Vektoren orthonomieren.. + Drehmatrix!!

10.07.2007, 18:13

meli05

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Vektoren orthonomieren.. + Drehmatrix!!

Hallo,

ich habe folgende Vektoren gegeben:

$\begin{eqnarray*} \vec{x_1} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{x_2} =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{x_3} =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und soll die nun orthonomieren...

ich hab das mit dem schmittschen orthogonalisierungsverfahren gemacht und kam auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} \vec{x_1'} =\frac{1}{\sqrt{2} }\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{x_2'} =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \vec{x_3'} =\frac{1}{\sqrt{2} }\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt stellt sich mir die frage, diesen vektor hätte ich ja auch einfach wählen können, die ersten beiden also $\begin{eqnarray*} \vec{x_1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{x_2} \end{eqnarray*}$ waren ja schon orthogonal kann ich dann nicht den dritten beliebig wählen, so das eben alle drei orthogonal sind??

b) nun soll ich diese Vektoren in eine Matrix C fassen und $\begin{eqnarray*} C^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C^T \end{eqnarray*}$ berechnen:

$\begin{eqnarray*} C=\frac{1}{\sqrt{2} } \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und man sieht: $\begin{eqnarray*} C=C^{-1}=C^T \end{eqnarray*}$ weil ja orthogonal und symmetrisch..

stimmt das soweit?

10.07.2007, 20:39

WebFritzi

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Steht dein x2' senkrecht auf x1' ?

EDIT: Du kannst hier auch die euklidische Basis (e1,e2,e3) nehmen, weil x2 = e2, und mit dem kannste ja anfangen. Das Problem bei dieser Aufgabe ist meiner Meinung nach, dass nicht klar gesagt wird, was mit "Orthonormierung" gemeint ist.

10.07.2007, 20:54

meli05

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hups sorry war ein tippfehler nun müsste es passen!

stimmt die hätte ich sicher nehmen können *an kopf fass*

ja die aufgabe ist sehr schwammig.. es steht nur dran: finden sie heraus ob die gegebenen vektoren orthogonal zueinander sind, wenn nicht orhtonomieren sie sie...

abe im grunde dürfte es ja so richtig sein oder? also auch das mit meiner Matrix smile

smile

lg meli

10.07.2007, 22:05

WebFritzi

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Naja, du hast die Wurzel aus 2 bei der Matrix vergessen.

12.07.2007, 10:15

meli05

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oh bin ich schusslig ok danke! smile

smile

nun soll ich die Matrix A zu der die orthonomierten Vektoren von oben eigenvektoren sind, darstellen.

gegeben sind noch die Eigenwerte von A:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lambda_2=-1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lambda_3=2 \end{eqnarray*}$

A kann ich ja dann folgendermaßen berechnen:

$\begin{eqnarray*} A=S\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot S{-1} \end{eqnarray*}$

wobei S die Matrix aus den Eigenvektoren ist:

$\begin{eqnarray*} S=S^{-1}=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

müsste so gehen oder?

mfg
meli

12.07.2007, 10:23

WebFritzi

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In der Mitte deiner Matrix muss $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ stehen und nicht 1.

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12.07.2007, 10:27

meli05

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oh natürlich danke :-)

stimmt der Ansatz für die Bestimmung von A?

mfg
Meli

12.07.2007, 11:39

WebFritzi

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Sieht gut aus, ja.

