Matrix positiv definit

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piloan Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix positiv definit
Hi
eine Frage

Ich habe folgende Matrix




sind in R.
Warum ist

Die Matrix ist ja symmetrisch, nun koennt ich ja zeigen ,dass die Eigenwerte der Matrix A alle größer oder gleich 0 sind und daraus folgt ja die semi positive Definitheit.

Nun frag ich mich nur ...wie soll ich denn hier die Eigenwerte bestimmen?
Grüße
magneto42 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist richtig, daß eine Matrix positiv definit ist, wenn alle Eigenwerte Positiv sind. Aber, sind eine gerade Anzahl von Eigenwerten negativ gilt dasselbe. Ich versuche mal eine alternative Idee. Als erstes möchte ich die Symmetrie des Kosinus verwenden:



also



und



Damit wird die Matrix spiegelsymmetrisch zur Diagonalen.


Eine 2x2-Matrix ist trivial:





Bei einer 3x3-Matrix hatte ich Hilfe von Mathematica:





Auch für höhere Dimensionen sagt Mathematica, daß die Determinante verschwindet. Den Schluß von 3x3 nach nxn sehe ich aber leider nicht.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von magneto42
Es ist richtig, daß eine Matrix positiv definit ist, wenn alle Eigenwerte Positiv sind. Aber, sind eine gerade Anzahl von Eigenwerten negativ gilt dasselbe.


Kannst du dafür ein Beispiel geben?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Der Titel ist irreführend. Mit den von magneto vorgenommenen Umformungen sieht man, dass die Matrix symmetrisch ist.

Jedoch verwundert mich folgende Aussage:

Zitat:
Es ist richtig, daß eine Matrix positiv definit ist, wenn alle Eigenwerte Positiv sind. Aber, sind eine gerade Anzahl von Eigenwerten negativ gilt dasselbe.
magneto42 Auf diesen Beitrag antworten »

Ooops, stimmt, soorrry. Mein Irrtum Forum Kloppe .
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Hi
ich habe auch versucht langsam anzufangen und fuer n=2 und n=3 die Eigenwerte zu berechnen.
Aber wird sehr schnell sehr komplex. Augenzwinkern
Irgendwie klappt das noch nicht so ganz smile
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Kurz nochmal, was sollst /willst du eigentlich zeigen?
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Das von der angegebenen Matrix die Determinante größer gleich 0 ist.
Und wir haben den Tip bekommen, dass wir mit den Eigenwerten argumentieren sollen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, nur dann ist der Titel schlecht gewählt. symmetrische positiv definit Matrizen sind nämlich regulär und daher ist die Determinante von 0 verschieden.

Ist über die x_i irgendetwas bekannt?
magneto42 Auf diesen Beitrag antworten »

Bin im Moment etwas vorsichtg etwas zu Behaupten, aber versuche trotdem noch einmal einen Beitrag. Die Determinante einer nxn-Matrix ist gleich dem Produkt der Eigenwerte. Hier kann man sich aber nicht darauf verlassen, daß alle Eigenwerte positiv sind; das meinte ich eigentlich: positive Determinate heißt nicht alle Eigenwerte Positiv.
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Hi
Also es wird einfach gesagt ,dass fuer alle das oben genannte gilt.

Grüße
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Determinante einer nxn-Matrix ist gleich dem Produkt der Eigenwerte.


Nur wenn des char. Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt.

Da gilt, und A symmetrisch ist, zerfällt das char. Poly hier in Linearfaktoren.
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Ok
also ist es schon richtig hier die Eigenwerte zu betrachten.
Nur ist es im allgemeinen doch nicht moeglich diese zu bestimmen , oder ?
magneto42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo. Noch ein Vorschlag (nicht schön, aber es funktioniert):

Die nxn-Matrix A, mit n>3




Sei B eine Beliebige 3x3-Untermatrix von A (a,b,c ist die Spaltenwahl, d,e,f ist die Zeilenwahl) :



Dann läßt sich ausrechnen (die Kosinus-Terme schön mit Hilfe der Additionstheoreme auflösen), daß die Determinante verschwindet. Die Rechnung ist lang und unschön, aber am Ende löst sich alles in Wohlgefallen auf.

