eigenvektoren trafomatrix

07.07.2007, 00:06

munich

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eigenvektoren trafomatrix

hey leute,
ich glaub ich spinn, ich hoffe es liegt an der uhrzeit, ... ich bekomm die trafomatrix einfach ned hin:

also:
Matrix: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eigenwerte: 1,1,-1

Eigenvektoren:

zu 1:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu -1:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist gesucht die Matrix U, so dass:

$\begin{eqnarray*} U^TAU=diag(A) \end{eqnarray*}$

Naja, ich dachte hald ich schreib die Eigenvektoren als Matrix, das is mein U und das wars, aber die erfüllen bei mir ned die Gleichung.

Wie find ich U ?
thx,
munich

07.07.2007, 00:10

therisen

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Hallo,

du verwechselst da etwas mit Bilinearformen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es gilt $\begin{eqnarray*} U^{-1}AU=\rm{diag} \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

07.07.2007, 00:23

munich

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jaja, das dacht ich auch erst, aber dann hab ich nochmal auf die Angabe geschaut und wieder und wieder und das steht's mit transponiert!!!

Ich dachte vielleicht kann ich mir ne Matrix aus den EV'en basteln bei der $\begin{eqnarray*} A^t = A^{-1} \end{eqnarray*}$ aber das geht denk ich auch ned...

Sonst ne Idee?

07.07.2007, 00:29

tigerbine

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A ist symmetrisch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Deswegen klappt das mit dem Transponieren. Nur musst Du die Vektoren auch normieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.07.2007, 00:48

therisen

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Ich wäre für

$\begin{eqnarray*} U = \begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2} & 0 & -\frac1{\sqrt2} \\ \frac1{\sqrt2} & 0 & \frac1{\sqrt2} \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(Trägheitssatz von Sylvester)

Eigenvektoren brauchst du dafür nicht.

Gruß, therisen

07.07.2007, 15:06

WebFritzi

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@Therisen: Verstehe nciht, wie du hier den Trägheitssatz verwenden willst... verwirrt

verwirrt

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07.07.2007, 16:51

therisen

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Ich meinte auch eher, dass die entstehende Diagonalmatrix die Gestalt aus dem Trägheitssatz von Sylvester hat (erst Einsen auf der Hauptdiagonale, dann negative Einsen und dann nur noch Nullen).

Gruß, therisen

07.07.2007, 17:21

angsthase

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sollte U nicht ne ortohogonale matrix sein, das heist U^-1 = UT??
oder verwechsel ich da grad was??

und das U würd ich auch so bilden wie terrisin, weil das doch die normierten eigenvektoren sind? verwirrt

verwirrt

außer das er den einen vektor mal -1 multipliziert hat, ...).

würd aber keine wetten abschließen^^

07.07.2007, 17:28

therisen

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Hallo,

es gilt doch $\begin{eqnarray*} UU^t=1_3 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, therisen

07.07.2007, 17:30

angsthase

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das wollt ich damit sagen ;-)
weil ihr euch am anfang an dem UT und U^-1 so aufgehängt hab...^^

07.07.2007, 17:34

therisen

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Übrigens braucht man für die Lösung der Aufgabe keinen einzigen Eigenwert oder Eigenvektor zu berechnen; das geht viel elementarer.

07.07.2007, 17:46

WebFritzi

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Das schriebst du bereits. Ich verstehe es aber immernoch nicht... unglücklich

unglücklich

08.07.2007, 00:14

therisen

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Ok, hier in Kürze was ich meinte:

$\begin{eqnarray*} \sigma(x,y):=x^tAy \end{eqnarray*}$ liefert eine symmetrsiche Bilinearform
Der Trägheitssatz von Sylvester garantiert die Existenz der o.g. Darstellung

Im Grunde war das nur ein Hinweis für munich, da er die gleiche Vorlesung wie ich besucht und sich die Stelle im Skript nochmal anschauen sollte Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, therisen

08.07.2007, 01:38

WebFritzi

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Ich verstehe immernoch nicht, wie du ohne Eigenvektoren auf diese Matrix gekommen bist.

08.07.2007, 03:26

tigerbine

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Zitat:

Original von therisen
Ich meinte auch eher, dass die entstehende Diagonalmatrix die Gestalt aus dem Trägheitssatz von Sylvester hat (erst Einsen auf der Hauptdiagonale, dann negative Einsen und dann nur noch Nullen).

Gruß, therisen

Aber das ist doch nicht die gesuchte Matix. Diese Matrix spiegelt doch nur den "pos. Anteil" , "neg. Anteil", des Spektrums wieder. Die Aufteilung ist hier "träge", aber das liefert doch nicht die gesuchte Diagonalmatrix, die das genaue Spektrum von A wiederspiegelt.

@therisen
Vielleicht formuliert Du deinen Ansatz mal komplett. Denn Euer Satz aus dem Skript würde mich nun doch auch interessieren.

