Quadrik

01.02.2005, 23:06

pfnuesel

Quadrik

Hallo.

Ich soll den Typ des Kegelschnittes folgender Gleichung bestimmen. Leider habe ich damit so meine Probleme, über Hilfe wäre ich äusserst dankbar.

Gleichung:
$\begin{eqnarray*} 3x^2+2xy-8y^2+2x+14y=5 \end{eqnarray*}$

Nun bin ich wie folgt vorgegangen:
Umstellen der Gleichung:
$\begin{eqnarray*} 3(x+\frac{1}{3}y)^2-\frac{25}{3}y^2+2x+14y=5 \end{eqnarray*}$

Transformation: $\begin{eqnarray*} (x+\frac{1}{3}y,y)\mapsto(x,y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x^2+2x-\frac{25}{3}y^2+14y=5 \end{eqnarray*}$

und wieder umstellen:
$\begin{eqnarray*} 3(x^2+\frac{2}{3}x)-\frac{25}{3}(y^2-\frac{42}{25}y)=5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3(x+\frac{1}{3})^2-\frac{1}{3}-\frac{25}{3}(y-\frac{21}{25})^2+147=5 \end{eqnarray*}$

erneute Transformation: $\begin{eqnarray*} (x+\frac{1}{3},y-\frac{21}{25})\mapsto(x,y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x^2-\frac{25}{3}y^2=-\frac{425}{3} \end{eqnarray*}$

Aber das gäbe ja dann keinen Kegelschnitt, oder? Habe ich evt. bei den Transformationen etwas falsch gemacht?

01.02.2005, 23:20

Seimon

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RE: Quadrik
Die erste Transformation scheint mir falsch zu sein!

Das sagt aber nur mein Instinkt und ist als Tipp anzusehen da ich keine Ahnung hab was du machst (ich kenne die Methode nicht Big Laugh

)

01.02.2005, 23:25

etzwane

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RE: Quadrik

Zitat:

Original von pfnuesel
...
$\begin{eqnarray*} 3x^2-\frac{25}{3}y^2=-\frac{425}{3} \end{eqnarray*}$
...

Das Ergebnis, wenn es den stimmt, kann man umformen zu

$\begin{eqnarray*} \frac{25}{3}y^2=3x^2+\frac{425}{3} \end{eqnarray*}$ <<< EDIT: Vorzeichenfehler bei 425/3 korrigiert

und das ist die Gleichung einer Hyperbel.

01.02.2005, 23:36

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RE: Quadrik
@pfnuesel

Zurück zur zweiten Zeile:

$\begin{eqnarray*} 3\left(x+\frac{1}{3}y\right)^2-\frac{25}{3}y^2+2\left(x+\frac{1}{3}y\right)+\frac{40}{3}y=5 \end{eqnarray*}$

Wenn schon x substituieren, dann überall, wo es in der Gleichung auftritt. Lehrer

Eine orthogonale Transformation ist das nicht gerade, aber sie reicht in der Tat aus, um die Klassifikation Ellipse/Parabel/Hyperbel vornehmen zu können.

01.02.2005, 23:48

pfnuesel

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Ja, hoppla, die Transformation geht so natürlich nicht.

Okay, nochmals korrekt (hoffentlich) transformiert komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} 9x^2-55y^2=-10 \end{eqnarray*}$

Das Vorzeichen rechts ist ja negativ, heisst das... ja was heisst das eigentlich?

02.02.2005, 00:06

riwe

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das heißt es
werner

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