orthogonaler projektor und matrixdarstellung |
16.07.2007, 19:39 | Elenya | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
orthogonaler projektor und matrixdarstellung http://img406.imageshack.us/my.php?image=aufgabejt0.png |
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16.07.2007, 20:32 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: orthogonaler projektor und matrixdarstellung Bitte stelle die Aufgaben nächstes Mal hier it dem Formeleditor ein, Danke. Wo klemmt es bei der Aufgabe? |
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17.07.2007, 12:25 | Elenya | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich weiß nicht, wie ich auf das P komme und von dem P dann zur Lösung der Aufgabenteile. Vor allem der letzte Aufgabenteil ist mir schleierhaft... |
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17.07.2007, 18:38 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Könntest du mir sagen, wie ihr allgemein definiert habt? |
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17.07.2007, 19:13 | Elenya | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist ne alte Klausuraufgabe, wir haben in unserem Semester sowas direkt nicht definiert. |
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17.07.2007, 19:57 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, ohne Definition des Begriffes kann ich dir leider im Moment nicht helfen. Gruß |
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18.07.2007, 00:45 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Elenya: Bei der Aufgabe geht es um die Vorstellung - weniger um das Rechnen. Vielleicht überlegst du dir erstmal, wieviele Dimensionen der Lösungsraum des LGS hat. |
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18.07.2007, 01:08 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
(Übertrag) Das homogene LGS In Zeilenstufenform: |
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18.07.2007, 01:23 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie gesagt, braucht man hier nicht zu rechnen. Man sieht auch so, dass der Rang drei ist. Aber trotzdem schön, dass du das LGS hier eingetragen hast, tigi. |
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18.07.2007, 01:29 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eigentlich sieht man das, ja Kannst du mir einen Link zur Definition geben? Ich hab zwar eine Vermutung, mit der die a auch klar ist, aber bei dem Rest bin ich eben hier nicht sattelfest http://www.world-of-smilies.com/wos_tiere/horse047.gif |
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18.07.2007, 09:02 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich definiere dir jetzt den Orthogonalprojektor auf einen Unterraum. Das werde ich über das Orthogonalkomplement des Unterraumes machen. Normalerweise macht man das aber andersherum, denn man weiß vorher nicht, dass man ein Orthogonalkomplement hat, definiert den Orthogonalprojektor und damit dann das Ortho-Komplement. Aber im n-dimensionalen wissen wir ja eigentlich, dass es das Ortho-Komplement gibt, nicht wahr? Also. Es sei N ein Unterraum eines n-dimensionalen Vektorraumes V mit Skalarprodukt (.,.). Dann gibt es eine Zerlegung Sei v aus V. Dann gibt es ja eindeutig bestimmte und , so dass v = u + w. Definiere nun Pv := u. Man zeigt nun leicht, dass P eine lineare Abbildung ist mit Bild(P) = N, ker(P) = und Dieses P ist der Orthogonalprojektor (oder auch die Orthogonalprojektion) auf N. |
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18.07.2007, 09:51 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
FÜr die Aufgabe wichtiger als die genaue Definition werden wohl ein paar Eigenschaften der Projektionsoperatoren sein, wenn ich mich nicht total vertue ist zum Beispiel die Darstellungsmatrix P orthogonal (und auch jede andere), was weiterhin z.B. zur Folge hat, daß alle Eigenwerte den Betrag 1 haben usw. Es ist echt keine Aufgabe zum ausgiebig rechnen, sondern nur zum kurzen überlegen, wenn man Eigenschaften der Projektoren behandelt hat. |
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18.07.2007, 09:59 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du vertust dich total. P ist selbstadjungiert aber nicht orthogonal. Im übrigen hat P immer den Eigenwert 0 - es sei denn N = V, also P = Einheitsmatrix. Es ist für die Aufgabe - denke ich - noch zu erwähnen, dass E - P die Orthogonalprojektion auf ist. |
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18.07.2007, 10:06 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Au weia |
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18.07.2007, 10:20 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kurze Begründung: Wie ich oben schon schrieb, ist ker(P) = Aus "Null is kein Eigenwert von P" würde also folgen Das ist aber gleichbedeutend mit N = V. |
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18.07.2007, 13:16 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@WebFritzi: Danke |
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