Aufgabe aus Altklausur

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goe.alexander Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe aus Altklausur
Hallo, ich binn grad dabei mich auf meine bevorstehende klausur vorzubereiten und versuche mich daher an einer altklausur.
Die problematik der klausur ist "Zahlentheorie".
Nun steh ich vor einer aufgabe und weiß nicht wirklich wie ich sie angehen soll:

Die aufgabe lautet: Bestimmen sie (10/p).
(es steht nicht dabei aber p wird wohl element der primzahlen sein).

Ich denke ich muss das irgendwie mit dem legendre symbol machen weiß aber nich ganau wie. kann mir jemand helfen?

gruß alex
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Bestimme doch einfach 8/v...

Ich habe mehrere Kritikpunkte an deinen Beitrag:
1.) Der Threadtitel ist zu ungenau
2.) Wenn du schon schreibst, dass es Zahlentheorie ist, warum stellst du es dann in die Algebra?
3.) Man versteht die Aufgabe nicht.
goe.alexander Auf diesen Beitrag antworten »

Okay das war nich so clever die aufgabe hierher zu stellen, mein Fehler.
Das man die aufgabe nich versteht ist ja auch genau mein problem.

Was meinst du mit 8/v...?
gruß alex
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von goe.alexander
Was meinst du mit 8/v...?


Das war ironisch, man. Augenzwinkern Und ich wage zu behaupten: Ohne weitere Angaben wird dir keiner helfen können.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich verstehe das so, dass es um die Aufgabenstellung

Zitat:
Bestimme für alle Primzahlen das Legendre-Symbol

Für die Primzahlen und ist der Fall klar: 10 ist ein Vielfaches von - was gilt dann gemäß Definition für ?

Zur Berechnung für alle anderen : Es ist ja , also kann man erstmal in



zerlegen. Beim ersten Faktor hilft ein Ergänzungssatz (ich glaube, der zweite) zum quadratischen Reziprozitätsgesetz, beim zweiten Faktor das Reziprozitätsgesetz selbst.


P.S.: Sei mal nicht so hart, WebFritzi. LaTeX kann nicht jeder von Anfang an, und der maßgebliche Begriff "Legendre-Symbol" ist ja gefallen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, dann hätte man schreiben sollen, dass (...) das Legendre-Symbol bezeichnet. Dann wäre ich nämlich schön still gewesen, weil ich von solchem Kram keine Ahnung habe. Augenzwinkern
 
 
goe.alexander Auf diesen Beitrag antworten »

Mein internet war außer gefecht, aber jetzt binn ich wieder da!

Zitat:
Für die Primzahlen und ist der Fall klar: 10 ist ein Vielfaches von - was gilt dann gemäß Definition für ?


(hoffendlich hat das mit dem zitat geklappt)

Für die Fälle p = 2 oder 5 würde folgen (10/p) = 0

Für die anderen Fälle bin ich noch nich so schlau, denn
(2/p) = 1 für p==+-1 mod 8
-1 für p==+-3mod 8

aber wies weiter geht weiß ich nich.
woher weiß ich wann (5/p) 1 oder -1 ist.
(wann 5 quadratischer rest mod p ist?)
gruß alex
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu habe ich auch schon was gesagt:

Zitat:
Original von Arthur Dent
[...] beim zweiten Faktor das Reziprozitätsgesetz selbst.

Konkret ins Reziprozitätsgesetz eingesetzt ergibt sich für alle ungeraden Primzahlen :

,

also umgestellt . Ähnlich wie du oben eine Aussage über die hast, kriegst du hier Aussagen bzgl. . Richtig kombiniert ergibt das schließlich Aussagen für .
goe.alexander Auf diesen Beitrag antworten »

kurz zwischenfrage,
die zahlen 1 mod 5 sind doch z.B. 1,6,11,16,..
und die zahlen -1 mod 5 sind z.B. 4,9,14,19,24,... oder?

