Integralrechnung - Flächenproblem

10.02.2005, 17:26

paesci

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Integralrechnung - Flächenproblem

Hi zusammen,
Ich übe gerade für eine Mathe-Prüfung, hänge aber an einer Aufgabe fest!

"Welches Flächenstück (Segment) schneidet die folgende Gerade von der Parabel $\begin{eqnarray*} y^2=8x \end{eqnarray*}$ ab? Berechne den Flächeninhalt!"
Gerade: $\begin{eqnarray*} 3y-2x=8 \end{eqnarray*}$

Ich habe nun zuerst die beiden Schnittpunkte folgendermassen ausgerechnet:
Parabel: $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{8x} \end{eqnarray*}$
Gerade: $\begin{eqnarray*} y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$
Durch Gleichsetzen und anschliessendem Nullsetzen ergeben sich die Schnittpunkte -2 und 2.

Flächenberechnung: $\begin{eqnarray*} A=\int_{-2}^{2}~\sqrt{8x}-\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}~dx \end{eqnarray*}$

Integriert schaut das dann so aus: $\begin{eqnarray*} [\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{8}{3}x]_{-2}^2 \end{eqnarray*}$

Stimmt das bis hierher? Falls ja, wie fahre ich jetzt fort? Ich bringe es nämlich nicht fertig, das ganze auszurechnen!

Vielen Dank für eure Hilfe!

paesci

10.02.2005, 19:35

aRo

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hmm..ich glaube du hast dich bereits bei den schnittpunkten vertan.

gruß,
aRo

10.02.2005, 19:35

Horschie

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laut Plot von Derive stimmen deine SchnittPunkte nicht.

Ansonsten würde ich versuchen, das durch die Schnittpunkte bestimmte Integral deer Geraden minus dem auch durch die Schnittpunkte bestimmten Integral der Ellypse zu rechnen...

10.02.2005, 19:54

riwe

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RE: Integralrechnung - Flächenproblem

schau mal die schnittpunkte an
nach der integration die richtigen grenzen einsetzen = "F_parabel",
anschließend mußt du noch das entsprechende trapez (gerade - x-achse) abziehen.
werner

11.02.2005, 10:38

Horschie

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argh, was ist denn das Integral von Wurzel(8x)?

11.02.2005, 13:59

derkoch

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$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ \sqrt{8x} ~dx = \int_{}^{}~(8x)^\frac{1}{2} ~dx=\int_{}^{}~ (8)^\frac{1}{2} (x)^\frac{1}{2} ~dx \end{eqnarray*}$

jetzt einfach nach regel integrieren! smile

smile

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11.02.2005, 14:07

Horschie

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$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} *(8x)^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ ?

@Topic

hm...also die Lösung hätte ich dann wohl, so fern das Integral stimmt...

11.02.2005, 14:09

derkoch

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konstanter faktor wird beim integrieren vors integral gezogen!

dh.: dein integral ist jetzt nur noch
$\begin{eqnarray*} (8)^\frac{1}{2} \int_{ }^{ }~ x^{\frac{1}{2} } ~dx \end{eqnarray*}$

11.02.2005, 14:39

kikira

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Zitat:

Original von Horschie
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} *(8x)^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ ?

@Topic

hm...also die Lösung hätte ich dann wohl, so fern das Integral stimmt...

dein Integral stimmt nicht, denn du veränderst ja hier die Hochzahl deiner Konstanten auch und es ändert sich aber nur die Hochzahl der Unbekannten.

Wenn du das differenzieren würdest, müsstest du Kettenregel anwenden, denn hier steht ein x in der Klammer. Also musst du beim Integrieren das Gegenteil der Kettenregel anwenden. Die kannst du aber umgehen, indem du die Wurzel, weil du ja eine Multiplikation hast, jedem einzelnen mitgibst und dann steht x nicht mehr in einer Klammer und du kannst daher "normal" integrieren:

sqrt(8) * x^(1/2)

und nur mehr die Hochzahl der Variablen ändern, nicht die Hochzahl von 8!!!!

lg kiki

11.02.2005, 14:46

Horschie

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ja gut...also müsste die Lösung wie folgt sein:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{8} * \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

11.02.2005, 14:54

derkoch

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sieht verdammt gut aus! Freude

Freude

12.02.2005, 14:46

paesci

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hi

erstmal danke für eure Bemühungen.
Ich habe die Schnittpunkte neu ausgerechnet. Das was der Graph da zeigt stimmt natürlich.... 2 und 8

Ich habe auch dieses $\begin{eqnarray*} \sqrt{8x} \end{eqnarray*}$ nocheinmal integriert:
--> $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}\sqrt{2}x^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt jetzt die Flächenberechnung:
$\begin{eqnarray*} [\frac{4}{3}\sqrt{2}x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{8}{3}x]_{2}^8 \end{eqnarray*}$

Das ergibt dann eine Fläche von $\begin{eqnarray*} 0-[-\frac{4}{3}]=\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

Stimmt das jetzt??

12.02.2005, 17:20

derkoch

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sieht gut aus! smile

smile

13.02.2005, 16:22

paesci

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sieht es nur gut aus, oder stimmt es auch??
Hilfe

Hilfe

13.02.2005, 16:24

derkoch

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soweit ich das sehen kann ist es richtig!

13.02.2005, 16:26

paesci

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super, danke!!!

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