Hauptachsentransformation

Neue Frage »

16.07.2007, 16:14	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptachsentransformation hallo, ich soll folgende quadratische Form auf Hauptachsentransformieren: $\begin{eqnarray} 4xy+4xz+4yz=0 \end{eqnarray}$ nun ist mir nicht ganz klar, wie ich das auf matrix form bringen kann? Und was heißt quadratische Form? Nochmal das Ganze quadrieren? also mich verwirrt das ich kein quadrat drinne habe, ich würde die matrix nun so schreiben: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\2 & 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mhhh mfg meli
16.07.2007, 16:17	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine quadratische Form ist eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray} x^tAx + 2a^tx+c=0 \end{eqnarray}$ . Hier einfach $\begin{eqnarray} x^tAx=0 \end{eqnarray}$ . Dabei muss nicht unbedingt ein Quadrat dabei sein(etwas in der Diagonale der Matrix A stehen). Deine Matrix ist falsch, multipliziere das einmal aus dann siehst du was nicht passt
16.07.2007, 16:19	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
ok mach ich mal.. oder kann es sein, dass pberall 2 stehn müsste?
16.07.2007, 16:22	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
ja die 4er werden durch 2er ersetzt. Aber um zu verstehen warum das so ist kannst du es ja trotzdem noch rechnen
16.07.2007, 16:26	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
hehe willst du mich quälen? :-)) nee habs sogar grade errechnet und verstanden es summiert sich ja dann auf 8 jeweils mal zum testen ob ichs jetzt kann: $\begin{eqnarray} 2x^2+y^2+2z^2-4xz+4x-4z=0 \end{eqnarray}$ müsste doch so aussehen: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder?
16.07.2007, 16:33	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht doch wöllte ich dich quälen hätte ich erst in 10min geschrieben nachdem ich sicher bin das du es schon gerechnet hast Also deine Matrix stimmt jetzt aber die Gleichung nicht ganz, du hast das transponieren vergessen und dem lineare Anteil fehlt ein x und die 2! Außerdem ist A deine Matrix, mit der darfst du die Gleichung nicht gleichsetzen Außerdem ist dein Eintrag dort wo der für xy steht nicht der für xz. $\begin{eqnarray} 0=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}^t \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}^t\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
Anzeige

16.07.2007, 16:57	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
ups stimmt das hatte ich glatt verwechselt muss ich da immer einen faktor vorziehen? beim linearen anteil? gut jetzt fang ich mal bei der oberen transformation an... ich muss doch jetzt die eigenwerte und vektoren bestimmen oder? und dann $\begin{eqnarray} A'=C^{-1}\cdot A \cdot C \end{eqnarray}$
16.07.2007, 17:04	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh das mit der 2 vorziehen ist natürlich definitionssache, aber bei mir in der Vorlesung steht es mit einer 2 davor ebenso bei wikipedia. Letztendlich ist aber die Definition deiner Vorlesung vorrangig Ja du musst nur die Matrix diagonalisieren. Und das geht natürlich mit Eigenwerten/Eigenvektoren. Gilt nicht: $\begin{eqnarray} D = C^{-1}AC \end{eqnarray}$ ? Mit C der Matrix bestehend aus linear unabhängigen Eigenvektoren. Jedenfalls könnte ich mich dran erinnern das die Invertierte Matrix vorne steht?
16.07.2007, 17:13	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
jup nat+ürlich $\begin{eqnarray} C^{-1]} \end{eqnarray}$ muss vor! also meine eigenwerte sind: $\begin{eqnarray} \lambda_{1,2}=-2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_{2}=4 \end{eqnarray}$ und eigenvektoren hab ich damit raus: für $\begin{eqnarray} \lambda_{1,2}=-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{x_{1,2}} =\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} \lambda_3=4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{x_3} =\frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ stimmt das??!
16.07.2007, 17:20	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Willst du mich jetzt mit ner Rechnung quälen? Naja egal Computer Algebra System anwerf Gibt mir die gleichen Werte die du auch hast Wolltest du allerdings unten die Eigenräume angeben so fehlen noch die Unbekannten in der Linearkombination. Falls du das nicht wolltest hast du nur 2 Eigenvektoren angegeben
16.07.2007, 17:23	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
hehe soso und ich muss alles von hand rechnen *grr :-P wieso nur zwei? ich bekomme doch so ne ebenengleichung weil zwei eigenwerte gleich sind? eigenräume?! nein danke :-D
16.07.2007, 17:30	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja eine Ebenengleichung hat aber 2 Unbekannte nicht? $\begin{eqnarray} E(x_{1,2}) =\frac{1}{\sqrt{2}} \alpha\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \beta\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\text{ mit } \alpha ,\beta \in \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(x_3) =\alpha\frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \text{ mit } \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Und um dir die Angst vor Eigenräumen zu nehmen: Das was du mir angegeben hast(abzüglich der fehlenden Unbekannten) sind bereits die Eigenräume
16.07.2007, 17:56	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok g damit erhalte ich jetzt diese transformationsmatrix : $\begin{eqnarray} C=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2} } & 0 & \frac{1}{\sqrt{3} } \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2} } & \frac{1}{\sqrt{3} } \\ -\frac{1}{\sqrt{2} } & -\frac{1}{\sqrt{2} } & \frac{1}{\sqrt{3} } \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ von der soll ich jetzt die inverse bilden ? oder kann man die noch vereinfachen? es is doof, dass die drei eigenvektoren nicht die selbe wurzel haben...
16.07.2007, 18:06	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit ich weiß brauchst du die Normierung nicht bei einfacher Diagonalisierung, du kannst die Wurzeln also weglassen. Wenn du die Inverse nicht berechnen willst könntest du auch die Eigenvektoren orthonormieren dann gilt C^-1=C^t. Da A eine symmtrische Matrix ist sind die Eigenvektoren aus verschiedenen Eigenräumen schon orthogonal(siehst du ja wenn du das Skalarprodukt bildest) so dass du nur noch $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ orthonormieren musst. Das geht z.B. mit dem Schmidschen Orthonormalisierungsverfahren. Was jetzt schneller geht musst du selbst entscheiden, deine Trafomatrix ist auf jeden Fall richtig
16.07.2007, 18:14	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
kann ich da nicht einfach $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2} } \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wählen als dritten orthogonalen?
16.07.2007, 18:33	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh nein das ist weder ein Eigenvektor noch ist er orthogonal und auch nicht normiert
16.07.2007, 19:13	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
oh man ich sollte jetzt besser aufhören für heute bin schion seit 9:00 dran langsam kann ich echt nicht mehr denken schmittsches dingsda kann ich so werd ichs machen die inverse mit den wurzeln sagt mjir noch weniger zu
16.07.2007, 19:22	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Puh bist du engagiert. 10h lernen würde ich niemals schaffen . Ich lern ja hier unterbewust Mach lieber mal ne Pause

Neue Frage »

Antworten »

Hauptachsentransformation

Verwandte Themen