Frage zu Ableitung mit sin, cos und pi

06.02.2005, 17:30

tschekowski

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Frage zu Ableitung mit sin, cos und pi

Hi,

Gegeben ist folgende Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(2x-\pi) \end{eqnarray*}$

davon soll ich nun die ersten 2 Ableitungen machen.
Die 2.Ableitung lautet laut Lösungsblatt:
$\begin{eqnarray*} f''(x)=4\sin(x) \end{eqnarray*}$

Wo ist das Pi in der Klammer hingekommen ?

Weitere Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(x-\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$

Die 2.Ableitung lautet laut Lösungsblatt:
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x) \end{eqnarray*}$

Der Weg dorthin ist mir völlig unerklärlich...

Wie geht man allgemein bei Ableitungen vor bei denen ein Pi in der Klammer bei einem Kosinus oder Sinus steht - welches Regeln gibt es ?

im Heft habe ich jetzt noch folgendes gefunden:
Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f(x)=2\sin(2x-\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$
Lösung:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=4\cos(2x-\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$

Die Vorgehensweise finde ich logisch - unterscheidet sich aber von den oberen - eine von den beiden muss doch aber falsch sein, oder ?

edit: Doppelpost zusammengefügt, benutze die edit-Funktion (MSS)

06.02.2005, 17:38

grybl

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RE: Frage zu Ableitung mit sin, cos und pi
Bist du dir sicher, dass auf dem Lösungsblatt f''(x)=4sinx steht? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \sin(2x-\pi)=-\sin(pi-2x)=-\sin(2x) \end{eqnarray*}$

und da kommst du dann zu f"(x)=4sin(2x)

$\begin{eqnarray*} \sin(x-\frac{\pi}{4})=\sin x \cdot \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \cdot \sin \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

06.02.2005, 17:50

tschekowski

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ja also die aufgaben und lösungen stehen genauso auf dem blatt - kann aber schonmal passieren, dass sich da ein tippfehler einschleicht...

wie kommt man auf deinen rechenweg ?
es schein so, als ob es nur weil ein Pi in der Klammer steht ganz neue Rechenregeln gibt....das ist doch eigentlich ne ganz normale kettenregel....innere*äußere Ableitung*ursprungsterm....wie kommt man dann auf sowas ?

06.02.2005, 17:55

grybl

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Ich habe nur Umformungen durchgeführt und noch gar nicht differenziert.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(2x-\pi) \end{eqnarray*}$ habe ich in $\begin{eqnarray*} f(x)=-\sin (2x) \end{eqnarray*}$ umgeformt

und $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(x-\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sin x - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos x \end{eqnarray*}$

auf diese umgeformten Funktionen dann die Differentationsregeln anwenden und du kommst auf die gewünschten Lösungen

06.02.2005, 17:57

tschekowski

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lernt man sowas bis klasse 13 gymnasium ?
hab das vorher ehrlich gesagt noch nie gesehen....ich kenne das nur so wie in meinem 3. "logischen" Beispiel....

06.02.2005, 18:00

grybl

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kann ich dir leider nicht beantworten, wann man das bei euch lernt. Bei uns (Ö), wenn überhaupt im Moment in der 6. (10. bei euch), nach dem neuen Lehrplan im nächsten Schuljahr schon in der 5. (9.).

Falls du ein Formelheft besitzt, findest du diese und andere Umformungen unter Winkelfunktionen - Trigonometrie

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06.02.2005, 18:03

tschekowski

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ist das 3. "logische" beispiel eigentlich richtig vom ergebnis her ?

06.02.2005, 18:04

Calvin

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@tschekowski

Du kannst ja mal versuchen, dir das mit dem Zusammenhang $\begin{eqnarray*} \sin(x-y)=\sin(x)\cos(y)-\sin(y)\cos(x) \end{eqnarray*}$ herzuleiten.

06.02.2005, 18:17

tschekowski

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der ist mir halt wie gesagt neu und wenn wir das noch nicht hatten kommt es wahrscheinlich auch nicht dran...;-)
das 3.Beispiel haben wir aber in der Schule gemacht - ist das richtig oder falsch ? (war nämlich ne musteraufgabe)

@Calvin: gilt der weg für alle terme dieser form oder nur für die mit Pi drin ?

06.02.2005, 18:34

Calvin

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Das dritte Beispiel ist auch richtig. Wenn du willst, kannst du es aber mit dem von mir gegebenen Zusammenhang umschreiben. Der gilt übrigens immer. Schließlich steht bei mir nichts von Pi Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.02.2005, 19:52

tschekowski

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warum wird eigentlich bei den ersten 2 beispielen nicht die kettenregel verwendet ?
(oder täusche ich mich da?)

kann mir niemand helfen ?

traurig

traurig

traurig

traurig

edit: Doppelpost zusammengefügt, unterlasse solche Pushposts!!! (MSS)

06.02.2005, 22:01

Calvin

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Die wird doch verwendet. Die innere Ableitung ist jedesmal 2. Deshalb erhöht sich jeweils der Faktor vor dem sinus bzw. cosinus.

