Matrix, Drehspiegelung..

09.07.2007, 13:28

meli05

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Matrix, Drehspiegelung..

hallo nochmal:

ich habe folgende vektoren gegeben:

$\begin{eqnarray*} \vec{a} =\begin{pmatrix} (\frac{\sqrt{3} }{2} \\ 0 \\ 1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{i} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \vec{b} =\begin{pmatrix} -1/2 \\ 0 \\ \frac{\sqrt{3} }{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{k} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) welche winkel schließen die Vektoren a,i bzw. b, k ein?

-> da hab ich was mit 22,...° raus?!
kann man hier eigentlich mit einem tool vektoren in ein koord.system einzeichnen?? oder kennt jmd eine seite wo das geht?

b) Zeigen Sie durch Abbildung der Basisvektoren i, j, k das die Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3} }{2} & 0 & -1/2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1/2 & 0 & \frac{\sqrt{3} }{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

eine Drehspiegelung beschreibt.

Geben Sie Drehachse, Drehwinkel und Lage der Spiegelebene an.

wie mache ich das?

ich hab irgendwo mal gelesen, dass bei einer orthogonalen matrix falls die det. -1 ist es sich um eine Drehspiegelung handelt, muss ich also jetz einfach schauen ob die det. -1 ist? Falls ja warum ist das so?

Drehachse ist das nicht der Eigenvektor? und der Drehwinkel dann der winkel mit dem othogonale vektor dazu?

Lage der spiegelebene mhh fällt mir leider nicht ein wie ich darauf komme verwirrt

verwirrt

mfg
Meli

09.07.2007, 14:47

tigerbine

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RE: Matrix, Drehspiegelung..
Sollte das nicht $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ heißen?

Spiegelung: det(S) =-1

Drehung: det (D) = 1

Aus dem Rechenregeln für Determinanten folgt für Drehspiegelungen

$\begin{eqnarray*} det(SD) = det(DS) = -1 \end{eqnarray*}$

Wenn man mal in der Matrix versucht sin und cos zu finden, wird es einfach.

orthogonale Gruppe

09.07.2007, 15:00

meli05

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ups stimmt du hast recht (habs korrigiert)

komme dann auf winkel von 30°

mit dem text deines linkes bin ich etwas überfordert unglücklich

unglücklich

ich verstehe nicht wie ich da cos und sin finden kann? traurig

traurig

09.07.2007, 15:05

tigerbine

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schlag mal die Standardtabelle vom Cosinus, Sinus auf. Spring einem bei der Matrix direkt ins Auge, wie man sie auch anders schreiben kann. Und wo du die 30° schon hast....

09.07.2007, 15:15

meli05

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also so dann:

A(30°)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos & 0 & -sin \\ 0 & -cos & 0 \\ sin & 0 & cos \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?? smile

smile

09.07.2007, 15:19

tigerbine

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Wohl eher so:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} \cos(30°) & 0 & -\sin(30°) \\ 0 & -1 & 0 \\ \sin(30°) & 0 & \cos(30°) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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09.07.2007, 15:35

meli05

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okay

smile

und was hab ich damit nun gewonnen? soll ich daraus nun die eigenwerte\vektoren berechnen oder wie bestimme ich die drehachse, drehwinkel, lage der spiegelebene?

moment könnte der drehwinkel nicht 30° sein? verwirrt

verwirrt

09.07.2007, 15:37

tigerbine

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Mach Dich eben mal mit dem Link vertraut. Und überlege mal, wo die Drehung und Wo die Spiegelung drinsteckt. Kannst Du die Matrix eventuell mal in ein Produkt zerlegen?

09.07.2007, 15:57

meli05

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ich habs mir grad nochmal angeschaut und meine nun verstanden zu haben, dass die Drehachse nennen wir sie $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ein eigenvektor zum eigenwert 1 ist?

dann steht was in meiner formelsammlung von wegen drehwinkel:

man wähle einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ senkrecht zu $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und berechne dann $\begin{eqnarray*} A\cdot b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha =arcos 1/2(spur M -1) \end{eqnarray*}$

spur ist das nicht die summe aller eigenwerte? verwirrt

verwirrt

kann ich das so machen oder bin ich da total daneben smile

smile

in ein produkt zerlegen? wie geht das?? verwirrt

verwirrt

09.07.2007, 16:07

tigerbine

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Hier geht das durch scharfes Hinsehen.

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} \cos(30°) & 0 & -\sin(30°) \\ 0 & -1 & 0 \\ \sin(30°) & 0 & \cos(30°) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(30°) & 0 & -\sin(30°) \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin(30°) & 0 & \cos(30°) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit hast du die Aufteilung din Derehung und Spiegelung.

