Lineare Un- bzw. Abhängigkeit

06.07.2007, 20:06

Lineare Un- bzw. Abhängigkeit

Hi

Ich habe mir wieder Gedanken über die lineare Ab-. bzw. Unabh. gemacht und denke, dass ich das noch immer nicht verstehe( das größte Problem bei der linearen Algebra).

Betrachen wir nur den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ .

Wir haben zwei Vektoren, die kollinear zueinander sind, d.h. parallel, so sind sie l. a.
Zwei Vektoren,die nicht die gleiche Richtung haben, also einen Winkel größer kleiner 0 bzw. 180 bilden, so sind sie l. u., da der andere nicht der Vielfache des anderen ist.

Soweit richtig? Das ist noch einfach!

Aber mit drei Vektoren versteh ich das ganze nicht(weil Lehrer mich verwirrt hat und ich die erste Aussage nicht mehr aus dem Kopf werfen kann).

Er meint, dass 4 Vektoren immer linear abhängig im 3 R sind.

Gehen wir das alles genau so durch:
3 Parallele: L. a.

2 para. 1 nicht parallele: linear u. und lin. ab.....? Eigentlich beides, denn die parallelen sind l.a und den nicht parallelen kann man gar nicht darstellen durch die beiden paralllelen....

alle auf einer Ebene, aber nicht parallel: l. a., weil ich einen durch andere beide darstellen kann (komplanarität)

Stimmt das alles soweit?
Nun- warum müssen 4 Vektoren im R3 immer linear abhängig sein?
Ich meine, wenn ich 4 parallele verschieden lange Vektoren habe, dann sind sie auch l.a....

Danke im voraus

06.07.2007, 20:27

tigerbine

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RE: Lineare Un- bzw. Abhängigkeit
Umgangssprachlich:

Beispiel IR³. Wie viele Koordinatenachsen gibt es?

07.07.2007, 01:26

mYthos

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Wenn du dich an die allgemeine Definition der linearen Ab- bzw. Unabhängigkeit hältst, kannst du alle diese vermeintlichen Probleme lösen bzw. würden diese vielleicht nicht auftreten.

Bei der Definition der linearen Ab- bzw. Unabhängigkeit von i Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a_i} \end{eqnarray*}$ geht man von einer bestimmten Beziehung zwischen diesen i Vektoren und dem Nullvektor $\begin{eqnarray*} \vec{0} \end{eqnarray*}$ aus, die auch Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a_1} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \vec{a_i} \end{eqnarray*}$ genannt wird:

$\begin{eqnarray*} (1): \ \lambda_1\vec{a_1} + \lambda_2\vec{a_2} + ... + \lambda_i\vec{a_i} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

Im Falle der linearen Unabhängigkeit müssen alle Multiplikatoren $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ Null sein. Dies nennt man dann die triviale Relation, in ihr sind alle $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ gleich Null.

----------------------------------------

Im Falle der linearen Abhängigkeit gibt es ausser diesem trivialen Lösungs i-Tupel {0;0;...;0} noch weitere, in welchen nicht alle $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ gleich Null sind. Sei ein $\begin{eqnarray*} \lambda_k \neq 0 \end{eqnarray*}$ , so kann in

$\begin{eqnarray*} \lambda_1\vec{a_1} + \lambda_2\vec{a_2} + ... + \lambda_k\vec{a_k} + ... + \lambda_i\vec{a_i} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

durch $\begin{eqnarray*} \lambda_k \end{eqnarray*}$ dividiert werden:

$\begin{eqnarray*} \frac{\lambda_1}{\lambda_k}\vec{a_1} + \frac{\lambda_2}{\lambda_k}\vec{a_2} + ... + \vec{a_k} + ... + \frac{\lambda_i}{\lambda_k}\vec{a_i} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} -\frac{\lambda_i}{\lambda_k} = \mu_i \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} (2): \ \vec{a_k} = \mu_1\vec{a_1} + ... + \mu_i\vec{a_i} \end{eqnarray*}$

Somit lässt sich der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{a_k} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen. Dies ist das Kennzeichen der linearen Abhängigkeit.

----------------------------------------

Wird in der Gleichung (1) diese Linearkombination zeilenweise aufgelöst, führt dies auf ein homogenes lGS in i Variablen.

Daraus ist in der Folge ersichtlich, dass n+1 Vektoren des $\begin{eqnarray*} R_n \end{eqnarray*}$ (also z.B 4 Vektoren des $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ ) auf jeden Fall linear abhängig sind. Denn es liegt dann ein homogenes lGS von n+1 Gleichungen in n Variablen vor, welches ausser der trivialen sicher noch weitere nichttriviale Lösungen besitzt. Dies kannst du dir auch mittels einfacher Beispiele veranschaulichen.

sh. auch z.B.
vektoren linear abhängig
und
Vektor: Lineare Abhängigkeit

mY+

07.07.2007, 12:02

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Erst einmal danke für die Antworten.

