Flächeninhalte

06.02.2005, 17:17

Xtra

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Flächeninhalte

Oh man, langsam krieg ich hier echt die Krise: Ich hab noch nie in der Form, wie sie die AUfgabenstellugn verlang, Flächeninhalte berechnet und versteh dementsprechend nur Bahnhof.. *argh*

f(x) = $\begin{eqnarray*} (0,5x -2) \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} e^{0,5} \end{eqnarray*}$
g(x) = $\begin{eqnarray*} ( -0,25x +1 ) \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} e^{0,5} \end{eqnarray*}$

Dann hab ich die Tangente und die Normale berechnen müssen, habe für t (x) =- 0,5x -2 und für n (x) = 2x - 2 raus, Ergebnisse sind richtig.

Die Aufgaben lauten nun wie folgt:

b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von der Tangente und der Normalen mit der x-Achse eingeschlossen wird-> Wie berechne ich das denn, da die x-Achse ja auch'ne Rolle spielt...

Habe erstmal 'ne Stammfunktion durch t(x) - n (x) gebildet und hab da H (x) = - 1,25 x² raus... aber nu??

Danke schon mal :o)

06.02.2005, 17:23

grybl

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RE: Flächeninhalte
Hast du dir dazu schon eine Skizze gemacht?

aus ihr erkennst du, was es mit der x-Achse auf sich hat.

und du siehst auch, dass die Berechnung über Stammfunktion von (t(x)-n(x)) ein Irrweg ist.

07.02.2005, 09:59

Xtra

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RE: Flächeninhalte
Ja, die Skizze hatte ich schon Augenzwinkern

Augenzwinkern

... mhh, aber irgendwie erschließt sich für mich da nix verwirrt

verwirrt

Außer vielleicht, dass die Grenzen irgendwie - 4 und 1 sind ??? Von welcher Funktion muss ich denn dann die Stammfunktion bilden???

07.02.2005, 10:31

iammrvip

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Hier brauchst du keine Integralrechnung Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Das ist ein einfaches Dreieck.

Du musst das gelb markierte Dreieck berechnen. Den Flächeninhalt vom Dreieck berechnet man über

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h_g \end{eqnarray*}$

Von -4 bis 1 geht die Grundseite. Also ist die Grundseite ... lang?

Die Höhe ist einfach nur der y-Wert des Schnittpunktes der beiden Graphen.

07.02.2005, 10:32

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von iammrvip
Die Höhe ist einfach nur der y-Wert des Schnittpunktes der beiden Graphen.

Der Betrag davon Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.02.2005, 10:34

iammrvip

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Ja natürlich der Betrag. Ich dachte sie merkt es vielleicht von sich aus...wollt mal gucken, ob sie selbst drauf kommt traurig

traurig

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07.02.2005, 10:44

Xtra

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Oh man bin ich blöd Hammer

Hammer

g = | -4 | + 1 = 5 und h = | - 2 | = 2 , also ist A = 0,5 * 5 * 2 = 5 FE

07.02.2005, 10:47

iammrvip

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Ja, genau. (nich das du blöd, sondern die Ergebnisse)

Auch wenn man jetzt den Schnittpunkt der Graphen und die Nullstellen so schön aus der Skizze sieht, musst du sie eigentlich erst ermitteln, da der Schnittpunkt z.B. auch bei $\begin{eqnarray*} (0|2.1) \end{eqnarray*}$ sein könnte, oder die Nullstelle bei $\begin{eqnarray*} (4.1|0) \end{eqnarray*}$ Freude

Freude

. (nur als Tipp)

/edit: Flächeninhalt ist auch richtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

07.02.2005, 19:42

Xtra

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mhh, nun komm ich hier mal wieder nicht weiter:

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f und g in I = [ 0; 4] eingeschlossen wird.

Nun denn, ich hab erstmal h (x) = f (x) - (g (x) gebildet und erhalte für h (x) = $\begin{eqnarray*} (0,5x - 2) \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} e^{0,5x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ( - 0,25x + 1) \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} e^{0,5x} \end{eqnarray*}$
h(x) = $\begin{eqnarray*} ( 0,75 x - 3 ) \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} e^{0,5x} \end{eqnarray*}$

durch partielle Integration mit u' = $\begin{eqnarray*} e^{0,5x} \end{eqnarray*}$ und u= $\begin{eqnarray*} 2 * \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} e^{0,5x} \end{eqnarray*}$ und v = 0,75x - 3 und v' = 0,75 erhalte ich letztendlich H (x) = $\begin{eqnarray*} (1,5 x - 9 ) \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} e^{0,5x} \end{eqnarray*}$

wenn ich nun die Grenzen einsetze mit a = 0 und b = 4 erhalte ich als Lösung A = ( ( $\begin{eqnarray*} - 3 * \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} e^{0,5x} \end{eqnarray*}$ ) - ( - 9 ) )
= $\begin{eqnarray*} - 3 * \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} e^{0,5x} \end{eqnarray*}$ + 9
Die richtige Lösung sollte aber A= $\begin{eqnarray*} 3 * \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} e^{0,5x} \end{eqnarray*}$ - 9 sein.... reicht es einfach, Betragstrich zu setzen??? Dann würde ich ja das Ergebnis erhalten....

