Aufgabe aus Altklausur |
25.07.2007, 14:38 | goe.alexander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aufgabe aus Altklausur Die problematik der klausur ist "Zahlentheorie". Nun steh ich vor einer aufgabe und weiß nicht wirklich wie ich sie angehen soll: Die aufgabe lautet: Bestimmen sie (10/p). (es steht nicht dabei aber p wird wohl element der primzahlen sein). Ich denke ich muss das irgendwie mit dem legendre symbol machen weiß aber nich ganau wie. kann mir jemand helfen? gruß alex |
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25.07.2007, 14:46 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bestimme doch einfach 8/v... Ich habe mehrere Kritikpunkte an deinen Beitrag: 1.) Der Threadtitel ist zu ungenau 2.) Wenn du schon schreibst, dass es Zahlentheorie ist, warum stellst du es dann in die Algebra? 3.) Man versteht die Aufgabe nicht. |
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25.07.2007, 14:59 | goe.alexander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay das war nich so clever die aufgabe hierher zu stellen, mein Fehler. Das man die aufgabe nich versteht ist ja auch genau mein problem. Was meinst du mit 8/v...? gruß alex |
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25.07.2007, 15:01 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das war ironisch, man. Und ich wage zu behaupten: Ohne weitere Angaben wird dir keiner helfen können. |
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25.07.2007, 15:24 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich verstehe das so, dass es um die Aufgabenstellung
Für die Primzahlen und ist der Fall klar: 10 ist ein Vielfaches von - was gilt dann gemäß Definition für ? Zur Berechnung für alle anderen : Es ist ja , also kann man erstmal in zerlegen. Beim ersten Faktor hilft ein Ergänzungssatz (ich glaube, der zweite) zum quadratischen Reziprozitätsgesetz, beim zweiten Faktor das Reziprozitätsgesetz selbst. P.S.: Sei mal nicht so hart, WebFritzi. LaTeX kann nicht jeder von Anfang an, und der maßgebliche Begriff "Legendre-Symbol" ist ja gefallen. |
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25.07.2007, 15:37 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tja, dann hätte man schreiben sollen, dass (...) das Legendre-Symbol bezeichnet. Dann wäre ich nämlich schön still gewesen, weil ich von solchem Kram keine Ahnung habe. |
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25.07.2007, 19:53 | goe.alexander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mein internet war außer gefecht, aber jetzt binn ich wieder da!
(hoffendlich hat das mit dem zitat geklappt) Für die Fälle p = 2 oder 5 würde folgen (10/p) = 0 Für die anderen Fälle bin ich noch nich so schlau, denn (2/p) = 1 für p==+-1 mod 8 -1 für p==+-3mod 8 aber wies weiter geht weiß ich nich. woher weiß ich wann (5/p) 1 oder -1 ist. (wann 5 quadratischer rest mod p ist?) gruß alex |
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25.07.2007, 19:59 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dazu habe ich auch schon was gesagt:
Konkret ins Reziprozitätsgesetz eingesetzt ergibt sich für alle ungeraden Primzahlen : , also umgestellt . Ähnlich wie du oben eine Aussage über die hast, kriegst du hier Aussagen bzgl. . Richtig kombiniert ergibt das schließlich Aussagen für . |
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25.07.2007, 20:12 | goe.alexander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
kurz zwischenfrage, die zahlen 1 mod 5 sind doch z.B. 1,6,11,16,.. und die zahlen -1 mod 5 sind z.B. 4,9,14,19,24,... oder? Wenn ja so sind doch die einzigen quadratischen reste modulo 5, alle zahlen die kongruent zu +-1 mod 5 sind => (p/5) = 1 wenn p==+-1 mod 5 ist und -1 wenn p==+-2 mod 5? Wie genau kommst du noch auf die 40?? |
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25.07.2007, 20:14 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
, du musst ja auch noch an das denken. Deine obigen Überlegungen dazu sind vollkommen richtig, jetzt musst du beides kombinieren. |
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25.07.2007, 20:18 | goe.alexander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also nicht +-1 mod 5 sondern +-1 mod 40 oder?? Danke, und das nächste mal wenn in "Per anhalter duch die galaxis" lese denk ich an Mathe gruß alex |
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25.07.2007, 20:37 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zunächst mal: Wovon redest du bei diesen Restklassen? Vermutlich um die , für die gilt. Aber da sind +-1 mod 40 nicht die einzigen: Du musst alle die Restklassen modulo 40 finden für die gilt. Das sind zum einen die mit , zum anderen die mit . |
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25.07.2007, 21:59 | goe.alexander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
