Varianz, Standartabweichung und Mittelwert

08.02.2005, 21:14

Ismael87

Varianz, Standartabweichung und Mittelwert

Hi!
ich weiß wohl, wie man den mittelwert berechnet, aber da gibt es ja ne formel für!
Möchte wissen, was es alles für zeichen sind in der formel und wie man darauf kommt!Vielleicht kann auch jemand den mittelwert erläutern? hab schon in etlichnen Büchern nachgeschaut, werde daraus aber irgendwie net so richtig schlau raus!
Das gleiche gilt für die Standartabweichung und Varianz!
Bitte erläutern, was was ist!
das wäre echt nett!
Bis mir nämlich alles selbst beibringen und das ist net sehr einfach!
ciao Isi

08.02.2005, 21:59

Seimon

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Varianz, Standartabweichung und Mittelwert
meinst du die Symbole in dieser Formel?

$\begin{eqnarray*} x_{quer}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n~x_i \end{eqnarray*}$

09.02.2005, 00:56

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm, bezüglich varianz und standardabweichung fällt mir auch spontan das thema erwartungswert ein. meinst du das mit "mittelwert"?

ansonsten: V(X)=E((X-E(X))²)
Standardabweichung=WURZEL(V(X))

so berechnet man das.....

09.02.2005, 12:12

Auf diesen Beitrag antworten »

LOEDs Antwort zeigt wieder mal deutlich, wie sorglos oft mit den Begriffen in der Statistik umgegangen wird, worunter dann oft das Verständnis der Schüler und Studenten leidet (Nichts für ungut, LOED Augenzwinkern

). Das liegt auch daran, dass die Vermittlung des grundsätzlichen Modells der mathematischen Statistik im Studium meist viel zu kurz kommt.

In der Statistik muss man (zumindest als Mathematiker) schon sorgfältig zwischen drei Sachen unterscheiden:

1) die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die durch ihre Verteilung den hinter einer Stichprobe wirkenden "Mechanismus" charakterisiert.
2) die mathematische Stichprobe $\begin{eqnarray*} \underline{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_n) \end{eqnarray*}$ , das sind n unabhängige Zufallsgrößen, die alle wie X verteilt sind.
3) die konkrete Stichprobe $\begin{eqnarray*} \underline{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n) \end{eqnarray*}$ , wird als Realisierung von $\begin{eqnarray*} \underline{X} \end{eqnarray*}$ aufgefasst.

Was der Praktiker ermittelt, ist natürlich $\begin{eqnarray*} \underline{x} \end{eqnarray*}$ , außerdem hat man oft zumindest Anhaltspunkte, in welche Verteilungsklasse das zugrunde liegende $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ fällt (Stichwort: parametrische Statistik).

In folgender Tabelle werden gängige Begriffe diesen drei Gruppen zugeordnet:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|l|l|l|}\hline \mbox{Zufallsgröße}\quad X & \mbox{mathematische Stichprobe}\quad \underline{X} & \mbox{konkrete Stichprobe}\quad \underline{x}\\ \hline \mbox{Erwartungswert}\quad \mathbb{E}X & \mbox{Mittelwert-Schätzer}\quad \bar{X}=\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nX_k & \mbox{Mittelwert-Schätzung}\quad \bar{x}=\bar{x}_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nx_k\\ \hline \mbox{Varianz}\quad \mathrm{var}~X=\mathbb{E}\left(X-\mathbb{E}X\right)^2 & \mbox{Varianz-Schätzer}\quad S^2=S_n^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{k=1}^n\left(X_k-\bar{X}\right)^2 & \mbox{Varianz-Schätzung}\quad s^2=s_n^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{k=1}^n\left(x_k-\bar{x}\right)^2\\ \hline \mbox{Standardabweichung}\quad \sqrt{\mathrm{var}~X} & \mbox{Standardabweichungs-Schätzer}\quad S & \mbox{Standardabweichungs-Schätzung}\quad s\\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}$

Die in der Tabelle sorgfältig erfolgte sprachliche Trennung der Begriffe durch Attribute wie Schätzer (engl.: estimator) und Schätzung (engl.: estimate) ist in der Praxis kaum anzutreffen. Warum? Tja, die Statistiker erkennen eben aus dem Zusammenhang, was jeweils gemeint ist, und die anderen schauen in die Röhre. Varianz (oder auch Streuung) wird oft für alle drei inhaltlich unterschiedlichen Größen der dritten Tabellenzeile gebraucht!

