Lösungsmenge trigonometrischer Gleichungen

13.02.2005, 14:32

tschekowski

Lösungsmenge trigonometrischer Gleichungen

Hi,

Gegeben ist die Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} cos²(x)=0,75 \end{eqnarray*}$
die lässt sich wie folgt lösen:
$\begin{eqnarray*} cos(x)=\pm \sqrt{0,75} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x1=\frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist das aber nicht das einzige Ergebnis....
die Ergebnismenge lautet: $\begin{eqnarray*} x2=\pi-\frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x3=\pi+\frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x4=2\pi-\frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$

wofür stehen die Pi-Lösungsmenge etc. (wenn man das Schaubild betrachtet ist ja klar, dass sich die Lösung für den y-Wert 3x wiederholt: 1x positiv und 2x negativ (in diesem fall wird ja auch die negative Lösungsmenge verlangt))
Wofür stehen die Lösungsmengen wie Pi-Lösung, Pi+Lösung und 2Pi-Lösung genau und wie würde das bei sin oder tan-Funktionen aussehen ?

13.02.2005, 14:35

babelfish

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2pi etc sind radian-"messeinheiten", wobei 2pi den 360° entsprechen.
das heißt, deine erste lösung (pi/6) wären dann 30°!

13.02.2005, 14:39

tschekowski

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ja das ist mir klar - nur kann man das irgendwie allgemein ausdrücken so wie in der Art:
2Pi-Lösung = gleicher negativer lösungswert oder
Pi+Lösung = gleicher positiver Lösungswert

und das ganze dann eben für sin, cos und tan

13.02.2005, 14:41

Denjell

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Du betrachtest ja die cos-Funktion im Intervall von 0 bis 2pi(1 periode).

Innerhalb dieses Intervalls hat die Funktion 4 Stellen an denen der Wert erreicht wird.

Du berechnest x1 durch auflösen. dann erkennt man das der y-
Wert von x1 noch einmal an der stelle x4 erreicht wird. diese ist genau x1 vor 2pi.

x2 hingegen hat den negativen y-Wert und liegt genau x1 vor pi und x3 hat auch einen negativen y-Wert und liegt genau x1 nach pi.

Diese Werte ergeben sich aus der Symmetrie von cos zu Geraden x=pi.

Für sin kannst du dir das ja mal selbst ausdenken. Es hilft sich die Funktion mal plotten zu lassen oder selbst aufzumalen, daran kann man dann sehn wann in etwa welche Funktionswerte auftauchen.

MfG

13.02.2005, 14:43

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Lösungsmengen trigonometrischer Grundgleichungen
Es folgt eine Übersicht, wie die vollständige Lösungsmenge einiger Grundtypen trigonometrischer Gleichungen aussieht.
Oder salopp formuliert: Wie man Sinus / Kosinus / Tangens richtig umkehrt!

Im folgenden soll stets y gegeben und x gesucht sein.

1) Die Lösungsmenge der Gleichung

$\begin{eqnarray*} y=\sin(x) \end{eqnarray*}$

für Werte $\begin{eqnarray*} -1\leq y\leq 1 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} \left\{ \ldots, x_0-2\pi, x_0, x_0+2\pi, x_0+4\pi, \ldots \right\} \cup \left\{ \ldots, -x_0-\pi, -x_0+\pi, -x_0+3\pi, -x_0+5\pi, \ldots \right\} \end{eqnarray*}$ (jeweils Abstand $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ) ,

wobei $\begin{eqnarray*} x_0=\arcsin(y) \end{eqnarray*}$ ist. (Für $\begin{eqnarray*} y=\pm 1 \end{eqnarray*}$ sind beide Mengen der Vereinigung gleich.)

2) Die Lösungsmenge der Gleichung

$\begin{eqnarray*} y=\cos(x) \end{eqnarray*}$

für Werte $\begin{eqnarray*} -1\leq y\leq 1 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} \left\{ \ldots, x_0-2\pi, x_0, x_0+2\pi, x_0+4\pi, \ldots \right\} \cup \left\{ \ldots, -x_0-2\pi, -x_0, -x_0+2\pi, -x_0+4\pi, \ldots \right\} \end{eqnarray*}$ (jeweils Abstand $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ) ,

wobei $\begin{eqnarray*} x_0=\arccos(y) \end{eqnarray*}$ ist. (Für $\begin{eqnarray*} y=\pm 1 \end{eqnarray*}$ sind beide Mengen der Vereinigung gleich.)