Beim herumspielen mit Mathematica und konkreten Werten hat sich gezeigt, daß immer ein Eigenwert von B null ist (die anderen beiden sind oft komplex). Ohne konkrete Werte muß Mathematica bei den Eigenwerten passen.

Wenn also jede 3x3 Unterdeterminante null ist muß doch auch die Determinante der ganzen nxn-Matrix null sein. Stimmt das so, oder bin ich mal wieder zu lasch mit meiner Argumentation? verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn also jede 3x3 Unterdeterminante null ist muß doch auch die Determinante der ganzen nxn-Matrix null sein. Stimmt das so, oder bin ich mal wieder zu lasch mit meiner Argumentation?


Warum sollte das denn gelten. verwirrt A hat keine Block - Trigonal -Gestalt. Analog könnte ich argumentieren, dass die Determinante das Produkt der Matrixeinträge ist. verwirrt
magneto42 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte da die Entwicklungsformel für Determinanten im Sinn:



Die Determinante von A läßt sich doch so weit herunterbrechen bis ich die Determinanten von 3x3-Matrizen vorliegen habe, oder nicht? Und wenn jede Determinante von einer 3x3-Matrix null ist, wird doch auch det(A) null? Habe ich wieder einen Denkfehler?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Mmh. Die Nullmatrix hat det 0... verwirrt
magneto42 Auf diesen Beitrag antworten »

Äh, ja, die Nullmatrix hat die Determinante null. Aber das ist doch nicht die einzige Möglichkeit, daß die Determinante null ist. Ich bin verwirrt, wo liege ich falsch mit meiner Überlegung? unglücklich
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

War eher kritisch gegen mich gemeint. Du betrachtest ja den Fall, dass die Determinante 0 ist. Somit habe ich meinen Gedankeneinwurf mit dem runterbrechen auf 1 Element für den Fall Nullmatrix widerlegt.

Dann wäre die Matrix für jede Auswahl x_1,...x_n singulär und det(A)=0.

Es irritiert mich gerade noch, dass die Frage war

Zitat:
<Das von der angegebenen Matrix die Determinante größer gleich 0 ist.


Deine Lösung war unabhängig von der Wahl für x?
magneto42 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Ich habe das mit beliebigen x-en durchgerechnet (mit ein wenig Hilfe von Mathematica). Es ist det(B)=0.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Können wir das für kleine n von Hand bestätigen/widerlegen?

Zitat:







Zitat:






Mmh... verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von magneto42
Wenn also jede 3x3 Unterdeterminante null ist muß doch auch die Determinante der ganzen nxn-Matrix null sein.

Gefährliche Argumentation - ich bin mir nicht sicher, ob das allgemein überhaupt stimmt.

Hier im besonderen Fall würde ich eher auf dem aufsetzen:

Zitat:
Original von magneto42
Sei B eine Beliebige 3x3-Untermatrix von A (a,b,c ist die Spaltenwahl, d,e,f ist die Zeilenwahl) :



Dann läßt sich ausrechnen (die Kosinus-Terme schön mit Hilfe der Additionstheoreme auflösen), daß die Determinante verschwindet. Die Rechnung ist lang und unschön, aber am Ende löst sich alles in Wohlgefallen auf.

Vollkommen richtig. Und die analoge Aussage für beliebige Dimensionen lässt sich sehr einfach durch Vollständige Induktion nachweisen, unter Nutzung des Laplaceschen Entwicklungssatzes im Induktionsschritt. Den Induktionsanfang hast du ja schon mühsam erkämpft. Freude
magneto42 Auf diesen Beitrag antworten »

Puh, da bin ich aber erleichtert, daß mein Ansatz doch noch zu einem Ergebnis führt, danke Wink . Den Induktionsschritt überlasse ich aber dann doch lieber piloan. Ist ja schließlich seine Aufgabenstellung Big Laugh .
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