POISSON-Prozess

29.01.2005, 22:45

Danny

POISSON-Prozess

Hallo!
Vielleicht könnte mir jemand bei diesem Beispiel weiterhelfen, ich würde mich sehr freuen.

Es sei $\begin{eqnarray*} Xt =sin\alpha*t \end{eqnarray*}$ , mit= $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine in (0,2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ) gleichverteilte Zufallsvariable.

Man zeige
a) Die zufällige Folge {Xt/ t=1,2,...} ist stationär im weiteren, aber NICHT im engeren Sinn
b) Der stochastische Prozess {Xt/t>=0} ist weder im engeren noch im weiteren Sinne stationär.

Im Grund wär ich schon froh, wenn jemand einen Ansatz hätte, weil es in meinem Skript keine Anleitung dafür gibt, wie man das beweisen kann, und es steht auch nichts über "engeren Sinn"

30.01.2005, 00:04

Ben Sisko

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RE: POISSON-Prozess

Zitat:

Original von Danny
und es steht auch nichts über "engeren Sinn"

Das muss man dazu natürlich wissen. Dazu fällt mir sponan keine "kanonische" Bedeutung ein. Bist du sicher, dass es in deinem Skript nicht definiert wurde (oder es ein Bsp. dazu gab etc.)?

Sonst jemand eine Ahnung, was hier der engere oder der weitere Sinn sein könnte? P-fast sichere stationäre Folge?

Gruß vom Ben

30.01.2005, 15:39

Danny

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Ich weiß jetzt, dass man den Erwartungswert über eine Trendfunktion(mt) berechnen kann, dazu müßte man die Funktion integrieren. Außerdem müßte man die Varianz berechnen und beide(Erwartungswert und Varianz) sollten konstant sein, zb mt: E(Xt)=m).
Ich kann das aber nicht beweisen:-(

Vielleicht könnte sich das nochmals jemand ansehen?
Danke

30.01.2005, 23:47

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Bei "stationär im weiteren Sinne" muss normalerweise auch noch die Prozessordnung genannt werden.

Bei Prozessen erster Ordnung reicht für die Stationarität im weiteren Sinne der Nachweis aus, dass es ein m mit

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X(t)=m \end{eqnarray*}$

für alle t gibt.

Bei Prozessen zweiter Ordnung dagegen muss man noch die Existenz einer Kovarianzfunktion $\begin{eqnarray*} K:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X(t)-m)(X(s)-m)=K(t-s) \end{eqnarray*}$

nachweisen.

Stationär im engeren Sinn bedeutet dagegen, dass der Zufallsvektor

$\begin{eqnarray*} (X(t_1),X(t_2),\ldots,X(t_n)) \end{eqnarray*}$

dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung wie

$\begin{eqnarray*} (X(t_1+h),X(t_2+h),\ldots,X(t_n+h)) \end{eqnarray*}$

für jede mögliche "Verschiebung" h haben muss.

31.01.2005, 00:32

Danny

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POISSON-Prozess
Hallo!

Hab mir das angesehen, was Du mir zurückgeschrieben hast..danke
um E(Xt) zu berechnen, muß ich da die Funktion nur integrieren?
wenn ja, wonach muß ich integrieren?
Hättest Du vielleicht die Zeit und die Geduld mir einen Rechenansatz zu geben...ich versteh prinzipiell was gemeint ist, weiß aber nicht wie umsetzen und wie ich eine Lösung dann interpretieren kann?

mfg
danny

31.01.2005, 08:46

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RE: POISSON-Prozess
Es ist $\begin{eqnarray*} \alpha\sim\mathrm{Glm}[0,2\pi) \end{eqnarray*}$ , das bedeutet folgende Dichte für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f_{\alpha}(x)=\frac{1}{2\pi}\quad \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \;0\leq x<2\pi \end{eqnarray*}$ .

Somit rechnet man dann

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X(t)=\mathbb{E}\left[\sin(\alpha)\cdot t\right]=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\,\left[\sin(x)\cdot t\right] f_{\alpha}(x)~dx=\frac{t}{2\pi}\cdot\int\limits_{0}^{2\pi}\,\sin(x)~dx=0 \end{eqnarray*}$ ,

also kann man m=0 wählen.

Hier liegt allerdings ein Prozess zweiter Ordnung vor (die Varianzen und Kovarianzen existieren!), also muss für Stationarität im weiteren Sinne auch noch $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X(t)-m)(X(s)-m) \end{eqnarray*}$ ausgerechnet werden, und darf nur von (t-s) abhängen!

EDIT: Eine Anmerkung zu deiner Aufgabenstellung. Aufgabe b) bezüglich des stochastischen Prozess ist klar und einleuchtend. Aber was soll in a) eine stochastische Folge sein? Für mich ist das einfach ein Spezialfall eines stochastischen Prozesses, und zwar mit diskreter Zeitskale. Und mit dieser gängigen Interpretation ist der vorliegende Prozess auch NICHT stationär im weiteren Sinne!

EDIT2: Oder meinst du etwa

$\begin{eqnarray*} X(t) = \sin(\alpha\cdot t) \end{eqnarray*}$

statt (wie ich bisher dachte)

$\begin{eqnarray*} X(t) = \sin(\alpha)\cdot t \end{eqnarray*}$ ???

Dann vergiss alle bisherigen Rechnungen und denke künftig dran, Klammern zu setzen!!!

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