Grenzwertberechnung !?!?

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BenM Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertberechnung !?!?
Hi @ all,

ich habe am Freitag eine Aufgabe gestellt bekommen, an der ich kläglich gescheitert bin! traurig
Untersuche welchen Grenzwert die Folge an:=n-te Wurzel aus (a^n + b^n) für a,b € R+ hat.
Irgendwie verstehe ich das nicht! Könnt ihr mir helfen? Das wäre super!!! Hilfe

Gruss BenM
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung !?!?
also
Ich meine das geht so:

Du setzt eine beliebige Variable m :=max{a,b}
Es gilt: m= n^sqrt(m)^n < n^sqrt (a^n+b^n) < n^sqrt ( 2(m)^n)
Jeweils kleinergleich

lim n^sqrt (m^n) = m
n->oo
lim n^sqrt 2*m^n =m (nach den Limitenregeln)
n->oo
Also gilt nach dem Sandwichlemma

das
lim n^sqrt (a^n+b^n) = max{a,b}

Ich hoffe ich habe keinen Fehler gemacht
und konnte helfen Wink
Andy Teufel
BenM Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung !?!?
Was meinst du denn mit sqrt?

Gruss BenM
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

sqrt ist die abkürzung für wurzel
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »

jap
sqrt = squareroot = wurzel im mathematischen Sinne Wink
Simson Auf diesen Beitrag antworten »

naja, wenn man es genau nimmt quadrat-wurzel Augenzwinkern
 
 
BenM Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, ich kapiere die Aufgabe nicht! :P
Ich möchte sie aber verstehen, da es ja auch für die Zukunft wichtig ist! Mein Lehrer meinte ich würde schon etwas rausbekommen, was auffällig sei! Kann mir jemand die Aufgabe auf nem Blatt Papier vorrechen und dann einscannen undper E-mail an mich schicken?
An: [email protected] !!!
Ihr würdet mir wirklich weiter helfen.
Danke Danke Danke!!! Gott
Wenn es bei mir so hakt, dann hilft es mir meistens, wenn ich die ganze Aufgabe vor mir sehe! Hilfe

Gruss BenM
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

@BenM

Untersuche welchen Grenzwert die Folge an:=n-te Wurzel aus (a^n + b^n) für a,b ¬ R+ hat

Wundert mich nicht, dass du das nicht ganz verstanden hast,
OBWOHL es 'Deakandy' schön und formal perfekt gemacht hat,
aber gerade das ist es vielleicht was dir Probleme macht.

Betrachte einfach mal nur die n-te Wurzel aus (a^n)

z = n^sqrt(a^n) =(a^n)^1/n = a^(n*1/n) =a^1 = a !!

das n ist dabei rausgefallen, was nichts anderes heißt als dass
der Grenzwert für diesen Fall a wäre weil die Folge konstant =a ist.

Genauso verhält es sich auch für den Fall mit solo (b^n) unter
der n-ten Wurzel. Da wäre das Resultat dann b.


Nun betrachte nochmal was passiert wenn 2*(a^n) unter der Wurzel steht

z = n^sqrt(a^n + a^n) = n^sqrt(2*(a^n)) = (2*(a^n))^1/n =
2^1*1/n * a^(n*1/n) = 2^1/n * a^1 = [n-te Wurzel(2)] * a

mit n gegen unendlich geht aber die n-te Wurzel(2) gegen 1,
(die n-te Wurzel einer jeden fixen Konstante geht gegen 1)

was aber nichts anderes heißt als dass der Grenzwert für n gegen
unendlich von [n-te Wurzel(2)] * a = 1 * a = a !! ist,
also das gleiche Ergebnis wie zuvor, OHNE die 2 unter der Wurzel !!


Soo und nun kommt ein kleiner Trick:
ist b <= a dann ist auch b^n <= a^n

und damit
(a^n + b^n) <= (a^n + a^n) = 2 * a^n und damit auch

[[sqrt(a^n + b^n) <= sqrt(a^n + a^n) = sqrt(2 * a^n) = sqrt(2) * sqrt(a^n)]]

und genauso für die n-te Wurzel
n^sqrt(a^n + b^n) <= n^sqrt(a^n + a^n) =n^sqrt(2 * a^n) =
n^sqrt(2) * n^sqrt(a^n) = n^sqrt(2) * a

und was der Grenzwert von (n^sqrt(2) * a) ist, wurde oben ja schon
gezeigt, nämlich 1 * a = a !!

Lies dir das ganze noch 2 - 3 mal langsam durch, schreibs dir nochmal in
übersichtlicher Form ab ...
dann wirst du den Gedankengang sicherlich auch nachvollziehen können
...
Perni Auf diesen Beitrag antworten »

Hab das gleiche Problem wie BenM.

Hab die Erklärungen verstanden und kann sie (eigentlich) nachvollziehen. Doch was mach ich, wenn ich für a und b feste Werte hab?

z.B. n^sqrt(3^n+4^n)

Da hab ich ja mit dem Prinzip von Poff:

n^sqrt(2) *3 <= n^sqrt(3^n+4^n) <= n^sqrt(2) *4 was ja zu
3 <= n^sqrt(3^n+4^n) <= 4

führt Hammer Hammer

So jetzt bin ich so schlau wie zuvor...

Welchen wert hat der Grenzwert?!?!?!?

Vielen Dank!!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, das Poff nicht so ganz genau beschrieben. Du hast nämlich die falsche Abschätzung genommen. Richtig wäre:



Und dann geht's. Augenzwinkern
Perni Auf diesen Beitrag antworten »

Und das heißt wörtlich:

der Grenzwert ist 4, da n^sqrt4^n bei lim gegen unendlich schon gegen 4 geht, dann geht n^sqrt(3^n+4^n) erst recht gegen 4, da n^sqrt(3^n+4^n) größer ist als n^sqrt4^n. verwirrt
Naja, so oder so ähnlich

Hab ich das so richtig verstanden??
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, zur Hälfte.

Nach unten ist durch 4 begrenzt und nach oben durch . Letzteres ist identisch mit und das konvergiert gegen 4. Also bleibt der Folge nichts anderes übrig, als auch gegen 4 zu konvergieren. Augenzwinkern
Perni Auf diesen Beitrag antworten »

So gesehen ganz einfach....

Vielen Dank für die gute Unterstützung!!!!
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