Reihe konvergent?

29.01.2005, 22:03

ThorB

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Reihe konvergent?

Ist diese Folge konvergent

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \frac{(k+1)^k}{k^{k+1}} \end{eqnarray*}$

ich nutze das Quotientenkriteritum

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1+1)^{n+1}}{(n+1)^{n+1+1}} * \frac{(n)^{n+1}}{(n+1)^{n}} \end{eqnarray*}$

passt das bis jetzt ?

29.01.2005, 22:21

oldwise

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RE: Reihe konvergent?
nein stimmt nicht.

Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{(k+2)^{k+1}}{(k+1)^{k+1}+1} \frac{k^k+1}{(k+1)^k} \end{eqnarray*}$

Du siehst also, dass dir das Quotientenkriterium hier nicht hilft. Probiere es mit dem Wurzelkriterium.

und wenn ich mich nicht verrechnet habe, divergiert die Folge.

29.01.2005, 22:27

cmenke

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Öhm, oldwise, sind dir da beim techen zufällig geschweifte klammern abhanden gekommen?
Also hätte auch k statt n genommen, aber das mit den +1 finde ich etwas... seltsam. Ich glaube die sollen in den Exponenten und dann hast du genau dasselbe da stehen wie ThorB, nur mit k statt n.
Unabhängig davon habe ich keine Ahnung, mit welchem Kriterium ich da ranngehen würde.... beim Quotientenkriterium habe ich schlechte Erfahrungen mit den Umformungen gemacht, die werden zum Teil echt haarig.

29.01.2005, 22:36

ThorB

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ja ist genau das gleich und wieso komme ich da nicht weiter ?

reicht es nicht wenn ich für "n" einen Wert einsetze und wenn das Ergebnis > 1 ist dann divergiert sie wenn das Ergebnis < 1 ist die Folge konvergent ?

29.01.2005, 22:57

cmenke

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Zitat:

Original von ThorB
ja ist genau das gleich und wieso komme ich da nicht weiter ?

Ich denke du kommst da mit den Umformungen nicht weiter. Kann aber auch klappen, diese Dinger sind manchmal echt "zum Knobeln". Versuch mal, ob du aus den Exponenten irgendwie/irgendwo +1 rausziehen kannst und dann zusammenfassen kannst. Ich hab jetzt Desperados gehabt und bin heute abend nicht mehr in der Lage, sorry Prost

Prost

Zitat:

reicht es nicht wenn ich für "n" einen Wert einsetze und wenn das Ergebnis > 1 ist dann divergiert sie wenn das Ergebnis < 1 ist die Folge konvergent ?

Nein, das sicher nicht. Es kann ohne weiteres sein, dass die Reihe bis zu einem bestimmten n kräftig nach oben (bzw. unten) wandert oder einfach wild in der Gegend rumspringt, um dann doch zu konvergieren - da holt das Wachstum im Nenner das Wachstum im Zähler ein. Deswegen ja auch die Schreibweise "es existiert ein n0 so dass für alle n > n0"...
Und die Reihe bzw. Folge, die du da hast, ist IMHO genau so ein Ding, der sieht man an der Nasenspitze gaaaaar nix an, da braucht man echt die Konvergenzkriterien.

29.01.2005, 23:08

BraiNFrosT

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RE: Reihe konvergent?
Also irgendwie bringt ihr alles durcheinander.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~a_k \end{eqnarray*}$

Frage ist jetzt ob die Reihe (nicht Folge...) konvergiert für
n -> unendlich.

Für das Quotientenkriterium untersucht man : $\begin{eqnarray*} \frac{a_{k+1}}{a_k} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \frac{(k+2)^{k+1}}{(k+1)^{k+2}} * \frac{(k)^{k+1}}{(k+1)^{k}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(k(k+2))^{k+1}}{(k+1)^{2k+2}} = \frac{(k(k+2))^{k+1}}{(k+1)^2)^{k+1}} = ( \frac{k^2+2k}{k^2+2k+1} )^{k+1} \end{eqnarray*}$

Und nun k gegen unendlich streben lassen. kA ob es was bringt : )

edit : nö, das Kriterium bringt dich nicht weiter

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30.01.2005, 08:47

oldwise

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RE: Reihe konvergent?
@ThorB:

Du mußt deine Formel editiert haben, die stand vorher nicht so da. So wie sie jetzt da steht ist klar, dass meine nicht stimmt!

Nimm das Wurzelkriterium. Das führt dich ganz leicht zum Ziel und außerdem bietet sich das immer an, wenn man mit k-ten Potenzen arbeiten muß:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\frac{(k+1)^k}{k^{(k+1)}}} = \frac{\sqrt[k]{(k+1)^k}}{\sqrt[k]{k^k k}}=\frac{k+1}{k\sqrt[k]{k}} > 1 \end{eqnarray*}$

Nun habe ich es schon hingeschrieben, jetzt mußt du dir bloß noch überlegen warum das so ist.

gruß

30.01.2005, 09:28

BraiNFrosT

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RE: Reihe konvergent?