07.02.2005, 20:01

iammrvip

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Tausche mal die Funktionen beim Integrieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

08.02.2005, 15:59

Xtra

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aber warum muss ich die dann tauschen?? Es kann doch nicht sein, dass mal h(x) = f(x) - g (x) ist und dann wieder h(x) = g(x) - f(x) ... wann muss ich denn was von welchem subtrahieren?? Das peil ich nicht... ich hab das bisher immer mit der ersten Formel berechnet....

08.02.2005, 16:05

kurellajunior

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Immer die Funktion die "oben" liegt minus die die "unten" liegt". Wenn DU dir veranschaulichst was Du da eigentlich rechnest, ist dieser Ansatz recht logisch. Wenn Du das drunter und drüber ignorieren willst müsstest Du mit Betragsstrichen arbeiten, und das ist lästig.
Guck die die geplotteten Funktionsgraphen mal an, dann weißt du was ich meine.
Jan

08.02.2005, 16:06

Xtra

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ahh, das klingt logisch! - hat mir bisher aber kein Lehrer gesagt.. :o)
Aber ist meine Rechnung in den Betragstrich nicht falsch, nur umständlich....!??!

08.02.2005, 16:38

kurellajunior

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Wenn Du das meinst:

Zitat:

Original von Xtra
Oh man bin ich blöd Hammer

Hammer

g = | -4 | + 1 = 5 und h = | - 2 | = 2 , also ist A = 0,5 * 5 * 2 = 5 FE

Ist es tatsächlich falsch. Korrekt wäre

g=1 - -4 = 5 oder g= |-4 - 1| = 5

Wenn Du was anderes meinst, dann zitier bitte genau welche Betragsstriche Du meinst.

Jan

PS wegen oben und unten, das erklärt auch, warum du immer nur zwichen zwei Schnittpunkten agieren darfst. Nach einem Schnittpunkt kann sich schließlich oben und unten vertauschen.

08.02.2005, 19:05

Xtra

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mhh, eigentlich meinte ich das so, wie ich das geschrieben habe: g =
| - 4 | + 1 = 5 weil ich ja anhand des Graphen sehen kann, dass die Strecke von - 4 bis 1 5LE lang ist... Ich dachte, man könne das so schreiben - anscheinend nicht... ICh würde es dann wohl so schreiben: g = 1 - (-4) = 5

...dein PS hab ich leider nicht so ganz verstanden... verwirrt

verwirrt

08.02.2005, 19:52

iammrvip

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Mach dir keine Sorgen, das stimmt schon.

13.02.2005, 14:40

Xtra

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Mhh, zu dieser Aufgabe gehört noch'ne Teilaufgabe, die ich auch nicht so ganz raffe:

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f , der Normalen und der x-Achse eingeschlossen wird.

zur Erinnerung:

f(x) = $\begin{eqnarray*} ( 0,5x - 2 ) * \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} e^{0,5x} \end{eqnarray*}$

n (x) = $\begin{eqnarray*} 2x - 2 \end{eqnarray*}$

Ich hab echt keine Ahnung, wie ich das hier berechnen kann / muss... Danke schon mal für eure Hilfe!!

13.02.2005, 14:51

iammrvip

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Hast du dir eine Skizze gemacht?? Das hilft immer bei solchen Aufgaben.

Der Graph f(x) und die Normale n(x). Du musst nur die gelb-markierte Fläche berechnen:

/edit: Skizze korrigiert.

13.02.2005, 15:05

Xtra

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Ja, die Zeichnung hatte ich schon gemacht :o) Sieht aber bei mir wegen der Einheiten (1 LE - 1 cm) etwas anders aus... Mir war auch schon bewusst, dass ich nur die "gelbe" Fläche berechnen muss - aber wie?!?! verwirrt

verwirrt

13.02.2005, 15:07

iammrvip

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Erstmal brauchst du die Grenzen für das Integral. Also die Schnittstellen der beiden Funktion.

