Hilfe bei Zwischenwertsatz

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Susu Auf diesen Beitrag antworten »
Hilfe bei Zwischenwertsatz
Guten Abend,

Brauche dringend hilfe, bei folgender Aufgabe. Kann mir bitte Jemand helfen? Bekomme sonst meinen Schein nicht.

Zeigen Sie den folgenden Zwischenwertsatz für Ableitungen:

Sei f: [a,b]-> eine differenzierbare Funktion. Falls
f' (a) f' (b), so nimmt f' auf ]a,b[ jeden Wert zwischen f'(a) und f'(b) an.

Hinweis: Betrachten Sie zuerst den Fall f'(a) < 0, f'(b) > 0.

Mfg
Susu
Susu Auf diesen Beitrag antworten »

Hab noch was vergessen:

Als Tip hab ich den Satz von Rolle und dass f hat ein extremum hat bekommen.

Mfg
Susu
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm, wie gesagt, erstmal f'(a)<0 und f'(b)>0 an und zeige, dass es dann ein Minimum gibt in (a,b). Ist gar nicht so schwer, du musst nur beachten, was f'(a)<0 und f'(b)>0 eigentlich aussagen.
Susu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss leider gar net wie ich das machen soll. Kann mir das net einer bitte zeigen? Wäre echt super...

Mfg
Susu
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wie geben hier keine Lösungen, sondern nur Tipps, du sollst ja die Aufgabe letztendlich selbst lösen können. Siehe dazu den Userguide.
Also noch mehr Tipps: Erstmal gilt Also gibt es eine rechtsseitige Umgebung von a, in der ist. Multipliziere mit (x-a). Ähnlich gehst du für b vor und dann zeigst mal, was du hast.
Susu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte auch net die Lösung haben.

Nur wie soll ich das mit (x-a) multiplizieren?

Mfg
Susu
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt doch wohl noch, wie man Ungleichungen multipliziert!
Bei Multiplikation mit ner negativen Zahl dreht sich das Relationszeichen um.
Ist x-a negativ? Beachte, was ich oben geschrieben hab:

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Also gibt es eine rechtsseitige Umgebung von a [...]
Susu Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiss echt net was ich machen muss, kannst du mir es net zu a zeigen und ich versuch es dann für b? Würde mir mehr helfen

Mfg
Susu
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wegen meiner Bemerkung gilt also immer x>a bzw. x-a>0. Multiplikation der obigen Ungleichung damit bringt bzw. .
Das gleiche jetzt für b machen!

edit: Was ist das denn für ein Schein?
Susu Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich probier mal:



so richtig?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Was bringt dir das? Du hast wohl nur von oben abgeschrieben. Ich glaube, du weißt nicht, was du da machst und du hast wahrscheinlich auch nicht verstanden, was ich gemacht habe. unglücklich

Erstmal nochmal die Frage: Was ist das für ein Schein?
Susu Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist Analysis 1. Ich hab mich bisher wenig mit Zwischenwertsatz, Mittelwertsatz beschäftigt. Daher meine Unwissenheit. War fast 2 Wochen krank, Kreislaufkolops.

Mfg
Susu
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also es gilt, wie du schon richtig festgestellt hast:



Dann mach erstmal weiter, mal sehen, was du hinbekommst.
Susu Auf diesen Beitrag antworten »

Muss jetzt nicht gelten: x < b und x-b > 0. Aber das wäre das selbe wie bei a.
Ich blick da net durch. Tut mir leid, dass ich mich so blöd anstelle.

Mfg
Susu
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also tut mir leid, aber so lässt sich nichts mit dir anfangen!
Langsam frag ich mich, was du in Ana1 suchst ...
x<b ist richtig, daraus folgt x-b<0 und nicht x-b>0, das ist 7. (?) Klasse!!!

edit: Aber eigentlich können wir das mit dem b auch lassen, is mir grad aufgefallen.
Kennst du den Extremalsatz? ("Eine stetige Funktion mit kompaktem Definitionsbereich ist beschränkt und besitzt sogar ein Minimum und ein Maximum.")
Wahrscheinlich nicht. Dann müssten wir es anders machen.
Susu Auf diesen Beitrag antworten »

muss es nicht so heissen?



Mfg
Susu
Susu Auf diesen Beitrag antworten »

den hatten wir soweit ich weiss, nicht in der Vorlesung...

Mfg
Susu
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

edit: Ich seh grad, dass wir doch das ganze für b noch machen müssen, ich hoffe aber, es ist kein Problem!


Das hatte ich doch oben auch so, was ist also falsch? So jetzt mach es so:

Du weißt, dass es eine rechtsseitige Umgebung von a gibt, in der ist und du weißt dann, dass es eine linksseitige Umgebung von b gibt, in der ist. Jetzt wählst du irgendein , so dass . Danach unterscheidest du zwei Fälle:
1. ist eine Minimalstelle.
2. Es ist keine Minimalstelle. Dann musst du den Zwischenwertsatz auf f anwenden und danach den Satz von Rolle! Probiers mal!
Susu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann dir leider net ganz folgen. Ober haben wir doch jetzt ein Extremum gezeigt. Davon können wir doch mit dem Satz von Roller bereits sagen, dass es ein x aus (a,b) mit f' (x)=0, oder ?

