algebraische strukturen

30.01.2005, 22:11	Alfi	Auf diesen Beitrag antworten »
algebraische strukturen hallo, kann mir vielleicht jemand erklären, warum $\begin{eqnarray} (Z, +, ) \end{eqnarray}$ ein kommutativer ring, aber kein körper ist und $\begin{eqnarray} (Q, +, ) \end{eqnarray}$ ein Körper ist. Das wäre echt super, wenn mir jemand helfen könnte.
30.01.2005, 22:30	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst du die zugrundeliegenden Axiome für die Algebren? Die musst du einzeln durchprüfen. Untersuch speziell (Z, +, *) auf multiplikativ-Inverse.
31.01.2005, 15:10	Alfi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kenne die Axiome für einen ring, trotzdem verstehe ich nicht, woran ich das sehen kann, wie in diesem fall
31.01.2005, 15:15	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann mal sehr deutlich: Wenn $\begin{eqnarray} (Z, +, ) \end{eqnarray}$ ein Körper wäre, dann müsste jedes Element außer Null eine multiplikative Inverse besitzen, z.B. auch das Element 2. Für welche ganze Zahl g gilt gleich nochmal 2g=1 ???
31.01.2005, 17:11	Alfi	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, aber genauso kann ich doch auch für Q argumentieren, dann wäre es ja auch kein körper
31.01.2005, 17:23	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, kannst du nicht - denn g=1/2 ist eine rationale Zahl!!!!!!!
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31.01.2005, 17:39	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Fragen, die du dir stellen musst sind: Was muss ein Ring können, was muss ein Körper zusätzlich erfüllen? Schauen wir mal auf die Körperaxiome und prüfen diese: An erster Stelle stehen Rechengesetze, die ich jetzt mal für Z wie auch für Q voraussetze: * Assoziativgesetz * Kommutativgesetz * Distributivgesetz * Existenz des neutralen Elementes der Addition e_+: $\begin{eqnarray} x + e_+ = e_+ + x = x \quad \forall x \in K \end{eqnarray}$ Klar, dass e_+ = 0. 0 ist sowohl Element von Z als auch von Q. * Für jedes Element aus K muss auch das additiv Inverse in K sein: $\begin{eqnarray} x + \overline{x} = \overline{x} + x = e_+ \quad \forall x \in K \end{eqnarray}$ Auch hier sehen wir: $\begin{eqnarray} \overline{x} = -x \end{eqnarray}$ erfüllt diese Kriterien. Jedes additiv Inverse befindet sich in beiden Mengen Z und Q. * Es existiert ein neutrales Element der Multiplikation e_: $\begin{eqnarray} x \cdot e_* = e_* \cdot x = x \quad \forall x \in K \end{eqnarray}$ Dies ist die 1, die auch in beiden Mengen vorkommt. Zu jedem $\begin{eqnarray} x \neq e_+ \end{eqnarray}$ existiert ein multiplikativ Inverses: $\begin{eqnarray} x \cdot \underline{x} = \underline{x} \cdot x = e_ \end{eqnarray}$ Das muss $\begin{eqnarray} \underline{x} = x^{-1} = \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ sein. Aber Element der Form $\begin{eqnarray} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ gibt es nur in Q, nicht aber in Z! Also ist Z kein Körper. Ich hoffe, das hilft dir weiter.

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