Potential eines Vektorfelds

10.07.2007, 17:51

Sila85

Potential eines Vektorfelds

Seien D={(x,y) € R^2: x > 0} und das Vektorfeld V: D --> R^2 mit

$\begin{eqnarray*} V(x,y)=(\frac{y^2}{x^2}(x^2+y^2)^\alpha , -\frac{y}{x}(x^2+y^2)^\alpha ) \end{eqnarray*}$ ,
wobei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ € R fest, gegeben.

a) Bestimmen Sie für welche $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ € R das Vektorfeld V ein Potential auf D besitzt und geben Sie dieses gegebenenfalls an.

b) Berechnen Sie für die unter a) bestimmten Felder den Wert der Kurvenintegrale von V längs des positiv durchlaufenen Einheitskreises $\begin{eqnarray*} \vec{w} \end{eqnarray*}$ um (0,0)^T.

zu a) Muss man hier die Rotation des Vektorfelds gleich Null stellen und dann nach alpha lösen? und wenn ja, wie sieht dann die Rotation aus? muss ich einmal die x-komponente nach x und die y-komponente nach y partiell ableiten und dann gleichstellen? für genaue hinweise bin ich sehr dankbar!

zu b) kann mir hier überhaupt nicht vorstellen wie das aussehen soll. ich hab ja nicht mal a)...

vielen dank im voraus! ich hoffe es kommen genaue und verständliche hinweise...

sila

10.07.2007, 23:15

Harry Done

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RE: Potential eines Vektorfelds
Ich denke das Vorgehen bei a) ist soweit richtig. Da der Weg geschlossen ist, ist das Kurvenintegral Null (Summe der Spannungen ist ja immer Null).
Nach dem Satz von Stokes gilt dann, dass auch die Rotation der elektrischen Feldstärke Null sein muss.
Die Rotation rechnest du entweder über die Determinatenschreibweise aus oder du guckst einfach in eine Formelsammlung dafür. (zB hier bei Wikipedia KLICK)

Letztendlich die partiellen Ableitungen der Einzelkomponenten.
Ich werde das auch nochmal versuchen, und dann nochmal zurückschreiben.

Edit: Nur zur Kontrolle, ich bekomme für alpha -1/2 raus.

10.07.2007, 23:32

WebFritzi

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RE: Potential eines Vektorfelds

Zitat:

Original von Sila85
wie sieht dann die Rotation aus? muss ich einmal die x-komponente nach x und die y-komponente nach y partiell ableiten und dann gleichstellen?

Es gibt hier keine Rotation!!! Die gibt es nur im IR³. Und du musst es andersrum machen als von dir vorgeschlagen. Sprich: es muss gelten

$\begin{eqnarray*} \partial_x v_2 = \partial_y v_1. \end{eqnarray*}$

11.07.2007, 06:04

Sila85

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RE: Potential eines Vektorfelds

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Sila85
wie sieht dann die Rotation aus? muss ich einmal die x-komponente nach x und die y-komponente nach y partiell ableiten und dann gleichstellen?

Es gibt hier keine Rotation!!! Die gibt es nur im IR³.

ja das dachte ich ja auch!!! deswegen verwirrt mich ja die ganze sache...

wie kommst du eigentlich drauf dass $\begin{eqnarray*} \partial_x v_2 = \partial_y v_1. \end{eqnarray*}$ gelten muss?? woher hast du das??

@ harry done:
wäre echt sehr nett von dir wenn du mir den rechenweg ausführlich zeigst...würde es gerne trotzdem sehen...

vielen dank im voraus!

11.07.2007, 08:33

Monstar

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ich schätze mal das kommt aus dem formalen kreuzprodukt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also quasi rotation im IR^3 eingeschränkt auf die x,y-ebene

11.07.2007, 09:54

Dual Space

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Sila: Man kommt auch gut (in jeder Dimension!) ohne die Rotation aus, sofern das gegebene Gebiet sternförmig ist. Schließlich gibt es ja immer noch die Integrabilitätsbedingungen (vgl. mit erstem bzw. zweitem Kriterium auf http://de.wikipedia.org/wiki/Gradientenfeld). Ich denke darauf wollte auch Webfritzi hinaus. Augenzwinkern

11.07.2007, 10:27

WebFritzi

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RE: Potential eines Vektorfelds

Zitat:

Original von Sila85
wie kommst du eigentlich drauf dass $\begin{eqnarray*} \partial_x v_2 = \partial_y v_1. \end{eqnarray*}$ gelten muss?? woher hast du das??

