unbestimmte Integrale

07.02.2005, 14:10

eumolos

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unbestimmte Integrale

Hallo,

ich soll folgende unbestimmte Integrale bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x(ax + b)^n~dx \end{eqnarray*}$ für a $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 und n $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ -1, -2.

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x\sqrt{x^2 + a^2}~dx \end{eqnarray*}$ für a $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0.

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}~dx \end{eqnarray*}$ für |x| < a und a > 0.

Gruß
eumolos

07.02.2005, 14:35

iammrvip

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RE: unbestimmte Integrale

Zitat:

Original von eumolos
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x(ax + b)^n~dx \end{eqnarray*}$ für a $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 und n $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ -1, -2.

partielle Integration.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x\sqrt{x^2 + a^2}~dx \end{eqnarray*}$ für a $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0.

substituiere: $\begin{eqnarray*} u = x^2 + a^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}~dx \end{eqnarray*}$ für |x| < a und a > 0.

Erstmal etwas umformen:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -\int~\frac{-x^2 + a^2 - a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -\int~\frac{a^2 -x^2 - a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -\int~\left(\frac{a^2 -x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} - \frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}~\right)\mathrm dx \end{eqnarray*}$

Jetzt noch etwas vereinfachen und beim zweiten Summanden $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ ausklammern und substituieren.

12.02.2005, 14:31

eumolos

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also wenn ich $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x(ax+b)^n~dx \end{eqnarray*}$ partielle integriere,

dann komm ich zu

$\begin{eqnarray*} x * (ax+b)^n - \int_{}^{}~x* \frac{(ax+b)^n+1}{a(n+1)}~dx \end{eqnarray*}$

doch nur wie weiter. Kann mir einer bitte helfen?

Gruß
eumolos

12.02.2005, 15:02

Calvin

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Da mußt du eine falsche Formel für die partielle Integration haben verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \int~u(x)\cdot v'(x)~dx=u(x)\cdot v(x)-\int~u'(x)\cdot v(x)~dx \end{eqnarray*}$

Wähle jetzt u(x)=x und v'(x)=(ax+b)^n

12.02.2005, 15:08

eumolos

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Danke.

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x~(ax+b)^n~dx = x * (ax+b)^n - \int_{}^{}~(ax+b)^n~dx \end{eqnarray*}$

richtig so?

12.02.2005, 15:12

Calvin

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Nein, nicht ganz. Du hast $\begin{eqnarray*} v'(x)=(ax+b)^n \end{eqnarray*}$ . Wie ist dann dein v(x)? Wenn du es nicht gleich siehst, dann probiere mal $\begin{eqnarray*} \int~(ax+b)^n~dx \end{eqnarray*}$ mit der Substitution t=ax+b zu lösen.

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12.02.2005, 15:15

eumolos

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ich weiss leider net wie du das meinst. Kannst du das mal etwas erklären. Was dann v(x) ist, und wie ich darauf komme? Danke schonmal

Gruß
eumolos

12.02.2005, 15:47

eumolos

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also kann das zutreffen für v(x)?

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x \frac{ax+b)^n}{a(n+1)}~dx \end{eqnarray*}$

12.02.2005, 16:00

Calvin

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Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel beim Ableiten. Die Formel habe ich oben schonmal hingeschrieben. Aber hier nochmal zur Verdeutlichung:

$\begin{eqnarray*} \int~u(x)\cdot v'(x)~dx=u(x)\cdot v(x)-\int~u'(x)\cdot v(x)~dx \end{eqnarray*}$ .

Wenn du das letzte Integral auf die linke Seite bringst und die Gleichung ableitest, bekommst du genau die Kettenregel $\begin{eqnarray*} u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x) = \left(u(x)\cdot v(x)\right)' \end{eqnarray*}$ . Soviel mal dazu.

Nun hast du dein Integral $\begin{eqnarray*} \int~x(ax+b)^n~dx \end{eqnarray*}$ . Wenn du es mit partieller Integration lösen willst, mußt du es entsprechend in die Formel von oben einsetzen, und zwar auf die linke Seite des Gleichheitszeichens. Du hast also $\begin{eqnarray*} \int~x(ax+b)^n~dx=\int~u(x)\cdot v'(x)~dx \end{eqnarray*}$ . Sinnvollerweise wählst du jetzt u(x)=x und v'(x)=(ax+b)^n.

Soweit hast du es (glaube ich) schon vorher verstanden.

Du kennst also jetzt v'(x). In der Formel oben kommt aber noch die Funktion v(x) vor. Diese mußt du also bestimmen.

Und wie kommst du auf das Integral in deinem letzten Posting? Hast du es durch Überlegungen erstellt? Oder durch die von mir vorgeschlagene Substitution? Ich kann deinen Lösungsvorschlag leider nicht nachvollziehen.

12.02.2005, 16:14

eumolos

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also ich hab es mit Hilfe der Grundintegrale gemacht:

also $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x^n~dx = \frac {x^{n+1}} {n+1} \end{eqnarray*}$

ist doch richtig so, oder?

Bin echt verzweifelt...

edit: latex-Code verbessert (MSS)

12.02.2005, 16:17

AD

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In LaTeX bitte geschweifte Klammaern bei mehrteiligen Exponenten nutzen, also x^{n+1} statt x^n+1 rechts!

12.02.2005, 16:20

eumolos

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oh stimmt, mein Fehler

Gruß
eumolos

12.02.2005, 16:26

Calvin

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Ja, das ist gut so. Es ergibt sich also $\begin{eqnarray*} v(x)=\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} \end{eqnarray*}$ . Jetzt hast du alles, um die partielle Integration durchzuführen. Du mußt "nur" noch alles richtig in die Formel einsetzen. Dann läßt sich das Integral am Ende leicht ausrechnen.

12.02.2005, 16:32

eumolos

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ok lass mich es nochmal zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x*(ax+b)^n~dx = x * (ax+b)^n - \int_{}^{}~\frac {(ax+b)^{n+1}} {a(n+1}~dx \end{eqnarray*}$

Stimmt das jetzt so?

12.02.2005, 16:41

Calvin

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Immer noch nicht ganz. In der Mitte mußt du auch nochmal v(x) und nicht v'(x) einsetzen.

Damit ergibt sich $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x*(ax+b)^n~dx = x \cdot \frac {(ax+b)^{n+1}} {a(n+1)}- \int_{}^{}~\frac {(ax+b)^{n+1}} {a(n+1)}~dx \end{eqnarray*}$

12.02.2005, 17:57

eumolos

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Vielen Dank für die ausführlich Hilfe

Gruß
eumolos

12.02.2005, 17:58

Calvin

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Keine Ursache. Dafür sind wir da.

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