Also es geht einfach immer darum, ob die Koeffiezienten der Linearkombination eine triviale Lösung oder Nichttriviale Lösung hergibt.

Wenn triviale Relation, dann linear unabhängig.

Wenn nichttriviale Relation, dann linear abhängig.

Drei Vektoren im IR³ wären z.B. linear unabhängig, wenn sie alle in verschiedenen Richtungen zeigen, aber nicht komplanar sind, d.h. auf einer Ebene liegen.

Stimmt das?

Danke

07.07.2007, 12:08

Bjoern1982

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Zitat:

Wenn nichttriviale Relation, dann linear abhängig.

Nein....siehe mYthos:

Zitat:

Im Falle der linearen Abhängigkeit gibt es ausser diesem trivialen Lösungs i-Tupel {0;0;...;0} noch weitere

Zitat:

Drei Vektoren im IR³ wären z.B. linear unabhängig, wenn sie alle in verschiedenen Richtungen zeigen, aber nicht komplanar sind, d.h. auf einer Ebene liegen.

Wie die Vektoren orientiert sind ist nebensächlich, Hauptsache es liegen alle drei in einer Ebene.

Gruß Björn

07.07.2007, 12:19

mYthos

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Zitat:

Original von Bjoern1982
...
Wie die Vektoren orientiert sind ist nebensächlich, Hauptsache es liegen alle drei in einer Ebene.

Gruß Björn

Zur Vermeidung von Mißverständnissen, wenn die drei Vektoren linear unabhängig sind:

.. es liegen alle drei NICHT in einer Ebene.

mY+

07.07.2007, 12:26

Bjoern1982

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Huch, da hab ich doch das wichtigste Wort vergessen Hammer

Danke mYthos

Björn

07.07.2007, 12:32

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Zitat:

Original von PG
Wenn triviale Relation, dann linear unabhängig.

Wenn nichttriviale Relation, dann linear abhängig.

Sry ich meine natürlich das umgekehrte Hammer

Ich glaube, jetzt habe ich durch den Zusatz verstanden wie das geht!

D.h., dass 3 Vektoren, wenn sie nicht auf einer Ebene liegen und verschiedene Richtungen haben, immer linear unabhängig sind.

Zitat:

Zur Vermeidung von Mißverständnissen, wenn die drei Vektoren linear unabhängig sind:

.. es liegen alle drei NICHT in einer Ebene.

Aber es muss doch auf gelten, dass sie verschiedene Richtungen haben, denn 2 können jeweils parallel sein und dann erhalten wir doch wieder einer triviale Lösung. Oder irre ich mich da jetzt?

07.07.2007, 12:47

Bjoern1982

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Zitat:

Sry ich meine natürlich das umgekehrte

Lies dir den Beitrag von mYthos nochmal in Ruhe durch.

Gruß Björn

07.07.2007, 15:31

mYthos

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In dem Moment, wo nur zwei von den drei Vektoren parallel sind, sind bereits auch alle drei linear abhängig, egal, wie nun der dritte liegt. Denn bei parallelen Vektoren (z.B. sei $\begin{eqnarray*} \vec{a_2} = 2 \cdot \vec{a_1} \end{eqnarray*}$ ) kannst du dann schreiben:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \vec{a_1} - \vec{a_2} + 0 \cdot \vec{a_3} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

Und dies ist nicht mehr die triviale Relation.

mY+

07.07.2007, 19:09

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Zitat:

Original von Bjoern1982

Zitat:

Sry ich meine natürlich das umgekehrte

Lies dir den Beitrag von mYthos nochmal in Ruhe durch.

Gruß Björn

Also hatte ich es oben doch richtig!!
Ich habe folgenden Zitat von dir nicht verstanden:

Zitat:

Wenn nichttriviale Relation, dann linear abhängig.

Nein....siehe mYthos:

Meine Aussage stimmt doch!?

07.07.2007, 19:32

Bjoern1982

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Ich sehe schon dass ich anstatt so viel zu zitieren wohl öfters ausformulieren sollte Big Laugh

Was ich dir nur verdeutlichen wollte (auch mit dem direkten Hinweis auf die entscheidende Stelle im Beitrag von mYthos) ist, dass man nicht einfach sagen kann, dass es zur Darstellung des Nullvektors NUR eine nichttriviale Lösung gibt, wenn Vektoren linear abhängig sind, sondern dass es NEBEN der trivialen Lösung noch mindestens eine weitere geben muss.

Vielleicht war dir das eh schon klar aber es klang etwas schwammig Augenzwinkern

Gruß Björn

07.07.2007, 19:45

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Danke

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