12.07.2007, 11:59

meli05

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ook danke :-)

ich hätte noch eine frage hoffe du kannst mir auch da helfen und zwar habe ich diese matrix:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} c & -s & 0 \\ s & c & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wobei: $\begin{eqnarray*} c=cos(\phi) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} s=sin(\phi) \end{eqnarray*}$ (der tatsächliche Wert von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist hier laut aufgabentext irrelevant)

a)ich soll jetz die Ewerte und Evektoren berechnen und sagen zu welcher besonderen klasse die matrix gehört und was
gilt demzufolge für die Ewerte und Vektoren

b)demonstrieren sie diese eigenschaften mit den von ihnen gewonnnen evektoren und eigenwerten.

soo also die matrix ist ja wohl anscheinend orthogonal und es handelt sich hier um eine drehung um den winkel phi um die z-achse => Ein Eigenwert ist 1 oder?

wie kann ich die eigenwerte denn berechnen? soll ich da für phi einen beliebigen Grad einsetzen und dann für die sich ergebenen Werte für cos/sin die eigenwerte/vektoren bestimmen?

oder geht das auch so:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} c-x & -s & 0 \\ s & c-x & 0 \\ 0 & 0 & 1-x \end{pmatrix} = (cos-x)^2 -(-sin^2) = ? \end{eqnarray*}$ unglücklich

unglücklich

bekomme dann nur die gleichung nicht gelöst...

m,fg meli

12.07.2007, 12:12

WebFritzi

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Zitat:

Original von meli05
wie kann ich die eigenwerte denn berechnen? soll ich da für phi einen beliebigen Grad einsetzen und dann für die sich ergebenen Werte für cos/sin die eigenwerte/vektoren bestimmen?

Nein. Rechne einfach mit phi. Warum haben so viele damit Probleme, mit Variablen zu rechnen...?

Zitat:

Original von meli05
oder geht das auch so:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} c-x & -s & 0 \\ s & c-x & 0 \\ 0 & 0 & 1-x \end{pmatrix} = (cos-x)^2 -(-sin^2) = ? \end{eqnarray*}$

Schau dir nochmal ganz genau an, was du da fabriziert hast. Das ist in allen Belangen absoluter Mist.

12.07.2007, 12:40

meli05

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hm weil ichs falsch geschrieben hab oder wie?:

so besser?

$\begin{eqnarray*} det(A)=\begin{pmatrix} cos(\phi)-\lambda & -sin(\phi) & 0 \\ sin(\phi) & cos(\phi)-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (cos(\phi)-\lambda)^2 -(-sin^2(\phi)) = ? \end{eqnarray*}$

auf das ergebnis komme ich aber noch immer? ?!

lg meli

12.07.2007, 13:03

WebFritzi

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Nein, so ist es nicht besser!

$\begin{eqnarray*} det(A - \lambda E)=\left| \begin{matrix} cos(\phi)-\lambda & -sin(\phi) & 0 \\ sin(\phi) & cos(\phi)-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{matrix} \right| = ((cos(\phi)-\lambda)^2 + sin^2(\phi)) (1 - \lambda) \end{eqnarray*}$

Bitte gib dir doch etwas mehr Mühe sowohl beim Aufschreiben als auch beim Rechnen. So, und jetzt rechne weiter. Diese Determinante soll ja Null sein.

12.07.2007, 14:02

meli05

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shit sorry mir passieren grad soviel fehler Hammer

Hammer

also ich habs mal so versucht:

$\begin{eqnarray*} ((cos(\phi)-\lambda)^2 (1-\lambda)+ (sin^2(\phi)) (1 - \lambda)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos^2(\phi)-2\lambda cos(\phi)+\lambda^2-\lambda cos^2+ 2\lambda^2 cos -\lambda^3-\lambda sin^2(\phi) +sin^2(\phi)=0 \end{eqnarray*}$

wegen
$\begin{eqnarray*} cos^2+sin^2=1 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} -\lambda^3+2\lambda^2 cos-3\lambda cos +1-\lambda sin^2=0 \end{eqnarray*}$

-\lambda (\lambda^2 +2\lambda^2 cos-3 cos- sin^2)+1=0

=> $\begin{eqnarray*} \lambda_1=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda^2 +2\lambda^2 cos-3 cos- sin^2=0 \end{eqnarray*}$

stimmt das nun bisher? falls ja kannst du mir einen tipp geben wie ich das dann weiterlösen kann=? ich komme nicht drauf :-(

danke!

lg meli

13.07.2007, 02:44

WebFritzi

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Du rechnest falsch. Lass das, was in einer Klammer steht, auch darin.

