Überlagerung von Schwingungen

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03.02.2005, 10:44	ThorB	Auf diesen Beitrag antworten »
Überlagerung von Schwingungen Hi ich möchtel die Überlagerung der Schwingungen bestimmen in der reellen Darstellung $\begin{eqnarray} 2cos(wt)+1,5sin(wt) \end{eqnarray}$ ich würde so anfangen Erstmal umstellen $\begin{eqnarray} 2cos(wt)+1,5cos(wt-\pi/2 ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x,y)= 2cos(0)+1,5cos(-\pi/2), 2sin(0)+1,5sin(-\pi/2) \end{eqnarray}$ passt das bis jetzt Gruss Spoon
03.02.2005, 11:10	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überlagerung von Schwingungen Was möchtest du denn nun genau wissen, das hast du uns bisher nicht verraten. Etwa eine Darstellung $\begin{eqnarray} 2\cdot\cos(\omega t)+1.5\cdot\sin(\omega t)=A\cdot\cos(\omega t+\varphi_0) \end{eqnarray}$ mit Amplitude $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und Phasenverschiebung $\begin{eqnarray} \varphi_0 \end{eqnarray}$ ?
03.02.2005, 11:39	rontho	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überlagerung von Schwingungen Danach setzt DU $\begin{eqnarray} 2cos(\omega t) = 2e^{j\omega t} \end{eqnarray}$ Das machst Du mit der zweiten Schwingung genauso. edit: Sorry war gerade falsch, Du willst das ja in der reellen Darstellung machen Dann ist das soweit ok. Jetzt gehts weiter mit $\begin{eqnarray} A:= \sqrt{ x^2 + y^2 } \end{eqnarray}$
03.02.2005, 12:47	ThorB	Auf diesen Beitrag antworten »
ja stimmt ich bin noch im Universium der reellen Zahlen so ich bekomm dann für $\begin{eqnarray} A= 2,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} arc cos \frac{2}{2,5} = 0,64350 \end{eqnarray}$ dann bekomm ich folgendes Ergebniss $\begin{eqnarray} = 2cos(wt+0,2288) \end{eqnarray}$ nur habe ich das noch nicht ganz verstanden wieso ich da $\begin{eqnarray} \pi /2 \end{eqnarray}$ nehme und das ganze in cos umwandeln muss
03.02.2005, 13:34	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Ahnung, wie du plötzlich auf die 0.2288 kommst, jedenfalls erhält man $\begin{eqnarray} 2\cdot\cos(\omega t)+1.5\cdot\sin(\omega t)=2.5\cdot\cos(\omega t-0.64350) \end{eqnarray}$
03.02.2005, 13:48	ThorB	Auf diesen Beitrag antworten »
ja sorry die 0,2288 sind falsch aber wieso kommst du auf -0,64350 ? und nicht auf +0,64350
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03.02.2005, 13:54	rontho	Auf diesen Beitrag antworten »
weil dein y = -1,5 ist $\begin{eqnarray} 2sin(0) + 1,5sin(-\frac{\pi}{2}) = -1,5 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi := arctan( \frac{-1,5}{2}) \end{eqnarray}$
03.02.2005, 13:59	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Rückwärtsrechnung mit Additionstheoremen $\begin{eqnarray} A\cos(\omega t+\varphi_0)=(A\cos(\varphi_0))\cdot\cos(\omega t)-(A\sin(\varphi_0))\cdot\sin(\omega t) \end{eqnarray}$ und dann "Koeffizientenvergleich". Im Grunde genommen ist es sowas ähnliches wie Polarkoordinatentransformation.
03.02.2005, 14:02	ThorB	Auf diesen Beitrag antworten »
ja stimmt hab das - vergessen mist
03.02.2005, 14:04	ThorB	Auf diesen Beitrag antworten »
nur noch eines wieso muss ich das sin in cos umwandeln ? gruss t die amplitude von sin und cos passt nicht
03.02.2005, 15:33	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe deine Grafik nicht. Meinst du nicht vielleich eher [/quote]
03.02.2005, 23:27	ThorB	Auf diesen Beitrag antworten »
ja die Amplitude ist falsch ich hab hier noch eine Aufgabe wo ich überhaupt nicht weis wie ich anfangen soll (komplexe Zahlen) [latex]3cos(x)+5sin(x+\frac{\Pi}{4})-4*sin(x- \frac{\pi}{6})[/latex] mein erster Gedanke währe alle sin.. in cos umzuwandeln
03.02.2005, 23:56	rontho	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst auch den Cos in ein Sin umwandeln, geht beides. Wenn Du mit Sin rechnest musst Du beachten, das bei der Rücktransformation der imaginärtei, deine Schwingung ist. Bei Cos ist es der Realteil.
04.02.2005, 08:32	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Sämtliche Überlagerungen der Form $\begin{eqnarray} f(t)=\sum\limits_{k=1}^n a_k\cdot\cos(\omega t+\alpha_k)+\sum\limits_{k=1}^m b_k\cdot\sin(\omega t+\beta_k) \end{eqnarray}$ kannst du durch Anwendung der Additionstheoreme $\begin{eqnarray} \cos(x+\alpha)=\cos(\alpha)\cos(x)-\sin(\alpha)\sin(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin(x+\beta)=\sin(\beta)\cos(x)+\cos(\beta)\sin(x) \end{eqnarray}$ auf die einheitliche Form $\begin{eqnarray} f(t)=a\cdot\cos(\omega t)+b\sin(\omega t) \end{eqnarray}$ bringen. Und durch Rücktransformation (s.o.) wird daraus $\begin{eqnarray} f(t)=A\cdot\cos(\omega t+\varphi_1)=A\cdot\sin(\omega t+\varphi_2) \end{eqnarray}$ , je nachdem was gewünscht wird. Wirklich wichtig ist nur, dass das $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ bei allen Termen der Ausgangssumme dasselbe ist, ansonsten klappt das Zusammenfassen nicht. P.S.: Im Grunde genommen meint rontho wahrscheinlich dasselbe, nur das er einen Weg bevorzugt, der das ganze über komplexe Zahlen rechnet. Letztendlich ist das nur eine formaler Unterschied, der Rechenaufwand ist der gleiche.

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