Für den Anfänger ist es deshalb erfahrungsgemäß oft unverständlich, wenn beispielsweise von der Verteilung einer Testgröße (das gehört in die zweite Spalte) und dann aber wieder vom Wert einer Testgröße (dritte Spalte) gesprochen wird.

P.S.: Entschuldigt, wenn ich so ausführlich geworden bin - aber irgendwann wollte ich das hier schon immer mal loswerden (und jetzt kann ich ja bei Gelegenheit immer drauf verlinken. Augenzwinkern

)

09.02.2005, 12:15

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

)

oh arthur, ich habe doch auch keine ahnung davon.... (war ja auch nur ein versuch, zu helfen!)
hab ja nicht mal gesagt, was X sein soll.....
steinigt mich!

09.02.2005, 12:20

Auf diesen Beitrag antworten »

@LOED

Nicht aufregen, ich hab dich ja gleich entlastet:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Das liegt auch daran, dass die Vermittlung des grundsätzlichen Modells der mathematischen Statistik im Studium meist viel zu kurz kommt.

Also bitte nicht persönlich nehmen. Augenzwinkern

09.02.2005, 12:29

kurellajunior

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Arthur, eine Frage noch.
Was ist: $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X \end{eqnarray*}$ ?
Ansonsten Danke, gleich ausdrucken und an die Wand hängen Freude

Hab ich auch nicht immer parat, die Begriffe und nachgucken ist so mühsam Augenzwinkern

Jan

09.02.2005, 12:53

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Das, was man von Statistik in der Regel mitnimmt, ist Churchills angeblicher Ausspruch:
"Ich glaube keiner Statistik, die ich nicht selbst gefälscht habe."
Ob Churchill das wirklich gesagt hat, ist umstritten. Direkte Belege für das Zitat gibt es wohl nicht.

Oder ein anderer britischer Premierminister (Disraeli):
"There are three kinds of lies: lies, damned lies and statistics."

Ich selbst habe während des Studiums von Statistik gar nichts mitbekommen, wohl auch, weil es mich nicht sonderlich interessiert hat. Und die Wahrscheinlichkeitsrechnung fand ich immer ein Graus! Ein Riesenaufwand (Maßtheorie), um dann irgendwelche banalen Dinge daraus abzuleiten. Eher von Interesse dann schon die elementare Kombinatorik. Dafür braucht man eigentlich nichts als die Grundrechenarten und den gesunden Menschenverstand. Deswegen scheitern wohl auch selbst Mathematikprofessoren daran so häufig. Big Laugh

Ich bin froh, daß ich jetzt keine Wahrscheinlichkeitsrechnung im Abitur mehr unterrichten muß. Vor allem diese gräßlichen Tests. Es ist schlimm, wenn man etwas unterrichten muß, von dem man selbst nicht überzeugt ist, ja von dem eigentlich glaubt, daß es Unsinn ist.

09.02.2005, 13:17

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Ich bin froh, daß ich jetzt keine Wahrscheinlichkeitsrechnung im Abitur mehr unterrichten muß. Vor allem diese gräßlichen Tests. Es ist schlimm, wenn man etwas unterrichten muß, von dem man selbst nicht überzeugt ist, ja von dem eigentlich glaubt, daß es Unsinn ist.

Ich gebe dir völlig recht, dass die Vermittlung von statistischen Tests an der Schule völlig unsinnig ist. An der Uni konnte ich sehen, wie das mathematische Durchschnittsniveau der Studien-Anfänger von Jahr zu Jahr immer mehr absank, deswegen sollte man sich an der Schule lieber auf die Grundlagen konzentrieren und Stochastik vielleicht völlig streichen.

