2 < (1+1/n)^n < 3

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Nils Auf diesen Beitrag antworten »
2 < (1+1/n)^n < 3
Hi,

ich soll per vollständiger Induktion die beiden Ungleichungen



Leider klappt das gar nicht, ich kriege im Ind.Schluss keine vernünftige Abschätzung zustande, mit der das klappt.


Bitte um Hilfe.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Leider klappt das gar nicht, ich kriege im Ind.Schluss keine vernünftige Abschätzung zustande, mit der das klappt.

bist du trotzdem bereit, mal deine bisherigen ideen und rechungen zu posten?!

mfg jochen
Nils Auf diesen Beitrag antworten »

Ind.Anfang is ja klar.

Schluss:
Sei




.

Und dann hakt's. Ich müsste noch zeigen, dass der rechte Bruch kleiner gleich 1 ist, dann wär alles i.O., aber das kriege ich nich hin.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich setz mal m=n+1, schreibt sich mit weniger Aufwand. Dann ist

.

Und jetzt kann man die Bernoullische Ungleichung sinnvoll einsetzen:



Sie gilt für alle reellen Zahlen und .
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Dann kann man die Bernoullische Ungleichung aber auch gleich auf anwenden und erhält schon die erste Aussage.
Nils Auf diesen Beitrag antworten »

Jup, so geht's. Weiß zwar nicht, ob das im Sinne des Aufgabenstellers war, aber das ist ja eigentlich auch egal. Bernoullische Ungleichung muss ich mir jedenfalls merken.
Fehlt noch die zweite Ungleichung. Und da werde ich wahrscheinlich eine andere Argumentation brauchen; die Abschätzung von eben kann dafür ja nicht mehr funktionieren. Na, mal sehen.
Danke erstmal.
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Für das "<3" kannst du es so machen (wieder ohne Induktion):
Binomischen Satz anwenden, n über k ausschreiben. Dann zweimal geeignet abschätzen und geometrische Summenformel benutzen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Dann kann man die Bernoullische Ungleichung aber auch gleich auf anwenden und erhält schon die erste Aussage.


Richtig.

Aber Nils wollte vielleicht schon in Richtung Monotonie der Folge vorgehen.
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