Induzierte Matrixnorm

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Induzierte Matrixnorm
Gegeben seinen 2 Vektornormen auf . Die dadurch induzierte Matrixnorm ist wie folgt definiert.




Wieso kann man nun das Supremum aus Kompaktheitsgründen durch ein Maximum ersetzen?

Betrachet man als Abbildung:


Es ist nun die Einheitssphäre des . Wie zeigt man deren Kompaktheit?


Als nächstes müßte man dann doch noch die Stetigkeit der Abbildung zeigen, um dann den Satz von Weierstrass anwenden zu können. verwirrt
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo tigerbine,

die Einheitssphäre ist beschränkt und abgeschlossen - also kompakt.


Gruß, therisen
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

S^n ist beschränkt und abgeschlossen, also kompakt.

Und die Abbildung ist stetig, weil zum einen die Matrixmultiplikation stetig ist, und auch zum anderen auf endlichdimensionalen Räumen alle Normen dieselbe Topologie erzeugen. Also genügt es, die euklidische Norm zu betrachten, und für diese Stetigkeit zu zeigen, was auch einfach ist, da sie als Hintereinanderausführung stetiger Abbildungen definiert ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigt, dass ich mich erst jetzt für die Antworten bedanke. Augenzwinkern
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