Summe von k²

01.02.2005, 14:30

sunshine111

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Summe von k²

Hallo zusammen.

Ich steh grad ziemlich auf dem Schlauch und brauch nur einen kleinen Tip (hoff ich ;-))

Also, zu Aufgabe.
man soll beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k² \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

folgende überlegungen hab ich getroffen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k² \end{eqnarray*}$ = 1+4+9+16+...+n²

nun muss ich aufsummieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{n(a_1+a_n)}{2} \end{eqnarray*}$

a_1 ist mein erstes Glied, a_n mein n-tes Glied.

nun rechne ich aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{n(1+n²)}{2} = \frac{(n+n³)}{2} \end{eqnarray*}$

das entspricht aber nicht dem, was ich zeigen muss. warum nicht? wo liegt der Fehler?

Betrachtet man mal ein anderes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~2k = 2+4+6+...+2n \end{eqnarray*}$

nun summiere ich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{n(a_1+a_n)}{2} = \frac{n(2+2n)}{2} = n(n+1) \end{eqnarray*}$

hier stimmt alles. wo ist dann bei k² der Fehler???

Um eine schnelle Hilfe wäre ich sehr dankbar...

mfg sunshine

01.02.2005, 14:32

JochenX

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versuch doch deinen beweis mal mit vollständiger induktion...
das sollte ganz leicht sein...

mfg jochen

01.02.2005, 14:34

Deakandy

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RE: Summe von k²

Zitat:

Original von Deakandy
1. Beispiel
Für alle n€ |N gilt: $\begin{align*} \bigsum_{k=1}^n~k = 1+2+...+n = \frac {n\cdot(n+1)} {2} \end{align*}$

Beweis: Wir zeigen die Aussage durch Induktion nach n
Induktionsanfang (IA): Man zeige, dass n=1 gilt
$\begin{align*} \bigsum_{k=1}^1~k = 1 = \frac {1\cdot(1+1)} {2} \end{align*}$
Induktionsvorraussetzung (IV): Es gelte für ein $\begin{align*} n \geq 1 \end{align*}$
Induktionsschluss (IS): Man schließe von n auf n+1 ( n|-->n+1)
Das heißt man hat zu zeigen, das folgendes gilt:
$\begin{align*} \bigsum_{k=1}^{n+1}~k = \frac {(n+1)\cdot(n+1+1)} {2} =\frac {(n+1)\cdot(n+2)} {2} = \frac {n^2+3n+2} {2} \end{align*}$
Nun geht man wie folgt vor:
$\begin{align*} \bigsum_{k=1}^{n+1}~k = (\bigsum_{k=1}^n~k) +(n+1) \end{align*}$
In diesem Schritt holt man lediglich den letzten Summanden raus.
Nun kann man die Induktionsvorraussetzung anwenden
Man setzt für die Summe
$\begin{align*} \bigsum_{k=1}^n~k \end{align*}$ genau das ein, was aus der Voraussetzung gilt und zwar $\begin{align*} \frac {n\cdot(n+1)} {2} \end{align*}$
Eingesetzt ergibt sich dann folgender Therm:
$\begin{align*} \frac {n\cdot(n+1)} {2} +n+1 \end{align*}$
Diese Summe bringt man geschickt auf einen Bruch durch Erweitern
$\begin{align*} \frac {n\cdot(n+1)} {2} + \frac {2\cdot(n+1)} {2} \end{align*}$
$\begin{align*} \frac {(n^2+n)+(2n+2)} {2} \end{align*}$
$\begin{align*} \frac {n^2+3n+2} {2} \end{align*}$
Und genau das war zu zeigen.
Man hat nun genau die Form, wie sie unter dem Induktionsschluss stehen hat.
Die Behauptung ist dem Prinzip der vollständigen Induktion bewiesen. q.e.d.

das ist so ein beweis

01.02.2005, 14:36

sunshine111

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mit induktion hab ich's auch schon versucht... immer kam was falsches raus. irgendwo steckt der wurm drin und ich komm einfach nicht dahinter.

01.02.2005, 14:37

JochenX

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poste doch mal alles, was du bislang für den induktionsbeweis gemacht hast.
dann können wir dir helfen, deine fehler zu suchen....

wenn du dir ders verfahrens nicht mehr ganz sicher bist, versuche erst in ruhe deakandys beispiel nachzuvollziehen...

mfg jochen

01.02.2005, 14:38

Deakandy

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k² \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k² \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (n+1)+\sum_{k=1}^n~k² \end{eqnarray*}$ = dann setze $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$
ein und versuche auf die form $\begin{eqnarray*} \frac{n+1(n+1+1)(2(n+1)+1)}{6} \end{eqnarray*}$ zu kommen

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01.02.2005, 14:43

sunshine111

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die Induktion bereitet mir absolut keine schwierigkeiten. Kann ich Summe k² einfach nur durch die Induktion beweisen? Genügt das?

