homogenes Gl.system

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meli05 Auf diesen Beitrag antworten »
homogenes Gl.system
huhu,

ich habe dieses homogene gleichungssystem gegeben:







a)welche Beziehung muss für a,b,c gelten, damit ich nicht-triviale lösungen erhalte?

b)für den Fall, dass diese Beziehung gilt, geben sie die allg. Lösung des Systems an

also ich komm damit nicht ganz zurecht, wenn ich a,b,c=0 hätte bekomme ich ja die trivialelösung

also für die nicht triviale lösung muss sich eine nullzeile ergeben oder?

aber welche beziehung gelten dann für a,b,c verwirrt

mfg
meli
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

formuliere das Problem doch in Matrizen und interpretiere es abbildungstheoretisch.


Gruß, therisen
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: homogenes Gl.system
Zitat:
Original von meli05
wenn ich a,b,c=0 hätte bekomme ich ja die triviale lösung

also für die nicht triviale lösung muss sich eine nullzeile ergeben oder?


Das widerspricht sich. Merkst du es?
meli05 Auf diesen Beitrag antworten »

so sieht es aus oder:



ich werd da nicht ganz schlau draus, vor allem, da ich nicht weiß was allg. gelten muss, damit es nichtriviale lösungen gibt? müssen die vektoren jetzt l.a. oder l.u. oder orthogonal sein oder hat das damit nichts zu tun?

was ist wenn ich a,b,c einfach drinnelasse, dann gibt es doch nichttriviale lösungen smile

mfg meli
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Du betrachtest die Abbildung und sollst bestimmen (d.h. eine Basis angeben).

Es gibt nichttriviale Lösungen genau dann, wenn . Das ist äquivalent zu ist nicht surjektiv (nicht bijektiv).

Anders formuliert: Falls das LGS eindeutig lösbar ist, dann ist A invertierbar, also .


Gruß, therisen
meli05 Auf diesen Beitrag antworten »

ahh ok

d.h. meine Vektoren dürfen nicht l.u. sein?

also muss ich jetzt a,b,c so wählen, dass det(A)=0 ?

oder hab ichs jetzt genau falsch rum verstanden? smile

grüßle meli
 
 
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

ja du musst a,b,c so wählen das die Determinante 0 wird.

Und natürlich sind dann die Vektoren linear abhängig, das ist ja genau die Definition von linear abhängig, das es eine nicht-triviale Kombination der 0 gibt.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, stimmt schon. Wenn, dann sind die Vektoren (egal ob Zeile oder Spalte) linear abhängig.
meli05 Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok danke smile

gibts da nen weg wie ich a,b,c jetzt bestimmen kann, dass eben die vektoren l.a. sind oder einfach jetzt rumprobieren?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

In a) ist nach einer Beziehung (Identität, Gleichung) gefragt. Berechne daher einfach die Determinante und setze diese Gleich Null. Das ist die gesuchte Beziehung smile
meli05 Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok und dann gings ja weiter mit:

geben sie für den fall das diese beziehung gilt die allg.lösung des Systems an?

sprich das LGS mit a,b,c als variable lösen?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, und dabei die unter a) genannte Beziehung bei deinen Rechnungen berücksichtigen.
meli05 Auf diesen Beitrag antworten »

was mich jetzt noch interessieren würde, wie das ganze für den inhomogenen fall aussehen würde?

sprich wenn ich jetzt z.b. diesen fall hätte



wie muss ich da dann d,e,f wählen, damit ich eine lösung erhalte`? verwirrt
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn A deine Matrix ist dann ist genau dann Lösung des Systems wenn es eine Linearkombination von aus , und gibt.

Bzw. formaler:
Wenn der Vektor im Bild deiner linearen Abbildung liegt. Ist die Determinante nicht 0, so ist er dies auf jeden Fall da dann die Abbildung bijektiv ist
meli05 Auf diesen Beitrag antworten »

kann das sein, dass da alles null wird? bzw. muss es nicht auch so sein?!

ähm also wie muss ich dann d,e,f wählen? es gilt ja auch noch ac+b=0
diese linearkombination hab ich nicht verstanden was ist denn Ae1 etc.? verwirrt


also kann es sein dass da alles null wird bzw. muss es niocht auch so sein?







->\*-a




->
=>

=> und

?? verwirrt
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Was du mit "alles null werden muss" meinst ist mir unklar.

e1,e2,e3 ist die kanonische Standardbasis:
.

Kurzgesagt: Da die Abbildung linear ist gibt es ein x sodass Ax dein Vektor ist wenn dein Vektor eine Linearkombination der Bilder der Basisvektoren ist.
meli05 Auf diesen Beitrag antworten »

d.h.

ich muss d,e,f so wählen, dass es einer dieser e's entspricht?




das war mein versuch dieses LGS zu lösensmile (die aufgabe davor)
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das heißt du musst d,e,f so wählen das es einer Linearkombination der Bilder dieser e's entspricht smile

Die Lösung zum homogenen Gleichungssystem sieht mir etwas verwirrend aus, willst du nicht lieber den Gauss-Algorithmus mit einer Matrizenschreibweise dazu benutzen?
meli05 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Nein das heißt du musst d,e,f so wählen das es einer Linearkombination der Bilder dieser e's entspricht smile



gott das hört sich so komplziert an wie mach ich das ? verwirrt


hast du für das LGS ne andre lösung raus? traurig
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

zuerst einmal zum homogenen Gleichungssystem:
Die Determinante der Matrix ist ja ac+b. Diese muss =0 sein. Außerdem muss es in diesem Fall eine nicht-triviale Lösung geben also kann x_1,2,3 = 0 nicht die einzige Lösung sein somit ist es wohl falsch.

Zu deinem inhomogenen Problem:
Nunja das hört sich vllt. so kompliziert an ist es aber nicht. Schaut mal einmal z.B.
also das Bild von e1 an so ist dies gleich .
Du siehst also dass das Bild der e's genau die Spaltenvektoren sind.
Also muss die Gleichung:
lösbar sein.
meli05 Auf diesen Beitrag antworten »

ah jetzt hab ich verstanden was mit Abbildung gemeint war smile
danke!!!

so jetzt mal in Matrixform:



3. Zeile - 2. Zeile



3. Zeile mal -a + 1. Zeile



b+ac=0

also könnt ich doch schreiben:



oder nicht? verwirrt
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus Freude
Wie sieht jetzt also die homogene Lösung x1,x2,x3 aus?
meli05 Auf diesen Beitrag antworten »

äh nee moment:

eine variable kann ich ja jetzt wählen:

x2=a

=>x1=-a

x3=a/c

??
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Puh teile lieber nicht durch c es ist nicht gewärleistet das es ungleich 0 ist. Besser wäre also:
x2=c*x3
x1=-c*x3
x3=a
mit a frei wählbar
meli05 Auf diesen Beitrag antworten »

okay ich danke dir Mit Zunge
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