Für Unsinn halte ich Tests trotzdem nicht, es fehlt halt nur die Vermittlung auf der Grundlage einer soliden Basis (s.o.).

09.02.2005, 13:32

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Tests kenne ich mich nur insoweit aus, als ich sie an der Schule unterrichten mußte. Mich hat immer das Folgende am meisten gestört: Nach der Festlegung eines Signifikanzniveaus erhält man eine Entscheidungsregel. Wenn ich aber das Signifikanzniveau ändere, ändert sich auch meine Entscheidungsregel. Es ist aber vollkommen willkürlich, für das Signifikanzniveau 10 %, 5 %, 1 % oder 0,1 % zu nehmen. In den Schulbüchern stand dann immer so etwas wie "ein Test ist immer nur eine Entscheidungshilfe, die eigentliche Entscheidung gibt er nicht vor" oder "man sollte nicht sagen, daß man die Hypothese annimmt, sondern daß man sie unter dem vorgegebenen Signifikanzniveau nicht ablehnen kann". Das ist doch reine Sophisterei.

09.02.2005, 15:14

Ismael87

Auf diesen Beitrag antworten »

hi!
Danke schon mal!
Die formel hab ich ja nun alle, nur leider weiß ich immer noch nicht, wie man dann auf die einzelnen Werte kommt!
Ich stelle bald mal ein Beispiel rein!
das wäre geil, wenn mir jemand das daran erklären könnte!Bye Isi

Alles selbst zu erarbeiten ist net gerade sehr leicht!

zum mittelwert:
der kann doch als durchschnitt übersetzt werden.
durchscnitt = summe alles daten/ anzahl aller daten
warum is die formel dann aber so kompliziert!

09.02.2005, 15:22

Auf diesen Beitrag antworten »

Möglicherweise hast du nur Probleme mit dem Summensymbol $\begin{eqnarray*} \sum \end{eqnarray*}$ rechts: $\begin{eqnarray*} \qquad\bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nx_k \end{eqnarray*}$

Das ist nur eine Kurzform von

$\begin{eqnarray*} \bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\ldots+x_{n-1}+x_n) \end{eqnarray*}$

Alles klar?

09.02.2005, 18:13

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
@LOED

Nicht aufregen, ich hab dich ja gleich entlastet:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Das liegt auch daran, dass die Vermittlung des grundsätzlichen Modells der mathematischen Statistik im Studium meist viel zu kurz kommt.

Also bitte nicht persönlich nehmen. Augenzwinkern

öhm, noch als nachtrag, leider nicht zum mathematischen thema:
ich denke (und hoffe!), du weißt inzwischen, dass ich solche mathematischen zurechtweisungen nicht als angriff sehe, arthur.
also ich hoffe du hast meinen kommentar nicht als "aufregen" aufgefasst!
also bitte auch weiterhin recht haben und alles besser wissen, denn dann kann ich auch was lernen!

mfg jochen

10.02.2005, 08:58

kurellajunior

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, dass ich nachhake, aber:

Hallo Arthur, eine Frage noch.
Was ist: $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X \end{eqnarray*}$ ?

10.02.2005, 10:11

Auf diesen Beitrag antworten »

@kurellajunior

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E} \end{eqnarray*}$ steht für den üblichen Erwartungswert-Operator - in maßtheoretischer Schreibweise

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X := \int\limits_{\Omega}X~dP \end{eqnarray*}$

Reicht das als Erklärung?

