Riemann Integral

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eumolos Auf diesen Beitrag antworten »
Riemann Integral
Hallo,

Mit welchen Beispiel kann ich zeigen, dass nicht jede Riemann-integrierbare Fkt eine Stammfunktion hat? Hab mir überlegt, dass es Montone Funktionen zutreffen könnten? Oder lieg ich komplett falsch?

Gruß
eumolos
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann Integral
Nimm irgend eine nicht stetige, integrierbare Funktion. Ein einfaches Beispiel ist die sogenannte Heavyside-Funktion



im Intervall .
eumolos Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis. Kannst du mir aber noch sagen, warum die Treppenfunktion da zutrifft? Wäre sehr hilfreich, es zu verstehen.

Gruß
eumolos
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Integralfunktion (siehe Wikipedia für den Unterschied zwischen Stamm- und Integralfunktion)



von f(x) ist an der Stelle x=0 nicht differenzierbar, und somit keine Stammfunktion. Grund für diese Nichtdifferenzierbarkeit von F ist natürlich die Unstetigkeit von f an derselben Stelle!
gast Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, das ist noch nicht das richtige Argument. Es gibt unstetige Ableitungen, die Ableitung von x^2*sin(1/x) müsste hier wieder das Standardbeispiel sein.
Man kann jedoch zeigen, dass eine Ableitung auf einem Intervall stets die Zwischenwerteigenschaft erfüllt, also keine Sprungstellen haben kann und damit ist klar, dass die angegebene Funktion keine Stammfunktion haben kann.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gast
Ich denke, das ist noch nicht das richtige Argument.

Denken ist das eine - nachweisen, dass es kein richtiges Argument ist das andere. Ich habe mein Beispiel oben jedenfalls begründet.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Aber gast hat seine Aussage begründet und, wie ich finde, gute Argumente für die Unvollständigkeit deiner Schlußweise geliefert. Die Tatsache, daß du über die Integration keine Stammfunktion erhältst (was zweifellos richtig ist), sagt ja noch nicht, daß es nicht auf eine andere Art und Weise möglich wäre, eine solche zu erhalten.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich jetzt aber neugierig, Leopold:

Jede Stammfunktion einer auf jedem endlichen Intervall integrierbaren Funktion ist auch Integralfunktion+C (C ... Konstante), und welche anderen Integralfunktionen außer gibt es denn noch?

Oder wo ist jetzt mein Denkfehler?


EDIT:

Jetzt hat's bei mir Klick gemacht und ich verstehe jetzt deine grundlose Krümelkackerei:

Zitat:
Original von Arthur Dent
Die Integralfunktion (siehe Wikipedia für den Unterschied zwischen Stamm- und Integralfunktion)



von f(x) ist an der Stelle x=0 nicht differenzierbar, und somit keine Stammfunktion.

Damit war die Argumentation abgeschlossen und der Beweis der Richtigkeit des Beispiels erbracht.

Zitat:
Original von Arthur Dent
Grund für diese Nichtdifferenzierbarkeit von F ist natürlich die Unstetigkeit von f an derselben Stelle!

Was ist daran auszusetzen? Es geht hier um eine SPEZIELLE Unstetigkeit für diese SPEZIELLE Funktion. Ich habe doch nicht behauptet, dass für JEDE Funktion f eine Unstetigkeit an einer Stelle eine Nichtdifferenzierbarkeit ihrer Integralfunktion an derselben Stelle verursacht! unglücklich

EDIT2: Das blaue nachträglich eingefügt, um gasts pathologischen Funktionen Rechnung zu tragen. Ich dachte, wir reden hier sowieso nur über integrierbare Funktionen, aber wenn manche das anders sehen, bitte sehr.
gast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Da bin ich jetzt aber neugierig, Leopold:

Jede Stammfunktion ist auch Integralfunktion+C (C ... Konstante), und welche anderen Integralfunktionen außer gibt es denn noch?

Oder wo ist jetzt mein Denkfehler?

Das gilt nur für stetige Funktionen. Bei unstetigen Funktionen kann man mit der Integralfunktion überhaupt nicht argumentieren. Es gibt differenzierbare Integralfunktionen, obwohl der Integrand überhaupt keine Stammfunktion besitzt und es gibt Funktionen, die eine Stammfunktion besitzen, ohne, dass die Integralfunktion auch nur existiert.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Dass es differenzierbare Integralfunktionen, obwohl der Integrand überhaupt keine Stammfunktion besitzt, hat keiner bestritten.

Zum zweiten: Ok, bei
,
also

ist für die Integralfunktion

die Stelle 0 problematisch und nur im uneigentlichen Sinne definiert. Und wenn man darüber hinausgeht erst recht.

Ich komm halt aus der Stochastik, und da interessiert solcher pathologischer Kram keine Sau, W-Dichten sind nunmal immer nichtnegativ und da kann solches Zeug nicht passieren. Augenzwinkern


EDIT: Ach ja, und registrier dich mal, damit man auch weiß, mit wem man hier redet.
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