(5/p) ist kongruent zu -1 genau dan, wenn 3, p==+-2 mod 5 Also folgt daraus, dass (10/p) = 1 ist, wenn p==+-1 mod 40 oder +-2 mod 40 ist? gruß alex |
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25.07.2007, 23:39 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, du rätst... +2 mod 40 ist überhaupt keine ungerade Primzahl! Schreib doch einfach mal alle teilerfremden Restklassen modulo 40 auf, dann was das modulo 5 und modulo 8 bedeutet, und schließlich was das für bedeutet... Ach was, ich mach's gleich mal selber: Alles klar? EDIT: Tabelle um den letzten Rest kleiner Überlegungen ergänzt... |
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26.07.2007, 00:08 | goe.alexander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
tut mir leid aber es is schon zu spät für mich (lern schon den ganzen tag mathe) und bevor ich jetz schwachsinn schreib (kommt jetz wahrscheinlich nurnoch bei raus) wollt ich dich bitten mir doch bitte die lösung zu sagen und ich versuche es morgen zu verstehen wenn ich geschlafen hab. danke für deine mühe gruß alex |
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26.07.2007, 09:18 | goe.alexander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay, ich fass noch mal zusammen was ich hab: (10/p) = (2/p) * (5/p) (2/p) * (5/p) = (p/5) <=> p==1 oder 3 mod 8 (2/p) * (5/p) =-(p/5) <=> p==5 oder 7 mod 8 nun ist der Ausdruck (p/5) = 1 wenn p quadradtischer rest mod 5. Das ist nur derfall wenn bei +-1 mod 5 (quadratische Reste sind 1 und 4) Der Ausdruck (p/5) = -1 wenn p kein quadratischer rest mod 5 Das ist dann der Fall wenn p == +-2 mod 5. Jetzt muss ich die Aussagen irgendwie zusammenfassen oder? (Das macht mir schwierigkeiten aber ich versuche es) Also zuerst p==1 oder 3 mod 8 und p==+-1 mod 5 => (10/p) = 1 <=> p==1,9,13,23,27,37,39 mod 40 Aber 9 und 27 sind keine Primzahlen (stimmt fast mit deiner tabelle außer die 3) soweit richtig? Bei deiner tabelle verstehe ich nicht, warum 19 mod 40 = -1 sein soll? 19 == 3 mod 8 => es ist +(p/5) weiter ist 19 == -1 mod 5 => quardatischer rest. Also (10/p) = 1 für p = 19. Was mach ich falsch?????? gruß alex |
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26.07.2007, 13:54 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wer sagt denn das? Ich finde solche Aussagenverfälschungen einfach ärgerlich. Für gilt und , das steht da! Und so bitte die gesamte Tabelle lesen.
??? Aus folgt , d.h., 2 ist kein quadratischer Rest modulo . Zusammen mit der Aussage, dass 5 quadratischer Rest modulo p ist, ergibt sich Es ist immer wieder frustrierend, wenn die Beiträge nicht gelesen werden - das steht alles nämlich schon oben da... |
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26.07.2007, 15:51 | goe.alexander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sorry, so wie du glaubst hab ich es nich verstanden, und gelesen hab ich deinen beitrag mehr als ein mal! Also versuche ich es noch einmal, (10/p) = (2/p) * (5/p) (2/p) ist 1 wenn p == +-1mod 8 und -1 wenn p == +-3 mod 8 (5/p) ist 1 wenn p == +-1 mod 5 und -1 wenn p == +-2 mod 5 Wenn ich wissen wil wann (2/p) * (5/p) = 1 ist, muss ich prüfen wann beide Ausdrücke entweder +1 oder -1 werden. Da das kgv(8,5) = 40 ist muss ich dies modulo 40 betrachten um beide zu "vereinen": Nun muss ich aber auch nur die teilerfremden restklassen betrachen da wenn a/40, (a/40) = 0 ist. Alle Teilerfremden zahlen sind: 1==1 mod 5 & ==1 mod 8 => 1 * 1 3==-2 mod 5 & == 3 mod 8 => -1 * -1 7== 2 mod 5 & ==-1 mod 8 => -1 * 1 9==-1 mod 5 & == 1 mod 8 => 1 * 1 11==1 mod 5 & == 3 mod 8 => 1 * -1 13==-2 mod 5 & == -3 mod 8 => -1 * -1 17==2 mod 5 & == 1 mod 8 => -1 * 1 19== -1 mod 5 & == 3 mod 8 => 1 * -1 21== 1 mod 5 & == -3 mod 8=> 1 * -1 23== -2 mod 5 & == -1 mod 8 =>-1 * 1 27== 2 mod 5 & == 3 mod 8 => -1 * -1 29==-1 mod 5 & == -3 mod 8 =>1 * -1 31== 1 mod 5 & == -1 mod 8 => 1 * 1 33== -2 mod 5 & == 1 mod 8=> -1 * 1 37== 2 mod 5 & == -3 mod 8=> -1 * -1 39==-1 mod 5 & == -1 mod 8=> 1* 1 Also da sich alles ab 19 wiederholt: (10/p) = 1 <=> p==+-1,+-3,+-9,+-13 mod 40 Is ja eigendlich alles wie dus geschrieben hast, aber mein fehler bisher war:
Ich binn von 1 oder 3 mod 8 ausgegangen! Is es nun besser?? gruß alex |
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26.07.2007, 16:30 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Grund ist eher, dass der Fall für Werte , die nicht teilerfremd zu 40 sind, nur für die Primzahlen p=2 oder p=5 auftreten kann. Und über die reden wir ja nicht mehr, die haben wir am Anfang erledigt! |
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26.07.2007, 17:03 | goe.alexander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay, aber ansonnsten richtig? |
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