3) Die Lösungsmenge der Gleichung

$\begin{eqnarray*} y=\tan(x) \end{eqnarray*}$

für beliebige reelle Werte $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} \left\{ -\pi+x_0, x_0, x_0+\pi, x_0+2\pi, \ldots \right\} \end{eqnarray*}$ (jeweils Abstand $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ )

wobei $\begin{eqnarray*} x_0=\arctan(y) \end{eqnarray*}$ ist.

P.S.: In Zukunft werde ich jetzt immer auch dieses Posting verlinken...

EDIT (3.8.2005): Umfangreiches Redesign.

13.02.2005, 14:46

iammrvip

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Trigonometrischen Funktion sind periodisch. Deshalb kehren die Nullstellen mit jeder Periode wieder auf.

Die Periode dieser Funktion ist: $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

Also kehren aller $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ die Nullstellen wieder auf.

Es dabei wichtig auf welchen Intervall de Funktion betrachtet werden soll!

Das Intervall für deine Funktion ist $\begin{eqnarray*} \mathrm I = [0~|~2\pi] \end{eqnarray*}$

Du musst nun alle Nullstellen in diesem Intervall finden.

Aus der Formelsammlung weißt du:

$\begin{eqnarray*} \cos x &= \pm\sqrt{\frac{3}{4}} \\ x &= \pm\frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$

jetzt beachtest du die Periode und summierst einfach jeweils die Periode auf:

$\begin{eqnarray*} \cos x &= \pm\sqrt{\frac{3}{4}} \\ x &= \pm\frac{\pi}{6} + \pi k~(k\in\mathbb Z) \end{eqnarray*}$

Dein Intervall ist $\begin{eqnarray*} \mathrm I = [0~|~2\pi] \end{eqnarray*}$ also muss du nur die Lösungen in diesem Intervall betrachten. Nun setzt du einfach die k Zahlen, so dass die Nullstellen immer $\begin{eqnarray*} > 0 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} < 2\pi \end{eqnarray*}$ sind.

Das heißt hier also, $\begin{eqnarray*} k = 0, 1, 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 &= \frac{\pi}{6} + \pi\cdot 0 = \frac{\pi}{6} \\ x_2 &= \frac{\pi}{6} + \pi\cdot 1 = \frac{\pi}{6} + \pi \\ x_3 &= -\frac{\pi}{6} + \pi\cdot 1 = \pi - \frac{\pi}{6} \\ x_4 &= -\frac{\pi}{6} + \pi\cdot 2 = 2\pi - \frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$

13.02.2005, 14:51

tschekowski

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ok das ist soweit klar:
für sin wäre das dann:
Pi-x1 (gleicher positiver Wert)
Pi+x1 (gleicher negativer Wert)
2Pi-x1 (gleicher negativer Wert)

soweit korrekt ?

Wie sieht das dann beim tan aus ? das Schaubild ist etwas eigenartig...

Pi-x1 (gleicher negativer Funktionswert)
Pi+x1 (gleicher Funktionswert)
2Pi-x1 (gleicher negativer Funktionswert)

stimmt das so ?

13.02.2005, 14:53

iammrvip

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In welchem Intervall verwirrt

$\begin{eqnarray*} \mathrm I = [0~|~2\pi] \end{eqnarray*}$ verwirrt

13.02.2005, 14:55

tschekowski

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ja in genau diesem Intervall (das wiederholt sich ja dann alle 2Pi)

@iammrvip: wieso ist die Periode von cos(x) Pi - die Periode müsste doch eigentlich 2Pi sein, oder ?

13.02.2005, 15:04

iammrvip

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Zitat:

Original von tschekowski
ja in genau diesem Intervall (das wiederholt sich ja dann alle 2Pi)

Allgemein gilt:

Die Nullstellen des Sinus liegen bei:

$\begin{eqnarray*} x = \pi k~(k \in \mathbb Z) \end{eqnarray*}$

Das heißt für das Intervall $\begin{eqnarray*} [0~|~2\pi] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 &= 0 \\ x_2 &= \pi \\ x_3 &= 2\pi \end{eqnarray*}$

Die Nullstellen des Tangens liegen genauso. Also ergeben sich die gleichen Nullstellen.

Zitat:

@iammrvip: wieso ist die Periode von cos(x) Pi - die Periode müsste doch eigentlich 2Pi sein, oder ?

Du hast aber den $\begin{eqnarray*} \cos^2(x) \end{eqnarray*}$ . Diese Funktion besitzt eine andere Periode als der "normale" Cosinus.

13.02.2005, 15:15

tschekowski

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Das Problem ist wie komme ich immer auf diese Gleichung wie z.B: Lösung+k*Pi.........

Zitat:

@iammrvip: wieso ist die Periode von cos(x) Pi - die Periode müsste doch eigentlich 2Pi sein, oder ?