10.02.2005, 10:38

kurellajunior

Auf diesen Beitrag antworten »

mmh, leider nein. Is doch zu lange her.
Besonders die Verwendung in
$\begin{eqnarray*} var X=\mathbb{E}(X-\mathbb{E}X)^2 \end{eqnarray*}$
ist mir leider nicht ersichtlich.
$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X := \int\limits_{\Omega}X~dP \end{eqnarray*}$

Vielleicht fehlt mir auch nur die Bedeutung von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ im Zusammenhang mit $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$

Danke für die Erklärung, Jan

10.02.2005, 10:48

Auf diesen Beitrag antworten »

OK, dann ohne Maßtheorie. Dann muss ich aber eine (nicht mal vollständige) Fallunterscheidung treffen:

1) X stetige Zufallsgröße mit Dichte $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}~g(X)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)f_X(x)~dx \end{eqnarray*}$

2) X diskrete Zufallsgröße, wobei Wert $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p_k \end{eqnarray*}$ angenommen wird:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}~g(X)=\sum\limits_k g(x_k)p_k \end{eqnarray*}$

Dabei ist g(x) eine in "weiten Grenzen" beliebige Funktion, im allereinfachsten Fall die Identität
$\begin{eqnarray*} g(x)=x \end{eqnarray*}$ . Bei der Varianz kommt $\begin{eqnarray*} g(x)=(x-\mathbb{E}~X)^2 \end{eqnarray*}$ zum Einsatz.

10.02.2005, 10:57

kurellajunior

Auf diesen Beitrag antworten »

Rauch
Danke,

Jetzt raucht zwar mein Hirn, aber ich hab das, was Du da geschrieben hast mit meinen dunklen Erinnerungen in Verbindung bringen können. Hab sogar eine Idee was sich hinter dem Begriff Dichtefunktion verbirgt.

also ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{E} \end{eqnarray*}$ nur eine schreibweise für "Erwartungswert", was sich auch immer hinter diesem Begriff verbirgt. Allerdings bin ich mir in der Verwendung jetzt ein wenig sicherer.

Nichtsdesdotrotz würde mich das mit der Maßtheorie interessieren, eine spontane Idee, wo ich da nachgucken kann, oder mich belesen kann (Buch)?

Danke nochmal, Jan

10.02.2005, 11:06

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rauch
Für den anspruchsvollen Leser ist auf jeden Fall

H. Bauer: Maß- und Integrationstheorie. de Gruyter

zu empfehlen. Kommt aber vielleicht etwas "trocken" rüber.

Mal sehen, was die anderen dir vorschlagen...

14.02.2005, 21:31

Ismael87

Auf diesen Beitrag antworten »

hi!
hab nun ne aufgabe zu diesem thema:
hab ne umfrage gemacht und folgende altersangaben erhalten:
16,17,17,18,17,16,16,17,18,17,21,21,20,20,20,20,16,17,18,18,18,20,35,20,20,
23,17,16,18,17,16,16,20,22,20,17,23,18,19,18,17,17,20,20,17,17,20,20,16,16,
17,17,17,17,18,17,23,20,20,19,20,18,17,18,19,20,20,16,18,19,18,20,18,20,20,
20,20,20,21,20,20,20,20,19,22,20,20,21,21
das ergibt eine Gesamtsumme von 1681 jahre
befragt wurden insgesamt 89 Leute

Mittelwert= Gesamtsumme:Summe befragter Leute= 1681:89= 18,89 Jahre

das versteh ich ja

Zur Standardabweichung:
Ist hier eine Standartabweichung nicht das angegebene Alter eines Befragten mit 35?
wenn ja, wie rechne ich die Standardabweichung mit der Formel zu dieser aufgabe aus?

Zur Varian: Wie berechne ich sie in diesem fall aus und worüber gibt sie mir Auskunft?

Zum Median: Wie komm ich darauf und was sagt er mir aus?

Noch eine letztes frage: Kann ich bei dieser aufgabe auch eine regressionsanalyse durchführen?? Wenn ja, wie genau??
Ich hab so keine Ahnung!
Das wäre echt nett, wenn mir jemand weiterhelfen kann!

Arthur, I need your help, please!

Ciao

PS: Bin über jede auskunft sehr dankbar.

Neue Frage »

Antworten »

Varianz, Standartabweichung und Mittelwert

Verwandte Themen