{\cosh(\mathrm{arsinh}(x))}=\frac{x}{\cosh(\mathrm{arsinh}(x))} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{x}{\cosh(\ln(x+\sqrt{x^2+1}))} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{x}{\frac{1}{2}(e^{\ln(x+\sqrt{x^2+1})}+e^{(-\ln(x+\sqrt{x^2+1})})} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{2x}{e^{\ln(x+\sqrt{x^2+1})}+e^{(-\ln(x+\sqrt{x^2+1})}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{2x}{(x+\sqrt{x^2+1})+\frac{1}{(x+\sqrt{x^2+1})}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{2x}{\frac{(x+\sqrt{x^2+1})^2}{x+\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{(x+\sqrt{x^2+1})}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{2x}{\frac{(x+\sqrt{x^2+1})^2+1}{x+\sqrt{x^2+1}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{2x^2+2x\sqrt{x^2+1}}{(x+\sqrt{x^2+1})^2+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{2x^2+2x\sqrt{x^2+1}}{x^2+x^2+1+2x\sqrt{x^2+1}+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{2x^2+2x\sqrt{x^2+1}}{2x^2+2x\sqrt{x^2+1}+2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{x^2+x\sqrt{x^2+1}}{x^2+x\sqrt{x^2+1}+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{x(x+\sqrt{x^2+1})}{x^2+x\sqrt{x^2+1}+1} \end{eqnarray*}$

und weiter?

05.07.2007, 17:28

therisen

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Hallo,

der Beweis ist ein Einzeiler. Willst du's nochmal probieren?

05.07.2007, 19:20

-Mischka-

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Zitat:

Original von therisen
Hallo,

der Beweis ist ein Einzeiler. Willst du's nochmal probieren?

irgendwie fällt mir da gerade nix einzeiliges zu ein unglücklich

unglücklich

05.07.2007, 19:21

therisen

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Ok, ein Hinweis: Es gilt $\begin{eqnarray*} \cosh^2x-\sinh^2x=1 \end{eqnarray*}$ .

05.07.2007, 20:34

-Mischka-

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Zitat:

Original von therisen
Ok, ein Hinweis: Es gilt $\begin{eqnarray*} \cosh^2x-\sinh^2x=1 \end{eqnarray*}$ .

das wusste ich vorher schon, habe aber nach wie vor keinen Plan, wie ich das in Zusammenhang setzen soll...

05.07.2007, 20:38

Lazarus

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Löse doch nach cosh auf und setzte ein.
Wo ist das Problem ?

05.07.2007, 21:34

-Mischka-

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ok, jetzt hab ich's

sry, das ich so schwer von Begriff war...

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