07.02.2005, 22:56

tschekowski

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klar aber wieso bleibt der ursprungsterm in der klammer dann nicht erhalten so wie es in dem 3. beispiel der fall ist und so wie es meiner meinung nach logisch ist ?
Bei den ersten 2 Beispielen steht auf einmal was anderes in der Klammer des sin bzw. cos wie in der ursprungsgleichung - wie kann das sein ?
die kettenregel geht doch grob: innere ableitung * äußere Ableitung * Ursprungsterm ?

08.02.2005, 08:52

Mathespezialschüler

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Wegen der Vereinfachung von grybl! Sie hat doch die Ausgangsfunktion vereinfacht und dann kann man ableiten und dann kommt man auf das Ergebnis:

Zitat:

Original von grybl
$\begin{eqnarray*} \sin(2x-\pi)=-\sin(pi-2x)=-\sin(2x) \end{eqnarray*}$

und da kommst du dann zu f"(x)=4sin(2x)

$\begin{eqnarray*} \sin(x-\frac{\pi}{4})=\sin x \cdot \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \cdot \sin \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

08.02.2005, 12:25

tschekowski

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ich verstehe 2 dinge nicht:

- wie kommt man von $\begin{eqnarray*} -sin(\pi-2x) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} -sin(2x) \end{eqnarray*}$
wo ist das pi geblieben und wo das "-" ?

- wenn ich sind(x-pi/4) habe brauche ich die klammer doch gar nicht auseinandernehmen - ich kannd a doch alles stehen lassen beim ableiten - wenn da z.B x-4 stehen würde würde man die klammer doch auch nicht auseinandernemhen ?
die 2. ableitung ist da einfach der gleiche term nur mit einem minus vornedran - so hatten wir das immer...

08.02.2005, 12:37

Leopold

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Zeichne dir eine Skizze vom Sinusgraphen

$\begin{eqnarray*} f_0(x) = \sin{x} \end{eqnarray*}$

Jetzt verschiebst du diesen um $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ nach rechts, d.h. du mußt in der Formel $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x - \pi \end{eqnarray*}$ substituieren:

$\begin{eqnarray*} f_{\text{um } \pi \text{ verschoben}}(x) = \sin{(x - \pi)} \end{eqnarray*}$

Wenn du den Sinusgraphen stattdessen an der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse spiegelst (was darauf hinausläuft, das Vorzeichen zu ändern), erhältst du

$\begin{eqnarray*} f_{\text{an } x \text{-Achse gespiegelt}}(x) = - \sin{x} \end{eqnarray*}$

Und wenn du dir die beiden veränderten Graphen anschaust, so stellst du fest: Die stimmen überein!

$\begin{eqnarray*} f_{\text{um } \pi \text{ verschoben}}(x) = f_{\text{an } x \text{-Achse gespiegelt}}(x) \end{eqnarray*}$

Damit gilt die Formel:

$\begin{eqnarray*} \sin{(x - \pi)} = - \sin{x} \end{eqnarray*}$

Weiter gilt aber auch die Formel $\begin{eqnarray*} \sin{(-x)} = - \sin{x} \end{eqnarray*}$ , denn der Sinusgraph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Und wenn du diese beiden Formeln kombinierst und statt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ schreibst, hast du, wonach du suchst.

08.02.2005, 13:37

tschekowski

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also meine 2 "unlogischen" beispiele löst man über die vorstellung des grapfen und nicht nach einer unmittelbaren rechenregel ?

(wenn ich das aber nicht tue gibt es doch auch eine andere Möglichkeit: ich kann ganz stur nach den rechenregel rechnen (so wie bei meinem 3. beispiel. - da kommt dann zwar ein nicht ganz so stark vereinfachtes Beispiel heraus ist aber dennoch richtig, oder ?)

08.02.2005, 15:55

grybl

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du hast das falsch verstanden.

Leopold will dir mMn anschaulich erklären, warum $\begin{eqnarray*} \sin{(x - \pi)} = - \sin{x} \end{eqnarray*}$ ist.

Du wolltest ja wissen, warum von (1) $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(2x-\pi) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f''(x)=4\sin(2x) \end{eqnarray*}$ ist

und von (2) $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(x-\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x) \end{eqnarray*}$

Natürlich kannst du auch bei (1) als $\begin{eqnarray*} f''(x)=-4 \cdot \sin (2x-\pi) \end{eqnarray*}$ und von (2) $\begin{eqnarray*} f''(x)=-\sin (x-\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$ nehmen. Das ist genauso richtig.

Nur sollte mMn in der Mathematik versucht werden, die Ergebnisse in möglichst einfacher Form darzustellen. smile

smile

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