Du hast aber den $\begin{eqnarray*} \cos^2(x) \end{eqnarray*}$ . Diese Funktion besitzt eine andere Periode als der "normale" Cosinus.

aber auch bei sin(x) oder cos(x) werden die Werte doch mit Lösung+k*Pi berechnet, oder ?

13.02.2005, 15:25

iammrvip

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Siehe hier

18.05.2006, 16:21

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Die Unfähigkeit, die Trigonometriefunktionen vollständig umzukehren korreliert offenbar stark positiv mit der Unfähigkeit, Mengen zu verstehen, deswegen ging mein Erklärungsversuch oben wohl voll an der Zielgruppe vorbei. Hammer

Also das von oben nochmal in etwas einfacheren Worten:

Zitat:

Sinus:
Wenn man die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sin(x)=y \end{eqnarray*}$ mit einem vorgegebenen Wert $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ (zwischen -1 und +1) nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflösen will, und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ beliebig reell sein kann, dann genügt nicht einfach nur die Basislösung $\begin{eqnarray*} x_0=\arcsin(y) \end{eqnarray*}$ . Das ist nämlich nur die eine Lösung im Bereich $\begin{eqnarray*} \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} \left[ -90^{\circ}, 90^{\circ} \right] \end{eqnarray*}$ ). Weitere Lösungen ergeben sich durch Hinzuaddieren oder Subtrahieren von Vielfachen des Vollkreises (also $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ im Bogenmaß bzw. $\begin{eqnarray*} 360^{\circ} \end{eqnarray*}$ im Gradmaß).

Aber auch das ist noch nicht alles: Aufgrund der Symmetrie der Sinusfunktion gibt es auch noch die Lösung $\begin{eqnarray*} \pi-\arcsin(y) \end{eqnarray*}$ , sowie ebenfalls dann noch durch Addieren/Subtrahieren von Vollkreisen weitere Lösungen.

Ist nicht nach allen reellen Lösungen gefragt, sondern nur nach denen in bestimmten Intervallen, z.B. $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ , dann sind von den eben genannten Lösungen diejenigen rauszusuchen, die in diesem vorgegebenen Intervall liegen. Bei manchen Problemstellungen sind diese Vorgaben natürlich: So liegen z.B. Dreiecksinnenwinkel stets zwischen $\begin{eqnarray*} 0^{\circ} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 180^{\circ} \end{eqnarray*}$ , aber selbst da hat nach den voranstehenden Überlegungen eine Gleichung wie $\begin{eqnarray*} \sin\alpha = 0.374 \end{eqnarray*}$ zwei mögliche Lösungen. Es liegt an den sonstigen Rahmenbedingungen der Aufgabe, ob nun eine dieser beiden Lösungen ausgeschlossen werden kann - manchmal aber auch nicht, Beispiel:

Von einem Dreieck seien zwei Seiten sowie der der kürzeren Seite gegenüberliegende Winkel gegeben. Man bestimme die restlichen Winkel und Seiten des Dreiecks.

Im folgenden beim Kosinus fasse ich mich nach dem eben Gesagten etwas kürzer:

Zitat:

Kosinus:
Die Gleichung $\begin{eqnarray*} \cos(x)=y \end{eqnarray*}$ mit einem vorgegebenen Wert $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ (zwischen -1 und +1) ergibt die eine Basislösung $\begin{eqnarray*} x_0=\arccos(y) \end{eqnarray*}$ im Bereich $\begin{eqnarray*} \left[0,\pi\right] \end{eqnarray*}$ und weitere Lösungen durch die o.g. Vollkreisperiodizität.

Durch Symmetrie gibt es noch eine weitere Basislösung $\begin{eqnarray*} -\arccos(y) \end{eqnarray*}$ , und ebenfalls weitere Lösungen durch die Vollkreisperiodizität.

Beim Tangens ist es einfacher:

Zitat:

Tangens:
Alle Lösungen von $\begin{eqnarray*} \tan(x)=y \end{eqnarray*}$ (hier kann $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ beliebig reell sein) erwischt man durch Basislösung $\begin{eqnarray*} x_0=\arctan(y) \end{eqnarray*}$ sowie durch Addieren/Subtrahieren von Vielfachen von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} 180^{\circ} \end{eqnarray*}$ ), also Halbkreisen.

Eine spezielle Situation als Kombination von (1) und (2) liegt dann vor, wenn sowohl $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ eines Wertes gegeben sind, wie es z.B. bei der Polarkoordinaten-Rücktransformation der Fall ist. Oder völlig analog: Bei der Argumentbestimmung einer komplexen Zahl, die zunächst nur in algebraischer Darstellung vorliegt. Aber dazu hier mehr.

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