Fehlerschranke beim Euler Verfahren zum approximieren von ODEs

16.07.2007, 16:49	TinkyWinky	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehlerschranke beim Euler Verfahren zum approximieren von ODEs Hallo, ich schreibe gerade an einer Seminararbeit über Differenzialgleichungen und untersuche gerade ob ich vielleicht etwas über Numerische Lösungsverfahren mache. Das Thema interessiert mich schon sehr. Leider hab ich eine Frage, die ich mir einfach nicht beantworten kann. Es geht um die Fehlerschranke für das Euler verfahren. Ich werde versuchen die Sache so präzise wie nötig zu erklären was etwas Platz und Zeit braucht und hoffe, dass jemand die Zeit aufwenden wird um mir weiterzuhelfen. Betrachtet wir die DG: $\begin{eqnarray} \frac {dx}{dt} = f(t,x) \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} u_1(t) ;u_2(t) \end{eqnarray}$ seien zwei Euler Approximationen der Lösung u(t); Aus dem Buch "Differential Equations Part 1" von J.H. Hubbard und B.H. West habe ich die "Fundamental Inequality": $\begin{eqnarray} \mid u_1(t)-u_2(t) \mid \leq \deltae^{K\mid t-t_0 \mid} + (\frac{\varepsilon}{K})(e^{K \mid t-t_0 \mid} -1) \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} \delta = \mid u_1(t_0)-u_2(t_0) \mid\| \end{eqnarray}$ und K die Lipschitzkonstante von f(t,x) auf einer Region R ist. Ausserdem ist: $\begin{eqnarray} \mid \frac {du_1(t)}{dt} - f(t,u_1(t)) \mid \leq \varepsilon_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mid \frac {du_2(t)}{dt} - f(t,u_2(t)) \mid \leq \varepsilon_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \varepsilon = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 \end{eqnarray}$ Nun denk ich mir in meiner mathematischen Naivität wenn ich $\begin{eqnarray} u_2(t) = u(t) \end{eqnarray}$ setze und $\begin{eqnarray} \delta = 0 \end{eqnarray}$ dann müsste wenn ich ein geeignetes $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ einsetze doch eine Schranke für den Fehler von u1(t) rauskommen? Dieses $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ wäre meiner Meinung nach die Schranke für den Steigungsfehler (nach oben genanntem Buch): $\begin{eqnarray} sup \mid f \mid \leq M; sup \mid \frac {\partial f}{\partial t} \mid \leq P; sup \mid \frac {\partial f}{\partial x} \mid \leq K; \varepsilon \leq h(P + KM) \end{eqnarray}$ (h ist die Schrittweite des Euler Verfahrens) In anderen Büchern habe ich aber die Ungleichung: $\begin{eqnarray} E_k \leq \frac {Dh}{2L}(e^{khL}); sup \mid \frac {\partial f}{\partial x} \mid \leq L; sup \mid \frac {\partial f}{\partial t} + f \frac {\partial f} {\partial x} \mid \leq D \end{eqnarray*}$ gefunden. Ich denke die Beweise beider "Varianten" verstanden zu haben, dennoch scheint da Irgendwo ein denkfehler zu liegen. Beide "Varianten" produzieren stark voneinander abweichende ergebnisse. Also, wo liegt der Denkfehler. P.S. Falls ich zu unklar war liefere ich auf nachfrage sofort mehr info nach. Danke schonmal im Vorraus...

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