Zitat:

Original von oldwise
, jetzt mußt du dir bloß noch überlegen warum das so ist.

Oder warum das nicht so ist. Bei mir gehts gegen 1 für k gegen unendlich.

30.01.2005, 10:21

oldwise

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RE: Reihe konvergent?
auf jeden Fall divergiert die Reihe.

stimmt, wenn du jetzt k ausklammerst, dann kommst du auf gleich 1. Dann nimm das Minorantenkriterium.

30.01.2005, 10:35

ThorB

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ja vielen Dank erstmal eine blöde Frage hab ich nochmal was bedeutet das

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \end{eqnarray*}$ n und das k=1 ?

30.01.2005, 10:43

oldwise

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k sagt dir mit welchem Faktor deine Summierung beginnt und das n bei welchem es aufhört. So kannst du zu beispiel folgendes machen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{10} k^3 = \sum_{k=1}^5 k^3 + \sum_{k=6}^{10} k^3 \end{eqnarray*}$

verstehst du?

30.01.2005, 11:13

ThorB

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$\begin{eqnarray*} =\frac{k+1}{k\sqrt[k]{k}} \end{eqnarray*}$

ich setzte für k irgendeinen Wert ein z.b 1000

dann komm ich ja auf einen Wert der unter 1 liegt ist auch egal was ich einsetzte mein Ergebniss "q" ist doch immer kleiner als 1 also konvergiert die Reihe oder unglücklich

unglücklich

30.01.2005, 11:21

oldwise

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du darfst nicht irgendeinen Wert einsetzen. Du mußt dir die Folge betrachten, wenn sie unendlich groß wird.

wenn du k ausklammerst, dann steht da:

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}\frac{k}{k}(\frac{1+\frac{1}{k}}{\sqrt[k]{k}}) = 1 \end{eqnarray*}$

Da das Wurzelkriterium für diesen Fall nichts aussagt, hilft es dir nicht weiter. Du kannst aber schonmal vermuten, dass die Reihe divergiert.

Nun probierst du es mit dem Minorantenkriterium.

30.01.2005, 11:35

ThorB

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Das Minorantenkriterium kenn ich leider nicht .. unglücklich

unglücklich

ich habe die Lösung von meinem Kumpel werde aber daraus nicht schlau

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^n}{(n)^{n+1}} = \frac{1}{n} * (1+ \frac{1}{n})^n > \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+ \frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ > als 1 und darum divergiert die Reihe

ka wie der darauf kommt

30.01.2005, 11:51

oldwise

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die umformung ist ok, hilft aber nicht. Zur Umformung:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^n}{n^{n+1}} = \frac{(n+1)^n}{n^n *n} = \frac{1}{n}(\frac{(n+1)^n}{n^n}) = \frac{1}{n}(\frac{n+1}{n})^n = \frac{1}{n}(1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$

soviel dazu. Wendest du das Wurzelkriterium an, kommst du auf:

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n}} (1+\frac{1}{n}) = 1 \end{eqnarray*}$

und das hilft dir auch nicht.

Minorantenkriterium heißt:

Finde eine Reihe die kleiner ist als deine zu untersuchende. Zeige, dass die kleinere Reihe divergiert. Dann divergiert auch die deine zu untersuchende Reihe.

30.01.2005, 12:14

ThorB

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tut mir leid ich kann damit nix anfangen

30.01.2005, 13:10

oldwise

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vergiß alles was ich voher sagte. Die Reihe konvergiert! Hab mir jetzt in Ruhe alles mal angeschaut. Das Ding ist richtig fies. Ich würde es folgendermaßen lösen:

über vollst. Induktion zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (k+1)^k < k^{k+1} \end{eqnarray*}$

damit hast du eine Reihe der Form $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{(a_n)}{(b_n)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (a_n):=(k+1)^k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n):=k^{k+1} \end{eqnarray*}$ .

Und da $\begin{eqnarray*} (a_n) < (b_n) \end{eqnarray*}$ hast du eine Reihe die äquivalent ist zu $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(c_n)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(c_n)=\infty \end{eqnarray*}$

Und da diese konvergiert, konvergiert auch die erste.

30.01.2005, 15:56

Poff

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diese Argumentation verstehe ich nicht.

Wenn (k+1)^k / k^(k+1) > 1/k für alle k, dann muss die Reihe
doch divergieren ...
.