Aber wenn ich Summe k² aufsummiere, kommt was anderes heraus, als die Behauptung war. Was nun? Hab ich falsch aufsummiert?
Wie komme ich genau auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

mich interessiert ganz einfach der rechnerische weg. wie man es mit Induktion beweist ist mir völlig klar.
sorry, ich muss es halt ganz genau wissen. ;-)

01.02.2005, 14:44

JochenX

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ich verstehe deine frage nicht.
andy, verstehst du es?!

was ist dein problem?

01.02.2005, 14:45

Deakandy

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Du kommst nicht auf das was du da stehen hast
Du musst auf das mit n+1 kommen
Das was da steht nutzt du als induktionsvoraussetzung und sagst, wenn es für das n gilt und auch für das nächste dann ist der beweis dicht.+
Also da reicht die vollständige induktion schon aus...
Andy

01.02.2005, 14:48

sunshine111

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warum komm ich dann auf das richtige ergebins, wenn ich z.B. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~2k \end{eqnarray*}$ aufsummiere?

Warum kann ich das nicht überall anwenden?

01.02.2005, 14:50

Deakandy

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das ist doch auch richtig...
Also ich weiss immo nicht wo dein prob ist...
Wenn du deine Summe da mit den 2k nimmst dann kannst du die 2 auch davorschreiben... dann nimmst du einfach die summe von k und die ist ja $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ naja und dann mit 2 multiplizieren...
Wo liegt dein prob?

01.02.2005, 14:55

sunshine111

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schau mal auf meinen beitrag.

ich habe dort die $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k² \end{eqnarray*}$ aufsummiert.
d.h. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k² = \frac{n+n³}{2} \end{eqnarray*}$
Stimmt das? Wenn ich das mit Induktion beweise, kommt etwas falsches heraus. Was schließe ich daraus?

01.02.2005, 15:01

Deakandy

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Also ich weiss ja nicht wieso du es beweisen willst
Also du weisst ja , dass deine summe von k^2 =1/6*[n(n+1)(n+2)]
Also $\begin{eqnarray*} \frac {(n^2+n)(n+2)}{6} \end{eqnarray*}$
Und meinst du, dass es = $\begin{eqnarray*} \frac{n+n^3}{2} \end{eqnarray*}$ ist?

01.02.2005, 15:03

sunshine111

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ich weiß, es hat nicht direkt was mit der aufgabe zu tun, aber ich glaub du hast verstanden was ich meine.

wie bist du auf das ergebnis gekommen? kannst du mir das erklären?

01.02.2005, 15:04

JochenX

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meinst du, wie du auf diese implizite formel überhaupt mal kommst?
für den fall, dass sie nicht gegeben ist?

01.02.2005, 15:05

Deakandy

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Das ist einfach eine Formel, die irgendwann ein kluger Kopf herausgefungen hat
Das z.B. die Summe von k =n(n+1)/2 ist das bekommt man noch im kopf hin wenn man ein wenig überlegen kann
Die andere hat auch einer rausgefunden
Wenn deine Formel da nciht per induktion zu beweisen ist dann ist sie auch nicht richtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.02.2005, 15:06

sunshine111

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wie würde es von k³ aussehen?

01.02.2005, 15:07

Deakandy

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Diese Formel ist mir nicht bekannt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielleicht steht sie in irgendeiner formelsammlung...

01.02.2005, 15:08

JochenX

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du kannst bei sowas höchstens mal einige werte ausrechnen und aus denen vermuten.....
aber dir werden sicher keine aufgaben begegnen, bei denen die implizite darstellung nicht gegeben oder leicht zu vermuten ist...

mfg jochen

01.02.2005, 15:08

sunshine111

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ich danke euch.

da hab ich mir wohl stress umsonst gemacht. ich wollte was wissen, was man gar nicht wissen kann bzw braucht.

01.02.2005, 15:09

Deakandy

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Kein Problem
Dafür sind wie ja da
Also ich hoffe alle Klarheiten sind beseitigt smile

smile

01.02.2005, 16:52

n!

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für die ersten n Kubikzahlen lautet die Formel übrigens:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^{3}=\frac{1}{4}* n^{2} (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

Wenn du übrigens doch noch Interesse hast,einige Summenformeln herzuleiten,dann kannst du mal hier schauen:

http://www.matheboard.de/thread.php?sid=...61471#post61471

Ist nicht recht einfach.Deswegen sollte man oftmals Summenformeln,auch Summenformeln bleiben lassen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.02.2005, 17:09

riwe

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das geht doch ganz leicht mit vollst. induktion
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} +{(n+1)}^{2} \end{eqnarray*}$
ausmultiplizieren und wieder zusammenfassen( *6)
= (2n^2 + 7n )(n+1) =(n+1)(2n + 3)(n +2)
werner

02.02.2005, 16:37

sunshine111

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danke n!.
nach genau dem war ich eigentlich auf der suche...

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