09.07.2007, 16:20

meli05

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ich verstehe nicht, warum sin da 0 wird? sprich wenn ich das jetz wieder ausmultipliziere ist ja der sin weg?

und wie sehe ich an dieser matrix die drehung und spiegelung? verwirrt

verwirrt

09.07.2007, 16:26

tigerbine

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Wo ist der Sinus denn 0? verwirrt

verwirrt

09.07.2007, 16:33

meli05

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ups denkfehler ok smile

smile

aber wie ich nun daran die drehung oder spiegelung erkenne das versteh ich noch nicht verwirrt

verwirrt

09.07.2007, 16:34

tigerbine

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Dann mal mal ein 3D Koordinatensystem und Schau die Bilder der Standardeinheitsvektoren unter der rechten Matrix an.

09.07.2007, 16:53

meli05

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Da würde ich einen Joker nehmen, bevor Du auf 500€ zurückfällst. Wird nur an einer Geraden gespiegelt?

09.07.2007, 17:03

tigerbine

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Sorry, editiert statt gequotet Hammer

Hammer

Spiegeln an der z-Achse... Lies deinen/meinen letzten Post.

09.07.2007, 17:13

meli05

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hmm 500 sid doch gut *g aber ich nehm jetzt mal x und z-achse? verwirrt

verwirrt

09.07.2007, 17:15

tigerbine

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Und dann arbeitest du mal an deinen Formulierungen. Schon mal das Wort Ebene gehört? Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.07.2007, 17:24

meli05

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ja ok

smile

ich hab so meine probleme mit spiegelungen hab das schon früher net verstanden ..

wenn ich so eine orthogonale matrix habe spiegelt die sich immer an einer ebene?

und wie komme ich drauf, wenn man es nicht so toll vereinfachen kann? verwirrt

verwirrt

09.07.2007, 17:31

tigerbine

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Lös jetzt erstmal noch die Drehung in diesem Fall. Dann allgemein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.07.2007, 17:37

meli05

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kann ich das auch daran sehen? dann würd ich sagen 180°

09.07.2007, 17:41

tigerbine

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Lies den Link. Schau in deine Unterlagen. Was sagen dir die 30° im sinuns/cosinus?

09.07.2007, 17:45

meli05

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ja sind die 30° nicht mein drehwinkel oder was sind die?

09.07.2007, 17:46

tigerbine

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Ja der Sind sie. Warum sagtest du 180°?

09.07.2007, 17:52

meli05

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ach ich dachte jetzt wegen der spiegelung die war ja über die xz ebene und um von der neg. y achse dann in die pos zu kommen müsste ich ja 180° nach links smile

smile

aber egal !!

so und jetzt zum allgemeinen? spiegelt sich das immer über eine ebene im $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ und wie bekomme ich die lage der speigelung raus, wenn man es nicht so leicht vereinfachen kann? verwirrt

verwirrt

09.07.2007, 18:00

tigerbine

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Was weißt du denn über Orthogonale Matrizen, und Jordan-Normalformen?

09.07.2007, 18:15

meli05

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hm ja orthogonal -> $\begin{eqnarray*} A^-1 = A^T \end{eqnarray*}$

und das gaußjordan verfahren sagt mir was?! wo ich die matrix auf dreiecksform oder einheitsmatrix bringe?

oder was meinst du jetzt genau?

09.07.2007, 18:21

tigerbine

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Wie sieht denn die JNF einer Orthogonalen Matrix aus? Dann erkennst du auch den Zusammenhang.

Tipp: Wie kann man komplexe Eigenwerte Darstellen?

09.07.2007, 18:23

meli05

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ja so wie ne Eionheitsmatrix und man kann die lösungen dann direkt ablesen?! zusammenhang mhh das ist ja so kein gleichungssystem oder?

also nicht Ax=x

wie ich die darstellen kann? meinst du jetzt zeichnen?

09.07.2007, 19:16

tigerbine

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Nein, Du sollst dir überlegen wir man einen Komplexen Eigenwert darstellen kann. Berechne doch mal von deinem Beispiel die Eigenwerte Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.07.2007, 15:37

meli05

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bin gerade dabei das zu versuchen...uiuiu

komme da dann auf

$\begin{eqnarray*} -x^3+2\frac{\sqrt{3} }{2} x^2-x^2+2\frac{\sqrt{3} }{2} x-x-1 \end{eqnarray*}$

und damit auf die lösungen:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=+- \frac{\sqrt{3} }{2}+0,5i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=-1 \end{eqnarray*}$

kann das sein?

gibts da noch nen leichteren weg das zu lösen? z.b. wenn ich cos und sin drinnelasse? weil diese gleichung von hand zu rechnen wäre etwas stressig vor allem hab ich in der klausur nur wenig zeit und kein taschenrechner unglücklich

unglücklich

update: obwohl es ging eigentlich sah komplizierter aus als es war Big Laugh

Big Laugh

komme auch von hand auf selbes ergebnis Augenzwinkern

Augenzwinkern

lg
meli

10.07.2007, 15:58

tigerbine

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Ja was in deiner Klausur gegeben wird weiß ich doch nicht. Bei der WErten in der Matrix waren die 30° doch offensichtlich. Ich würde mir dann halt nochmal die bekannt einfachen Paare anschauen.