14.07.2007, 18:35

meli05

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oh mist

Hammer

so nun nochmal:

$\begin{eqnarray*} ((cos(\phi)-\lambda)^2 (1-\lambda)+ (sin^2(\phi)) (1 - \lambda)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos^2(\phi)-2\lambda cos(\phi)+\lambda^2-\lambda cos^2+ 2\lambda^2 cos -\lambda^3-\lambda sin^2(\phi) +sin^2(\phi)=0 \end{eqnarray*}$

wegen
$\begin{eqnarray*} cos^2+sin^2=1 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} -\lambda^3+2\lambda^2 cos-3\lambda cos +1-\lambda sin^2=0 \end{eqnarray*}$

-\lambda (\lambda^2 +2\lambda^2 cos-3 cos- sin^2)+1=0

=> $\begin{eqnarray*} \lambda_1=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda^2 +2\lambda^2 cos-3 cos- sin^2=0 \end{eqnarray*}$

stimmt das nun bisher? falls ja kannst du mir einen tipp geben wie ich das dann weiterlösen kann=? ich komme nicht drauf :-(

danke!

lg meli

14.07.2007, 18:44

WebFritzi

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Du hast schon wieder falsch gerechnet!!!

14.07.2007, 19:28

meli05

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kannst du mir den fehler auch zeigen? damit ichs dann nochmal versuchen kann, den eigenen fehler zu finden ist immer sehr schwer unglücklich

unglücklich

mfg
meli

15.07.2007, 00:53

NixDrauf

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Ordnung ist das halbe ...
Hallo meli05,

hier eine kleine Zusammenfassung und ein paar Anregungen:

$\begin{eqnarray*} det(A-\lambda E) = \begin{vmatrix} c-\lambda & -s & 0 \\ s & c-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1-\lambda \\ c-\lambda & -s & 0 \\ s & c-\lambda & 0 \end{vmatrix} = (1-\lambda)\cdot [(c-\lambda)^2+s^2] \end{eqnarray*}$

Warum kann man die Zeile 3 der Determinante vertauschen und was bringt das?
Wann wird ein Produkt 0? Wenn die einzelnen Faktoren ... Also:

$\begin{eqnarray*} (\lambda_1 - 1) = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 1 \end{eqnarray*}$

Weiter geht es mit Schulmathematik.

$\begin{eqnarray*} [(c-\lambda)^2+s^2]=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (c-\lambda)^2 = -s^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (c-\lambda)^2 = -s^2 = i^2 s^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c-\lambda = \pm is \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_{2,3}= c \pm is \end{eqnarray*}$

Jetzt Sinus und Cosinus einsetzen, dann erhälst Du:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{2,3}= e^{\pm i \phi} \end{eqnarray*}$

15.07.2007, 12:29

meli05

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wenn ich nun die Evektoren bestimmen will setze ich ja jetzt meine eigenwerte ein:

$\begin{eqnarray*} det(A-1 E) = \begin{vmatrix} c-1 & -s & 0 \\ s & c-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

es ergibt sich ja gleich eine nullzeile d.h. ich darf eine variable wählen?

z.b. $\begin{eqnarray*} x_2=a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (c-1)x_1 -sa = 0 | \cdot -s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sx_1 + (c-1)a = 0 | \cdot (c-1) \end{eqnarray*}$

-->

$\begin{eqnarray*} -s(c-1)x_1 +s^2a = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s(c-1)x_1 + (c-1)^2a = 0 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} s^2a+(c-1)^2a =0 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} a[s^2+(c-1)^2]=0 \end{eqnarray*}$

=> a=0

kann das sein bis hier??? irgendwie stimmt da doch was nicht oder verwirrt

verwirrt

lg meli

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