Dann guckst du welche Funktion oben ist und ziehst davon die untere ab. Das Integral gibt die ja den Flächeninhalt unter dem Funktionsgraphen an. Also ziehst du die Funktion die unten liegt von der die oben ist ab.

Du kannst ja mal das Integral aufschreiben.

13.02.2005, 15:57

Xtra

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und die x-Achse spielt nur wegen der Schnittstellen eine Rolle?!?!? Irgendwie bin selbst dazu zu blöd, die Schnittstellen zu berechen:

f (x) = n (x)

$\begin{eqnarray*} (0,5x - 2) * \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} e^{0,5x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 2x -2 \end{eqnarray*}$
-> $\begin{eqnarray*} 0,5x * \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} e^{0,5x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 2 * \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} e^{0,5x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 2x - 2 \end{eqnarray*}$

... und dann???

13.02.2005, 20:51

iammrvip

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/edit: sorry für den Quatsch.... unglücklich

unglücklich

Dürft ihr dafür den Taschenrechner nehmen verwirrt

verwirrt

Dann kannst du die Schnittstellen auch mit dem ermitteln.

13.02.2005, 21:46

kikira

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Da ist gemeint, dass 2 Kurven miteinander mehrere Schnittpunkte haben können. Wenn du eine Skizze machst, dann siehst du, von wo bis wo welche Kurve ober der anderen liegt.
Denn es kann sein, dass f(x) vom 1. Schnittpunkt bis zum 2. Schnittpunkt oberhalb von g(x) liegt, aber vom 2. Schnittpunkt zum 3. Schnittpunkt unterhalb von g(x) liegt.
Beim Integrieren ist es sowieso gaaaaanz wichtig, dass man alles genau zeichnet, denn dann sieht man auch, WELCHE Fläche man zu berechnen hat.

Denn übrigens ist es NICHT immer so, dass man obere Kurve - untere Kurve rechnen kann.
Das kommt eben immer drauf an, welche Fläche gefragt ist und welche Kurven du gegeben hast.

Wenn man eine Kurve von einer Grenze zur anderen integriert, dann bekommt man die Fläche, den der Kurvenstrich mit DER X-ACHSE in diesem Abschnitt einschließt.

Wenn du die obere Kurve integrierst, bekommst du die Fläche die der Kurvenstrich mit der x-Achse einschließt. Integrierst du die untere Kurve, dann kriegst die Fläche, die dieser Kurvenstrich mit der x-Achse einschließt. Und wenn du dann die große Fläche minus der kleinen Fläche rechnest, bleibt die übrig, die du haben willst - nämlich die eingeschlossene Fläche.

lg kiki

13.02.2005, 21:54

kikira

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Zitat:

Original von iammrvip
Hast du dir eine Skizze gemacht?? Das hilft immer bei solchen Aufgaben.

Der Graph f(x) und die Normale n(x). Du musst nur die gelb-markierte Fläche berechnen:

Diese Fläche soll sie aber nicht berechnen. Denn wo ist denn da die x-Achse die Begrenzung?

lg kiki

edit:

Der Teil, der gelb ist und unterhalb der x-Achse liegt, gehört nicht dazu.

Daher muss sie auch nicht die Schnittpunkte berechnen.
Und genau hier gilt nicht mehr: obere Kurve - unterer Kurve
Sondern hier muss man verstehen, welchen "Kurvenstrich" man von wo bis wo integrieren muss und welche Fläche man dann erhält und welche Fläche von welcher abgezogen werden muss oder welche Fläche zu welcher addiert werden muss, damit man die gesuchte bekommt.

lg kiki

13.02.2005, 22:39

etzwane

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Zitat:

Original von iammrvip
...
Du kannst $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{\frac{1}{2}x} \end{eqnarray*}$ aus deinen Betrachtungen weglassen...
...

Dieses Argument solltest du noch einmal überdenken, denn wenn du diesen Faktor weglässt, teilst du praktisch nur eine Seite dieser Gleichung durch diesen Faktor und die andere nicht !
Und es funktioniert hier nur, weil hier zufällig x=0 eine Nullstelle der Gleichung ist, und wenn man die linke Seite dieser Gleichung durch e^0 = 1 teilt, die Gleichung dadurch nicht verändert wird.

Wie sieht es denn aus z.B. bei
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{2}x - 2\right)\mathrm e^{\frac{1}{2}x} &= 2x - 3 \end{eqnarray*}$

13.02.2005, 23:47

iammrvip

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Sorry, mein Fehler ich hab die Aufgabe nicht richtig gelesen traurig

traurig

Ich mich

Hammer

Hammer

Hammer

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