Mfg
Susu
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab nochmal n bißchen editiert, lies dir das nochmal durch!
Du kannst jetzt noch nicht den Satz von Rolle anwenden oder hast du schon gezeigt, dass f an zwei verschiedenen Stellen den gleichen Funktionswert annimmt? Nein, hast du nicht!!

Die Idee ist ungefähr folgende: Wir arbeiten mit dem weiter. Bei dem 1. Fall haben wir bereits ein Maximum. Beim 2. gehts so: Zeige, dass es ein gibt mit (sehr leicht). Dann zeige mit dem Zwischenwertsatz, dass nochmal angenommen wird und verwende dann den Satz von Rolle.
Susu Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Das hab ich soweit verstanden. Doch wie zeige ich das mathematisch? Kannst du mir da nochmal helfen?

Mfg
Susu
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du erstmal nach dem gleichen Schema von oben hinbekommen, dass f(x)<f(b) in einer Umgebung von b gilt?
Susu Auf diesen Beitrag antworten »

ich nehm an, analog zu a Umgebung?
Susu Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das meinst. Ja hab ich.

Mfg
Susu
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, halt so, wie wir es oben gemacht haben. Hast du das? Wenn ja, zeig mal!

PS: Ist das zu morgen auf?
Susu Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ist bis morgen. Das ganze ist doch genau anders herum. Also f'(a)>0 und f'(b)<0. Muss ich dann nicht extra hier rein schreiben, dauert zu lange. Frauen habens eben net so mit tippen. Augenzwinkern

Mfg
Susu
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das meinte ich nicht.
Wir sind immer noch bei f'(a)<0 und f'(b)>0. Wir haben gezeigt, dass es eine Umgebung von a gibt, in der . Jetzt musst du nach dem gleichen Schema noch zeigen, dass es eine Umgebung von b gibt, in der gilt!
Susu Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bin ich etwas verwirrt.



du meinst also, was daraus resultiert?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, richtig. Das jetzt wie oben:

Wegen gibt es eine linksseitige Umgebung von b, in der ist. Wegen , also folgt durch Multiplikation (Relationszeichen dreht sich um, weil Multiplikation mit negativer Zahl) , also , wie gesagt.
Jetzt weiter: Es gibt also für a und b jeweils eine Umgebung, in der bzw. ist. Also gibt es auch ein mit . Wie oben schon gesagt.
Jetzt zu den zwei Fällen: 1. ist eine Minimalstelle, was folgt dann für ?
2. ist keine Minimalstelle. Was folgt daraus? Denk daran, was eine Minimalstelle ausmacht und negiere das.
Susu Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit Minimalstelle? Das Minimum?

Mfg
Susu
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, halt die x-Stelle vom Minimum. Weil das Minimum ist ja eigentlich das Minimum der y-Werte. Egal.
Muss jetzt leider den PC ausmachen. Wann musst du denn morgen früh los? Vielleicht könntest du ja nochmal herkommen morgen früh, dass wir es da noch schnell machen. Ich muss gegen 9 losgehen, wann du?
t0}{!c Auf diesen Beitrag antworten »

ein x0 für das f(x0) das minimum ist

edit: er war schneller^^
Susu Auf diesen Beitrag antworten »

Muss auch so gegen 9h weg. Wäre echt net von dir.

Du meinst ja sicher die Bedingung wenn x <=y dann das ansonsten das?

Mfg
Susu
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wann wollen wir uns dann hier treffen? (mir is es ziemlich egal, wobei nach 6 schon angenehm wäre Big Laugh )
Susu Auf diesen Beitrag antworten »

ich würd sagen ab 7h frühstens, oder?
wird ja net mehr so lang dauern, denk ich. Sin ja schon recht weit. Danke schonmal bis hierher..

Mfg
Susu
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich werd gegen 7 da sein!
Es is übrigens schon noch n bißchen, aber wirklich nich mehr viel.
Bis dann. Wink Schläfer
Susu Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann bis morgen früh.

Gute Nacht
Susu
Susu Auf diesen Beitrag antworten »

also ich wäre jetzt da... Augenzwinkern

Mfg
Susu
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich auch. Augenzwinkern Mein Vater hat noch n bißchen Stress gemacht...

Also wir wissen ja, dass es diese Umgebungen von a und b gibt, in denen und gilt.

Also kannst du jetzt doch ein wählen, sodass kleiner als beides ist also .

Jetzt zu den zwei Fällen: 1. Fall ist eine Minimalstelle, was gilt dann für ?

Den zweiten Fall machen wir danach.
Susu Auf diesen Beitrag antworten »

also in der Vorlesung hatten wir, wenn f(x) < f(a), dann gibt es eine epsilon >0. Daraus folgte |a-x0| < epsilon. Kommt das hin?
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