30.01.2005, 16:33

oldwise

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das ist sie doch nicht. Sie ist ähnlich, denn

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\frac{(k+1)^k}{k^{k+1}}=c, c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} k\geq 3 \end{eqnarray*}$ wird der Nenner größer als der Zähler. Damit summierst du immer kleiner werdende Summanden. Ergo konvergiert die Reihe.

Das ist wie mit $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ . Ab $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ ist der Nenner größer als der Zähler und auch hier summierst du immer kleiner werdene Summanden. Und diese Reihe konvergiert definitiv.

Das ist meine Argumentation. Beide Reihen sind ähnlich.

Man könnte sogar oben Grenzwert ausrechnen.

30.01.2005, 16:37

etzwane

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Zitat:

Original von oldwise
Das ist wie mit $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ . Ab $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ ist der Nenner größer als der Zähler und auch hier summierst du immer kleiner werdene Summanden. Und diese Reihe konvergiert definitiv.

HIER IRRST DU DICH!
DEFINITIV!

30.01.2005, 17:28

oldwise

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hä? Also wenn ich gerade nicht total auf dem Schlauch stehe, dann hat
$\begin{eqnarray*} \lim\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=2 \end{eqnarray*}$ den Grenzwert 2. Damit konvergiert sie!

30.01.2005, 17:39

etzwane

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Du musst irgendetwas verwechseln, diese Reihe ist definitiv divergent.

EDIT: ergänzt

Schau mal:
$\begin{eqnarray*} \lim\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n} > 10*1/10 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim\sum_{n=11}^{100}\frac{1}{n} > 90*1/100 = 0,9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim\sum_{n=101}^{1000}\frac{1}{n} > 900*1/1000 = 0,9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim\sum_{n=1001}^{10000}\frac{1}{n} > 9000*1/10000 = 0,9 \end{eqnarray*}$
usw.
Merkst du was, mit jeder 10ner-Potenz kommen mindestens 0,9 dazu.
Und wieviele 10ner-Potenzen gibt es bis Unendlich?

30.01.2005, 17:50

Calvin

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Zitat:

Original von oldwise
hä? Also wenn ich gerade nicht total auf dem Schlauch stehe, dann hat
$\begin{eqnarray*} \lim\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=2 \end{eqnarray*}$ den Grenzwert 2. Damit konvergiert sie!

Du meinst sicher $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\left( \frac{1}{2}\right) ^n=2 \end{eqnarray*}$

30.01.2005, 18:17

oldwise

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nun gut. angenommen $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ divergiert, dann müßte mit dem Minorantenkriterium $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^n} \end{eqnarray*}$ auch divergieren. Tut sie aber nicht (Beweis durch Wurzelkriterium).

30.01.2005, 18:28

MisterSeaman

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Aber oben steht doch jetzt, dass sie divergiert. $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n} \end{eqnarray*}$ konvergiert auch nach dem Majorantenkriterium. (z.b. Abschätzung durch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ ). Was ist deine Minorante für $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ?

30.01.2005, 18:31

oldwise

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verwirrt

aber $\begin{eqnarray*} \sum \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert doch! traurig

traurig

traurig

traurig

vielleicht stehe ich auch total auf dem Schlauch gerade und gehe deshalb jetzt pennen

30.01.2005, 20:55

cmenke

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ja, und morgen nach dem Aufstehen guckst du http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe smile

smile

31.01.2005, 09:12

Mathespezialschüler

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Siehe hier

Und für oldwise suche ich später noch nach einem anderen Thread, den ich noch gut in Erinnerung hab (Hab jetzt keine Zeit mehr dafür).

31.01.2005, 12:36

nikname

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Wenn ich mich nicht ganz täusche gibt es da doch eine einfache Regel die man sich merken kann:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{k^a} \end{eqnarray*}$

konvergiert für a>1
und divergiert für a<=1

(bin mir aber nicht ganz sicher, aber müsste so stimmen)

31.01.2005, 16:13

Mathespezialschüler

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@nikname
Ja, das hast du richtig in Erinnerung.
@oldwise
Hab ihn gleich gefunden: Hier der angesprochene Thread.
Ich weiß auch nicht, wie du darauf kommst, dass aus dem Minorantenkriterium folgen würde, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n^n} \end{eqnarray*}$ divergiert.
Für das Minorantenkriterium müsste ja dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^n}\geq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ sein. Das stimmt aber nicht! Für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ ist nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^n}<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} n^n>n \end{eqnarray*}$ ist und bei der Kehrwertbildung das Relationszeichen umgedreht werden muss!!!

(Aus $\begin{eqnarray*} a>b>0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} 0<\frac{1}{a}<\frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ !!)

31.01.2005, 17:49

oldwise

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ja ihr habt recht. meine fantasy ist mit mir durchgegangen ... Forum Kloppe

Forum Kloppe

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