Ich wollte Dir mit den EW eigentlich auch nur folgendes zeigen. Über C zerfällt das charPoly in Linearfaktoren. Die Nichtreellen sind dabei Komplex konjugiert.

Ist die Matrix nun orthogonale, dann ist ihre Determinante +/-1.

Wie sieht dann die Matrix aus? In 3x3 haben wir immer eine reelle Nullstelle des charpoly. Hier kamen noch 2 Komplexe hinzu.

$\begin{eqnarray*} \chi_A(\lambda) = (\lambda +1) \cdot (\lambda - z) (\lambda - \overline{z}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = x + i\cdot y,~\overline{z}=x-i\cdot y,~x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = \cos(\alpha) + i \sin(\alpha),~\overline{z}=\cos(\alpha)-i\sin(\alpha) \end{eqnarray*}$

Und die findest man ja leicht in der Matrix wieder. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.07.2007, 16:12

meli05

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ahja ook cool danke!

nur eins wie komme ich denn auf diese gleichungen:

$\begin{eqnarray*} \chi_A(\lambda) = (\lambda +1) \cdot (\lambda - z) (\lambda - \overline{z}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = x + i\cdot y,~\overline{z}=x-i\cdot y,~x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$

mhh und welchen eigenwert und eigenvektor kann ich ohne rechnung dann sofort schon angeben? Ich tippe mal auf den eigenwert -1 aber warum?!

ps. deine antwortgeschw. ist echt beeindruckend DANKE :-)

10.07.2007, 16:31

tigerbine

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Zitat:

Zeigen Sie durch Abbildung der Basisvektoren i, j, k das die Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3} }{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & -1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3} }{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

eine Drehspiegelung beschreibt.

Nun darf man sich ja hier die Aufgabenstellung zu nutze machen. Zunächst zeige, dass A orthogonal ist, d.h.

$\begin{eqnarray*} A^{-1}=A^{T} \end{eqnarray*}$

Einfach nachrechnen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3} }{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3} }{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3} }{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & -1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3} }{2} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie sieht die Determinante aus?

$\begin{eqnarray*} \det{(A)}= -1 \end{eqnarray*}$

Also kann es sich nicht um eine reine Drehmatrix handeln (Spezielle orthogonale Gruppe).

Nun betrachten man, wie eigentlich immer, was mit der Standardeinheitsbasis passiert. Hier ist es eben sehr einfach.

Überleg soch mal wie eine Matrich aussehen würde, die z.b. an der Winkelhalbierenden des !. Quadraten der xy Ebene spiegelt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.07.2007, 16:49

meli05

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also spiegelung an der 1.winkelhalbierenden?

so dann?:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gut also eigenwert -1 da drehspiegelung aber warum kann ich den dazugehörigen eigenvektor auch gleich angeben und wie sieht der aus? verwirrt

verwirrt

aso und die gleichungen von dir verstehe ich aber damit auch noch nicht unglücklich

unglücklich

10.07.2007, 17:18

tigerbine

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Also Spiegelung natürlich an einer Ebene Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Deren Gleichung lautet:

$\begin{eqnarray*} E:~\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = r\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+ s\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Schauen wir uns die Bilder der Standardeinheitsbasis an:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit lautet die Matrix:

$\begin{eqnarray*} S=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \det(A)=-1 \end{eqnarray*}$

Spiegelung. Hier ist keine Drehung drin. Char. Polynom und EW bestimmen.

Es ist cos(0) = 0 und sin(0)=1. Warum liegt hier aber keine Drehung vor ?

10.07.2007, 17:40

meli05

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schon eine drehung halt von 0° oder? smile

smile

ja weil eben nur 1er in der matrix sind?!

10.07.2007, 17:42

tigerbine

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Nein, schau noch mal genau hin. Du weißt ja dass es eine Spiegelung ist. Und das ist eben keine Drehung. Wie müßte die Drehmatrix um die z-Achse um 90° denn aussehen? Der Unterschied ist klein, aber fein Big Laugh

Big Laugh

10.07.2007, 17:53

meli05

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statt nullen einser und andersrum? weil bei 90° is ja cos=0 und sin=1

ah oder nee so:

$\begin{eqnarray*} S=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder sin das jetzt nich 180°? verwirrt

verwirrt

10.07.2007, 17:58

tigerbine

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unglücklich

die z- Werte bleiben doch gleich. Nur x,y ändern sich.

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