Wenn ja so sind doch die einzigen quadratischen reste modulo 5, alle zahlen die kongruent zu +-1 mod 5 sind
=> (p/5) = 1 wenn p==+-1 mod 5 ist und -1 wenn p==+-2 mod 5?

Wie genau kommst du noch auf die 40??
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von goe.alexander
Wenn ja so sind doch die einzigen quadratischen reste modulo 5, alle zahlen die kongruent zu +-1 mod 5 sind
=> (p/5) = 1 wenn p==+-1 mod 5 ist und -1 wenn p==+-2 mod 5?

Freude

Zitat:
Original von goe.alexander
Wie genau kommst du noch auf die 40??

, du musst ja auch noch an das denken. Deine obigen Überlegungen dazu sind vollkommen richtig, jetzt musst du beides kombinieren.
goe.alexander Auf diesen Beitrag antworten »

also nicht +-1 mod 5 sondern +-1 mod 40 oder??

Danke, und das nächste mal wenn in "Per anhalter duch die galaxis" lese denk ich an Mathe Augenzwinkern

gruß alex
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von goe.alexander
also nicht +-1 mod 5 sondern +-1 mod 40 oder??

Zunächst mal: Wovon redest du bei diesen Restklassen?

Vermutlich um die , für die gilt. Aber da sind +-1 mod 40 nicht die einzigen: Du musst alle die Restklassen modulo 40 finden für die gilt. Das sind zum einen die mit , zum anderen die mit .
goe.alexander Auf diesen Beitrag antworten »

(5/p) ist kongruent zu -1 genau dan, wenn 3, p==+-2 mod 5
Also folgt daraus, dass (10/p) = 1 ist, wenn
p==+-1 mod 40 oder +-2 mod 40 ist?
gruß alex
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von goe.alexander
+-2 mod 40 ist?

Nein, du rätst... +2 mod 40 ist überhaupt keine ungerade Primzahl!

Schreib doch einfach mal alle teilerfremden Restklassen modulo 40 auf, dann was das modulo 5 und modulo 8 bedeutet, und schließlich was das für bedeutet...

Ach was, ich mach's gleich mal selber:



Alles klar?

EDIT: Tabelle um den letzten Rest kleiner Überlegungen ergänzt...
goe.alexander Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid aber es is schon zu spät für mich (lern schon den ganzen tag mathe) und bevor ich jetz schwachsinn schreib (kommt jetz wahrscheinlich nurnoch bei raus) wollt ich dich bitten mir doch bitte die lösung zu sagen und ich versuche es morgen zu verstehen wenn ich geschlafen hab.

danke für deine mühe
gruß alex
goe.alexander Auf diesen Beitrag antworten »

okay, ich fass noch mal zusammen was ich hab:
(10/p) = (2/p) * (5/p)

(2/p) * (5/p) = (p/5) <=> p==1 oder 3 mod 8
(2/p) * (5/p) =-(p/5) <=> p==5 oder 7 mod 8

nun ist der Ausdruck (p/5) = 1 wenn p quadradtischer rest mod 5.
Das ist nur derfall wenn bei +-1 mod 5 (quadratische Reste sind 1 und 4)

Der Ausdruck (p/5) = -1 wenn p kein quadratischer rest mod 5
Das ist dann der Fall wenn p == +-2 mod 5.

Jetzt muss ich die Aussagen irgendwie zusammenfassen oder?
(Das macht mir schwierigkeiten aber ich versuche es)
Also zuerst p==1 oder 3 mod 8 und p==+-1 mod 5
=> (10/p) = 1 <=> p==1,9,13,23,27,37,39 mod 40
Aber 9 und 27 sind keine Primzahlen
(stimmt fast mit deiner tabelle außer die 3)
soweit richtig?