Steht wahrscheinlich irgendwo in deinem Skript. Ich kann mir kaum vorstellen, dass du eine Aufgabe lösen sollst ohne jemals etwas von den Integrabilitätsbedingungen gehört zu haben. Vielleicht liest du das nächste mal vorher ein wenig, bevor du die Zeit anderer bemühst.

11.07.2007, 11:17

Harry Done

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RE: Potential eines Vektorfelds
Wenn man das ganze in Determinatenschreibweise aufschreibt, dann kann man doch eine Rotation angeben, der Vektor der dabei entsteht ist doch dann ganz einfach in Richtung der z-Achse.

Mit dem Vektor: $\begin{eqnarray*} \vec{V}=V_1\vec{e_x}+V_2\vec{e_y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \nabla \times \vec{V}=\begin{vmatrix} \vec{e_x} & \vec{e_y} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ V_1 & V_2 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial V_2}{\partial x}-\frac{\partial V_1}{\partial y})\vec{e_z}=0 \end{eqnarray*}$

Bei b) bin ich mir nicht ganz sicher, aber ohne jetzt nachzurechnen, würde ich sagen, wenn du ein Potential hast, dann ist das geschlossene Kurvenintegral (hier über den geschlossenen Kreis) doch Null, oder täusche ich mich da?

11.07.2007, 12:35

WebFritzi

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@Harry: Die Rotation ist nur für den R^3 definiert. So ist es nunmal.

Zu (b) folgendes: Die Aufgabe ist nicht durchführbar, da das Vektorfeld auf der "lniken Hälfte" des Einheitskreises nicht definiert ist. Der Definitionsbereich von V ist D!

11.07.2007, 12:45

Dual Space

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Ich würde einfach sagen, die Aufgabe b) ist schlecht formuliert. Betrachtet man aber das Wesentliche, so ist ein Integral entlang eines geschlossenen Weges über einem Gradientenfeld zu berechnen.

11.07.2007, 17:24

Sila85

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Zitat:

wieso sollte ich denn die zeit anderer bemühen! wenn du davon ausgehst dass ich mich vorher nicht damit beschäftigt habe dann ist das dein problem. das board existiert doch gerade deswegen um anderen zu helfen die nicht weiterkommen. versteh mich bitte nicht falsch aber hättest du den begriff "integrabilitätsbedingung" schon vorher erwähnen können, dann hätte ich mich darüber schlau gemacht, denn dies steht (noch) NICHT in meinem skript. ich habe nur gehört man soll die rotation des vektorfeldes gleich null stellen und nach alpha auflösen...

12.07.2007, 10:38

WebFritzi

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Entweder, das, was du mir da erzählst, ist alles Quatsch, und du schreibst es nur, weil du es nicht besser weißt, oder deine Lehrveranstaltung ist schlecht. Bei der Behandlung von Potentialen von Vektorfeldern ist die Integrabilitätsbedingung ein Muss. Und dass die Rotation nur im R³ existiert, sollten deine Lehrer auch wissen. böse

So, jetzt aber genug der Schimpferei. Und ja, ich hätte das Wort "Integrabilitätsbedingung" erwähnen müssen.

12.07.2007, 11:13

Dual Space

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Zitat:

Original von Sila85
versteh mich bitte nicht falsch aber hättest du den begriff "integrabilitätsbedingung" schon vorher erwähnen können, dann hätte ich mich darüber schlau gemacht, ...

Ähäm...

Zitat:

Original von Dual Space
Schließlich gibt es ja immer noch die Integrabilitätsbedingungen (vgl. mit erstem bzw. zweitem Kriterium auf http://de.wikipedia.org/wiki/Gradientenfeld). Ich denke darauf wollte auch Webfritzi hinaus. Augenzwinkern

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