Ich bleibe solange erstmal dabei, dass es aufgrund der Symmetrie von A orthogonale Matrizen gibt mit

$\begin{eqnarray*} Q^TAQ=diag(A) \end{eqnarray*}$

In den Spalten von Q stehen die normierten Eigenvektoren.

Gruß nach München Wink

Wink

08.07.2007, 10:04

WebFritzi

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Zitat:

Original von tigerbine
Ich bleibe solange erstmal dabei, dass es aufgrund der Symmetrie von A orthogonale Matrizen gibt mit

$\begin{eqnarray*} Q^TAQ=diag(A) \end{eqnarray*}$

In den Spalten von Q stehen die normierten Eigenvektoren.

Aber genau so eine Matrix Q hat therisen angegeben. Ich frag mich nur immernoch, wie er ohne Eigenvektoren darauf kommt. In "meinem" Trägheitssatz von Sylvester kommen jedenfalls keine orthogonalen Matrizen vor. ;o)

08.07.2007, 11:51

therisen

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Der Algorithmus basiert auf dem Prinzip der elementaren Zeilen/Spaltenumformungen und ist ziemlich ähnlich dem Algorithmus zur Invertierung einer Matrix.

Man startet mit der "Matrix" $\begin{eqnarray*} (A|1_3) \end{eqnarray*}$
Führe eine Zeilenumformung durch und direkt danach die analoge Spaltenumformung, d.h. addiert man zur ersten Zeile die zweite Zeile (das muss man hier machen), dann addiert man anschließend die zweite Spalte zur ersten Spalte (die Spaltenumformungen führt man aber nur auf der linken Matrix durch). Die jetzt entstandene "Matrix" bezeichne mit $\begin{eqnarray*} (X|Y) \end{eqnarray*}$ .
Wiederhole das Verfahren solange, bis links die Einheitsmatrix steht. Beginne dazu wieder bei Punkt 1 und wende den Algorithmus auf $\begin{eqnarray*} (X|Y) \end{eqnarray*}$ an.
Steht links die Einheitsmatrix, dann bezeichne die rechte Matrix mit $\begin{eqnarray*} U^t \end{eqnarray*}$ . Es gilt dann $\begin{eqnarray*} U^tAU=1_3 \end{eqnarray*}$ .

Das ganze Verfahren funktioniert leicht abgewandelt auch für symplektische Bilinearformen und ihre Art "Normalform".

Ich hoffe, der Algorithmus ist einigermaßen verständlich formuliert. Falls nicht, dann kann ich ihn auch mal an dem Beispiel hier vorführen (ich bezweifle bloß, dass man es schön mit dem Formeleditor darstellen kann, d.h. ich würde ein PDF-File anhängen).

Gruß, therisen

08.07.2007, 16:59

tigerbine

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@WebFritzi:
Ich meinte damit, dass ich Q anders bestimmen würde. Und dazu eben Eigenvektoren und somit auch Eigenwerte brauche. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann sieht das bei mir so aus.

$\begin{eqnarray*} A =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \chi_a(\lambda) =\begin{vmatrix} \lambda & -1 & 0 \\ -1 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda -1 \end{vmatrix} =(\lambda +1)(\lambda-1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{1} = \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}, v_{2} = \begin{pmatrix} 1\\1\\ 0 \end{pmatrix},v_{1} = \begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Q=\begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0 \\ 0 &0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Q^TAQ = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun zum Weg von therisen. Ohne Eigenwerte kommst Du natürlich nicht aus, oder? Ich würde mal eher tippen, dass Du durch scharfes Hinsehen erkannt hast, dass das Spektrum aus $\begin{eqnarray*} \sigma(A)={-1,1} \end{eqnarray*}$ . Daher sagst Du, kann man sich auch des Trägheitssatzes bedienen, nachdem es dann orth. Matrizen $\begin{eqnarray*} S, S^T \end{eqnarray*}$ gibt, für die hier (wegen des speziellen Spektrums)gilt:

$\begin{eqnarray*} S^TAS=diag(A) \end{eqnarray*}$

Es kann sein, dass dein Algorithmus mit der in dem Beweis des Korollars im Fischer( bei mir S. 216, Kap. 6.7 Hauptachsentransformation). Das nachzuprüfen bin ich im Moment zu faul.

Gruß Wink

Wink

08.07.2007, 17:35

therisen

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Zitat:

Original von tigerbine
Nun zum Weg von therisen. Ohne Eigenwerte kommst Du natürlich nicht aus, oder?