Bei deiner tabelle verstehe ich nicht, warum 19 mod 40 = -1 sein soll?
19 == 3 mod 8 => es ist +(p/5)
weiter ist 19 == -1 mod 5 => quardatischer rest.
Also (10/p) = 1 für p = 19.
Was mach ich falsch??????

gruß alex
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von goe.alexander
Bei deiner tabelle verstehe ich nicht, warum 19 mod 40 = -1 sein soll?

Wer sagt denn das? Ich finde solche Aussagenverfälschungen einfach ärgerlich. unglücklich

Für gilt und , das steht da! Und so bitte die gesamte Tabelle lesen.

Zitat:
Original von goe.alexander
19 == 3 mod 8 => es ist +(p/5)

??? Aus folgt , d.h., 2 ist kein quadratischer Rest modulo . Zusammen mit der Aussage, dass 5 quadratischer Rest modulo p ist, ergibt sich



Es ist immer wieder frustrierend, wenn die Beiträge nicht gelesen werden - das steht alles nämlich schon oben da...
goe.alexander Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, so wie du glaubst hab ich es nich verstanden, und gelesen hab ich deinen beitrag mehr als ein mal!

Also versuche ich es noch einmal, (10/p) = (2/p) * (5/p)
(2/p) ist 1 wenn p == +-1mod 8 und -1 wenn p == +-3 mod 8
(5/p) ist 1 wenn p == +-1 mod 5 und -1 wenn p == +-2 mod 5
Wenn ich wissen wil wann (2/p) * (5/p) = 1 ist, muss ich prüfen wann beide Ausdrücke entweder +1 oder -1 werden.

Da das kgv(8,5) = 40 ist muss ich dies modulo 40 betrachten um beide zu "vereinen":
Nun muss ich aber auch nur die teilerfremden restklassen betrachen da wenn a/40, (a/40) = 0 ist.
Alle Teilerfremden zahlen sind:
1==1 mod 5 & ==1 mod 8 => 1 * 1
3==-2 mod 5 & == 3 mod 8 => -1 * -1
7== 2 mod 5 & ==-1 mod 8 => -1 * 1
9==-1 mod 5 & == 1 mod 8 => 1 * 1
11==1 mod 5 & == 3 mod 8 => 1 * -1
13==-2 mod 5 & == -3 mod 8 => -1 * -1
17==2 mod 5 & == 1 mod 8 => -1 * 1
19== -1 mod 5 & == 3 mod 8 => 1 * -1
21== 1 mod 5 & == -3 mod 8=> 1 * -1
23== -2 mod 5 & == -1 mod 8 =>-1 * 1
27== 2 mod 5 & == 3 mod 8 => -1 * -1
29==-1 mod 5 & == -3 mod 8 =>1 * -1
31== 1 mod 5 & == -1 mod 8 => 1 * 1
33== -2 mod 5 & == 1 mod 8=> -1 * 1
37== 2 mod 5 & == -3 mod 8=> -1 * -1
39==-1 mod 5 & == -1 mod 8=> 1* 1

Also da sich alles ab 19 wiederholt:
(10/p) = 1 <=> p==+-1,+-3,+-9,+-13 mod 40

Is ja eigendlich alles wie dus geschrieben hast, aber mein fehler bisher war:
Zitat:
Jetzt muss ich die Aussagen irgendwie zusammenfassen oder?

Zitat:
Also zuerst p==1 oder 3 mod 8 und p==+-1 mod 5

Ich binn von 1 oder 3 mod 8 ausgegangen!

Is es nun besser??
gruß alex
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von goe.alexander
Nun muss ich aber auch nur die teilerfremden restklassen betrachen da wenn a/40, (a/40) = 0 ist.

Der Grund ist eher, dass der Fall für Werte , die nicht teilerfremd zu 40 sind, nur für die Primzahlen p=2 oder p=5 auftreten kann. Und über die reden wir ja nicht mehr, die haben wir am Anfang erledigt!
goe.alexander Auf diesen Beitrag antworten »

okay, aber ansonnsten richtig?
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