orthogonaler projektor und matrixdarstellung

16.07.2007, 19:39

Elenya

orthogonaler projektor und matrixdarstellung

ich habe ein problem mit der folgenden aufgabe und sitze daran richtig fest...hat irgendjemand eine Lösung/einen Ansatz für mich?

http://img406.imageshack.us/my.php?image=aufgabejt0.png

16.07.2007, 20:32

tigerbine

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RE: orthogonaler projektor und matrixdarstellung
Bitte stelle die Aufgaben nächstes Mal hier it dem Formeleditor ein, Danke. Wink

Wo klemmt es bei der Aufgabe?

17.07.2007, 12:25

Elenya

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ich weiß nicht, wie ich auf das P komme und von dem P dann zur Lösung der Aufgabenteile. Vor allem der letzte Aufgabenteil ist mir schleierhaft...

17.07.2007, 18:38

tigerbine

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Könntest du mir sagen, wie ihr $\begin{eqnarray*} \mathcal P \end{eqnarray*}$ allgemein definiert habt?

17.07.2007, 19:13

Elenya

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Das ist ne alte Klausuraufgabe, wir haben in unserem Semester sowas direkt nicht definiert.

17.07.2007, 19:57

tigerbine

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Sorry, ohne Definition des Begriffes kann ich dir leider im Moment nicht helfen.

Gruß

18.07.2007, 00:45

WebFritzi

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@Elenya: Bei der Aufgabe geht es um die Vorstellung - weniger um das Rechnen. Vielleicht überlegst du dir erstmal, wieviele Dimensionen der Lösungsraum des LGS hat.

18.07.2007, 01:08

tigerbine

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(Übertrag) Das homogene LGS

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&1&1&-1&-1 \\ 1&0&0&0&-1 \\ 0&1&1&0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In Zeilenstufenform:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&1&1&-1&-1 \\ 0&-1&-1&1&0 \\ 0&0&0&1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

18.07.2007, 01:23

WebFritzi

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Wie gesagt, braucht man hier nicht zu rechnen. Man sieht auch so, dass der Rang drei ist. Aber trotzdem schön, dass du das LGS hier eingetragen hast, tigi. Augenzwinkern

18.07.2007, 01:29

tigerbine

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Eigentlich sieht man das, ja Augenzwinkern

Kannst du mir einen Link zur Definition geben? Ich hab zwar eine Vermutung, mit der die a auch klar ist, aber bei dem Rest bin ich eben hier nicht sattelfest

http://www.world-of-smilies.com/wos_tiere/horse047.gif

18.07.2007, 09:02

WebFritzi

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Ich definiere dir jetzt den Orthogonalprojektor auf einen Unterraum. Das werde ich über das Orthogonalkomplement des Unterraumes machen. Normalerweise macht man das aber andersherum, denn man weiß vorher nicht, dass man ein Orthogonalkomplement hat, definiert den Orthogonalprojektor und damit dann das Ortho-Komplement. Aber im n-dimensionalen wissen wir ja eigentlich, dass es das Ortho-Komplement gibt, nicht wahr? Augenzwinkern

Also. Es sei N ein Unterraum eines n-dimensionalen Vektorraumes V mit Skalarprodukt (.,.). Dann gibt es eine Zerlegung $\begin{eqnarray*} V = N \oplus N^\perp. \end{eqnarray*}$ Sei v aus V. Dann gibt es ja eindeutig bestimmte $\begin{eqnarray*} u\in N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w\in N^\perp \end{eqnarray*}$ , so dass v = u + w. Definiere nun Pv := u. Man zeigt nun leicht, dass P eine lineare Abbildung ist mit Bild(P) = N, ker(P) = $\begin{eqnarray*} N^\perp \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P^2 = P. \end{eqnarray*}$ Dieses P ist der Orthogonalprojektor (oder auch die Orthogonalprojektion) auf N.

18.07.2007, 09:51

Tomtomtomtom

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FÜr die Aufgabe wichtiger als die genaue Definition werden wohl ein paar Eigenschaften der Projektionsoperatoren sein, wenn ich mich nicht total vertue ist zum Beispiel die Darstellungsmatrix P orthogonal (und auch jede andere), was weiterhin z.B. zur Folge hat, daß alle Eigenwerte den Betrag 1 haben usw.

Es ist echt keine Aufgabe zum ausgiebig rechnen, sondern nur zum kurzen überlegen, wenn man Eigenschaften der Projektoren behandelt hat.

18.07.2007, 09:59

WebFritzi

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Zitat:

Original von Tomtomtomtom
wenn ich mich nicht total vertue ist zum Beispiel die Darstellungsmatrix P orthogonal (und auch jede andere), was weiterhin z.B. zur Folge hat, daß alle Eigenwerte den Betrag 1 haben usw.

Du vertust dich total. Augenzwinkern

P ist selbstadjungiert aber nicht orthogonal. Im übrigen hat P immer den Eigenwert 0 - es sei denn N = V, also P = Einheitsmatrix.

Es ist für die Aufgabe - denke ich - noch zu erwähnen, dass E - P die Orthogonalprojektion auf $\begin{eqnarray*} N^\perp \end{eqnarray*}$ ist.

18.07.2007, 10:06

Tomtomtomtom

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Au weia

18.07.2007, 10:20

WebFritzi

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Kurze Begründung: Wie ich oben schon schrieb, ist ker(P) = $\begin{eqnarray*} N^\perp. \end{eqnarray*}$ Aus "Null is kein Eigenwert von P" würde also folgen $\begin{eqnarray*} N^\perp = \{0\}. \end{eqnarray*}$ Das ist aber gleichbedeutend mit N = V.

18.07.2007, 13:16

tigerbine

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@WebFritzi:

Danke smile

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