Linksnebenklasse |
| 31.01.2005, 11:56 | Andi1984 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Linksnebenklasse also ich bräuchte mal Hilfe zu den Linksnebenklassen. Wenn ich die verstanden habe, dann verstehe ich ja auch die Rechtsnebenklassen. Könnte jemand bitte mal anhand eines Beispiels die Linksnebenklassen erklären? Mit folgenden zusätzlichen Sätzen und Tatsachen:
Wobei G eine Gruppe und H Teilmenge von G eine Untergruppe ist. Wäre cool, wenn das jemand anhand eines Beispiels erklären könnte. MfG Andi 
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| 01.02.2005, 11:23 | mountainflower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Andi, nehmen wir mal die alternierende Gruppe A4 und die kleinsche Vierergruppe V4: A4={1, (12)(34), (13)(24), (14)(23), (123), (132), (134), (143), (124), (142), (234), (243)} V4={1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. Nun koennen wir beliebige Linksnebenklassen erzeugen. Wir waehlen mal ein Element aus A4: (12)(34). Wir kleben das einfach an alle Elemente aus V4 dran, und schon haben wir die erste Linksnebenklasse: (12)(34)1, (12)(34)(12)(34), (12)(34)(13)(24), (12)(34)(14)(23) Oder ausgerechnet: (12)(34), 1, (14)(23), (13)(24) Wenn wir also ein Element aus V4 waehlen, kriegen wir wieder V4. Waehlen wir ein anderes Element (zB (123)), so bekommen wir Linksnebenklassen, die keine Gruppen mehr bilden: (123)1, (123)(12)(34), (123)(13)(24), (123)(14)(23) = (123), (243), (142), (134) Wenn zwei Linksnebenklassen ein Element gemeinsam haben, dann sind auch alle anderen Elemente gleich. Sprich: Sie sind disjunkt. Zum Vorstellen hab ich mir immer ein Rechteck aufgezeichnet, das die Gruppe A4 darstellen soll. Dann zeichnest Du mehrere Spalten in das Rechteck. Eine davon (wo das Einselement drin ist) ist V4. Die anderen sind die Nebenklassen von V4. Der Index gibt Dir ganz einfach die Anzahl der Spalten bzw Linksnebenklassen. Das heisst, Du musst versuchen ein Vertretersystem zu finden. Du kannst ja fuer eine Linksnebenklasse mehrere Schreibweisen verwenden, zB fuer die erste, die wir gerechnet haben: 1V4 oder (12)(34)V4 oder (14)(23)V4 oder (13)(24)V4. Das ist jeweils die gleiche Klasse also nehmen wir die 1 als Vertreter. So machst Du das mit allen Klassen und kriegst dann die Anzahl. Nun hat der nette Lagrange festgehalten, dass alle Nebenklassen gleich viele Elemente haben (was relativ leicht nachzuvollziehen ist), und drum kann man jetzt viel schneller die Anzahl Nebenklassen berechnen: |G|=(G:H)|H| (Dh: G ist disjunkte Vereinigung der Nebenklassen.) Umgeformt: (G:H)=|G| / |H|. Ist das etwa die Erklaerung, die Du Dir vorgestellt hast? Gruss, mountainflower |
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| 01.02.2005, 16:28 | Andi1984 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Danke + kleine Frage Hallo mountainflower, danke schonmal für die Antwort. Ich habe nur noch eine Frage:
Wie kommst du auf das Ausgerechnete? Ansonsten habe ich es größtenteils verstanden. MfG Andi |
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| 02.02.2005, 18:18 | mountainflower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich berechne quasi, was effektiv gemacht wird. Also wenn ich die Eins und die Zwei erst vertausche und dann nochmal die Eins und die Zwei, dann sind sie ja wieder so wie zu Beginn. Also: (12)(12)=1. (Die 1 alleine steht hier einfach fuer die Identitaet.) Wenn ich jetzt (12)(34)(12)(34) betrachte, dann sehe ich, dass die ersten zwei disjunkt sind. Also kann ich sie vertauschen. Dann faellt (12)(12) weg, es bleibt (34)(34), und das faellt dann auch weg. So bleibt hier wieder die Identitaet. Bei (12)(34)(13)(24) ist es etwas schwieriger. Da beginne ich mit der Eins und schaue, wohin die abgebildet wird. Erst auf die Zwei und dann (wegen (24)) weiter auf die Vier. Also beginnts so: (14 Wenn ich jetzt die Vier anschaue, dann wird sie erst auf die Drei, dann auf die Eins abgebildet. Also kann ich die Klammer schliessen und mit der Zwei weitermachen: (14)(2 Die geht auf die Eins, dann auf die Drei. Weil wir dann alle Zahlen haben, sind wir fertig: (14)(23) Alles klar? |
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