Konstruktion eines Dreiecks mit Hilfe des Umfangswinkels

11.02.2005, 13:00

laphus

Konstruktion eines Dreiecks mit Hilfe des Umfangswinkels

Die Aufgabe lautet: Konstruiere (zeichnerisch) ein Dreieck ABC mit Hilfe des Satzes über den Umfangswinkel. Folgende Seiten seien dabei vorgegeben:
c = 3,5 cm; höhe auf c = 4,5 cm; gamma = 70 Grad
Wie konstruiert man ein solches Dreieck?
Existiert es überhaupt?
Ist es eindeutig bestimmt?

11.02.2005, 13:03

kurellajunior

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RE: Konstruktion eines Dreiecks mit Hilfe des Umfangswinkels
Zwei Fragen findest Du hier beantwortet. Ansonsten Hilfe

?

Jan

11.02.2005, 13:24

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RE: Konstruktion eines Dreiecks mit Hilfe des Umfangswinkels

Zitat:

Original von laphus
Existiert es überhaupt?

Nein.

Notwendig und hinreichend für die Konstruierbarkeit ist nämlich die Bedingung

$\begin{eqnarray*} c\geq 2h_c\tan\frac{\gamma}{2} \end{eqnarray*}$ ,

und die ist hier nicht erfüllt.

Ansonsten ist es vom Typ her Nr.11 .

11.02.2005, 13:31

laphus

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Dankeschön! Hammer

Wie kommst Du auf die angegebene Bedingung? Hast Du vielleicht eine kurze Herleitung dafür? Vielen Dank!

11.02.2005, 13:48

Leopold

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Zeichne einen Kreis mit $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ als Sehne. Konstruiere $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ mit dem Kreis (genauer: als Schnittpunkt mit dem größeren der durch $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ bestimmten Bögen). Wenn nun $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ auf dem Kreis bewegt wird, ändert sich der Winkel $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ im Dreieck $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ nicht. Jetzt überlege: Was ist die maximale Höhe all dieser Dreiecke?

11.02.2005, 14:24

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Konstruktionshinweis
Die von Leopold vorgenommene Erwähnung gleicher Peripheriewinkel gibt auch gleich den entscheidendenn Hinweis auf die Konstruktion für den Fall, dass "mögliche" Werte $\begin{eqnarray*} c,\gamma,h_c \end{eqnarray*}$ vorliegen. Genauer gesagt ist es dann allerdings der Peripherie-Zentriwinkelsatz, den man gut gebrauchen kann.