Differentialgleichung

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ChristofR Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung
Ich habe folgende Differentialgleichung:




Gesucht sind alle lösungen ohne ein anfangswertproblem.

Welcher weg ist hier einfacher ?
Mit LaPlace Transformation lösen oder ohne ?

Wie Lautet denn der Ansatz des Störgliedes wenn "rechts" nur eine Konstante Zahl wie hier 3 steht ?
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde die homogene DGL erstmal über die charakteristische Gleichung bestimmen (Ansatz:

Danach dann Variation der Konstanten o.Ä. aber das wäre etwas aufwendig.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Eine partikuläre Lösung ist einfach zu finden mit dem Ansatz wegen , dazu noch die allgemeine Lösung der homogenen DGL. Anfangswerte sind ja nicht gegeben.
ChristofR Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe es jetzt einmal durchgerechnet.. ist das mit dem ansatz so:



Alle ableitungen



dann in die differentialgleichung einsetzten




wenn ich einfach nach b auflöse erhalte ich 12... das ist aber falsch ( hab probe gemacht ; 15 raus statt 3)


nach meiner probe muss b = 0 sein wie ist das zu erklären ??? verwirrt
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

12 stimmt aber verwirrt
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich die Aufgabe falsch verstanden?

Ich rechne mit y=12: y'=0, y''=0 und y'''=0

Dies eingesetzt zur Probe ergibt: , passt also.

Und für die homogene Gleichung folgt mit usw. für :

,

da kann man das auch schon erraten.
 
 
ChristofR Auf diesen Beitrag antworten »

Ok war mein Fehler !
Sorry...

Wie ist es wenn:



dann ist die Lösung doch eine andere als bei der letzten aufgabe ... ?
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hast du ja nur eine homogene DGL. Du kannst also sofort die charakteristische Gleichung aufstellen lösen und hast die allgemeine Lösung Freude .
ChristofR Auf diesen Beitrag antworten »

ja und wie sieht da das charakteristische polynom aus ?
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

wähle den Ansatz und setze dies in die DGL ein. Dann kannst ausklammern und hast das Polynom.
ChristofR Auf diesen Beitrag antworten »

wie wo was ausklammern, bin ja wie gewöhnlich schwer von begriff Hammer

also bei der ersten aufgabe oben hab ich das charakteristische polynom einfach abgelesen :




für die -3 kann ich was schreiben ?
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte die Exponenten nicht einklammern. Das sind keine Ableitungen!

Das was du hier "abgelesen" hast (ich mach das auch so), würdest so rechnerisch durch meinen Ansatz bestätigen.

Was meinst du mit -3 verwirrt Wenn du die homogene DGL löst, brauchst du die rechte Seite der Gleichung überhaupt nicht anzugucken.
ChristofR Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber meine Differentialgleichung sieht doch so aus:



da steht die -3 doch "links"
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Oben sieht sie aber noch anders aus verwirrt

Die eigentlich DGL ist doch (du musst +3 rechnen):



Das ist eine lineare inhomogene DGL 3. Ordnung. Inhomogen wird sie, da

Die allgemein Lösung der DGL setzt sich aus der Summe der homogenen DGL also der Lösung von und der partikulären Lösung zusammen.

Dazu löst du erst die homogene DGL, über das charakteritische Polynom und wählst dann am besten etwanzes Ansatz für die partikuläre Lösung. Die Summen der beiden Teillösungen ergibt die allgemein Lösung.
ChristofR Auf diesen Beitrag antworten »

@iammrvip


ohh sorry ich glaube wir haben da aneinander vorbei "geredet"

die differential gleichung ganz oben ist mir klar.

ich möchte jetzt die etwas andere Aufgabe lösen:



und da steht -3 "links" und du hast gemeint nur homogene lösung.

aber dafür brauch ich ja das charakteristische polynom.
wie mach ich denn, wenn außer y ableitungen noch ne ganz normale zahl wie hier -3 steht.
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Hier kann man etwas tricksen. Du rechnest einfach + 3 und schon hast du die gleiche Gleichung wie oben und kannst den selben Ansatz wählen Freude .
ChristofR Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von iammrvip
Dann hast du ja nur eine homogene DGL. Du kannst also sofort die charakteristische Gleichung aufstellen lösen und hast die allgemeine Lösung Freude .



ok dann hast du dich aber mit der homogenen DGL geirrt...
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Eine lineare Differentialgleichung heißt homogen, wenn gilt in



gilt.
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