Doch. Ich benötige nur, dass die Matrix symmetrisch ist. Anscheinend hast du eine andere Ausgabe als ich, bei mir steht die Methode auf Seite 325, Kapitel 5.7 Hauptachsentransformation im Anschluss an das Korollar, dass sich jede symmetrische Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ "faktorisieren" lässt in der Form $\begin{eqnarray*} S^tAS=\mathrm{diag}(\alpha_1,\dots,\alpha_n) \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

08.07.2007, 17:52

tigerbine

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Ich hab da ein älteres Modell Augenzwinkern

Augenzwinkern

8. durchgesehene Auflage. Da muss ich jetzt erst nachschlagen. Wenn es unabhängig von den Eigenwerten geht, kannst Du es vielleicht derweil mal für diese Matrix vorrechnen? (sorry, ich habe Blut geleckt Teufel

Teufel

)

$\begin{eqnarray*} B =\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Schönen Sonntag Wink

Wink

08.07.2007, 18:32

tigerbine

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Der alte Fischer :-)
Also alles spielt sich im Kapitel Euklidische und unitäre VR ab. Dann gibt es im Paragraph 6.5 über Selbstadjungierte Endomorphismein ein

Korollar (6.5.6)
Das es für eine symmetrische Matrix A eine orthogonale Matrix S gibt mit

$\begin{eqnarray*} S^TAS = diag(A) \end{eqnarray*}$

Dabei stehen in den Spalten von S die normierten Eigenvektoren von A.

Nun geht es in 6.7 - Hauptachsentranfsormation weiter. Gegeben sei eine symmetrische Bilinearform s und eine Darstellende Matrix bzgl. einer Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal A \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es eine Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$
mit folgenden Eigenschaften:

$\begin{eqnarray*} M_{\mathcal B}(s) = diag(A) \end{eqnarray*}$
Die Transformationsmatrix $\begin{eqnarray*} \mathcal A \to \mathcal B \end{eqnarray*}$ ist orthogonal.

Beweis läuft über das vorherige Korollar 6.5.6.

Nun die Korollare aus der HAT:

symm. Bilinearform s ist genau dann positiv defintit, wenn alle EW wenn für eine Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ alle EW von $\begin{eqnarray*} M_{\mathcal B} \end{eqnarray*}$ positiv sind
Sei s symm. Bilinearform auf $\begin{eqnarray*} \mathbb K^n \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es es eine ONB $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} M_{\mathcal B} \end{eqnarray*}$ eine Diagonalmatrix ist.

Ist das das gemeinte Lemma? Ein Algorithmus oder ähnliches zur Berechnung von S ist hier dann nicht mehr angeben. Somit bleibt nur der Bezug zur der Berechnung von S über die EVs.

Wenn in deinem Fischer ein anderer Algo steht, wäre ich sehr interessiert. Denn für EW ungleich +/-1 bekomme ich keinen Bezug zum Trägheitssatz von Sylvester hergestellt. verwirrt

verwirrt

Vielleicht kannst du auch mal das angesprochene pdf-file posten

Gruß Wink

Wink

08.07.2007, 19:15

therisen

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Hallo tigerbine,

der Algorithmus fehlt dann wohl im alten Fischer.

Gruß, therisen

08.07.2007, 19:21

tigerbine

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Danke, ausgedruckt und werde es versuchen nachzuvollziehen. Dumm ist nur, dass dein Ergebnis "nicht stimmt".

$\begin{eqnarray*} B =\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma(B)=\{-3,-2,2\} \end{eqnarray*}$

Bei Dir kommt $\begin{eqnarray*} diag(4,-4,-3) \end{eqnarray*}$ raus.

Gruß Wink

Wink

08.07.2007, 19:26

therisen

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Hallo nochmal,

ich hatte ja auch nicht behauptet, dass die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen stehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, therisen

08.07.2007, 19:33

tigerbine

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Dann verstehe ich nun gar nicht, wie Du die Aufgabe vom Anfang ohne EW (und EV) lösen willst. Du wolltest doch diesen Algorithmus nehmen, oder?

Oder verstehe ich den Begriff vom Anfang $\begin{eqnarray*} diag(A) \end{eqnarray*}$ einfach falsch. Ich dachte es wäre damit die Diagonalmatrix mit EW gemeint. Nun blick ich nicht mehr durch. Da es "euer" Übungszettel ist, weißt du wohl mehr. Also was ist denn mit $\begin{eqnarray*} diag(A) \end{eqnarray*}$ gemeint?

Gruß Wink

Wink

08.07.2007, 19:42

therisen

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Zitat:

Original von tigerbine
Da es "euer" Übungszettel ist, weißt du wohl mehr. Also was ist denn mit $\begin{eqnarray*} diag(A) \end{eqnarray*}$ gemeint?

Ne, das ist nicht unser Übungszettel. Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \mathrm{diag}(A) \end{eqnarray*}$ kommt bei uns überhaupt nicht vor. Meine Interpretation ist: Eine zu A kongruente Diagonalmatrix, d.h. alle Einträge außerhalb der Hauptdiagonalen sind gleich Null.

Gruß, therisen

08.07.2007, 19:55

tigerbine

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Ok, meine Interpretation war eine zu A ähnliche Diagonalmatrix. Allgemein wird mit dem Ausdruck auch gerne nur das gemeint sein

$\begin{eqnarray*} diag(A) = \begin{pmatrix} a_{11} & & 0\\ &\ddots & \\0&& a_{nn}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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