substitution - was ist das?

13.02.2005, 19:13

babelfish

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substitution - was ist das?

bin hier im board wiedermal auf etwas gestoßen, was ich noch nicht kenne und gerne wüsste, wie es funktioniert und wofür man es gebrauchen kann...

substituieren!

hier in diesem thread http://www.matheboard.de/thread.php?sid=...2131#post122131 wurde dem verzweifelten studenten der tipp gegeben, die gleichung

x^4 - 2x^2 = -1

mit t=x^2 zu substituieren...
heißt das, man muss jedes x^2 mit t ersetzen, die gleichung nach t umstellen und dann anstatt t wieder x^2 schreiben?!
ungefähr so?

x^4 - 2x^2 = -1
t = x^2

=> t^2 - 2t = -1
t^2 - 2t + 1 = 0

(t-1)^2 = 0
=> t = 1

=> x^2 = 1

x1 = 1
x2 = -1

was bringt mir das denn? warum soll ich zwischenzeitlich mit anderen variablen rechnen, wenn ichs am ende doch wieder umänder?! verwirrt

verwirrt

please

Hilfe

13.02.2005, 19:18

zweiundvierzig

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Solche Gleichungen nennt man auch biquadratische Gleichungen. Da alle Glieder eine Potenz von x² sind, ist es sinnvoll, die Gleichung per Substitution (von lat. ersetzen) i eine simple quadartische Gleichuingen umzuwandeln. Diese lässt sich mit der ABC-, oder pq-Formel mit wenig Aufwand lösen. Dieses Substitutionsverfahren muss man am Ende wieder rückgängig machen, um korrekte Werte für x zu erhalten. Die Substitution spielt ausserdem bei Wurzelgleichungen und in der Analysis eine wichtige Rolle.

13.02.2005, 19:20

JochenX

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Zitat:

x^4 - 2x^2 +1= 0

ist eine gleichung 4. grades, die man nicht ohne weiteres lösen kann....
durch die substitution bringst du das auf eine quadratische gleichung, die du wiederum lösen kannst (mitternachtsformel, p,q-formel)...

das ist der ganze zauber bei dieser aufgabe...

versuchs doch mal an einer gleichung, wo du keine lösungen erraten kannst....
x^4-2x^2+2=0

probiers mal.... (kannst es auch gene erst ohne substitution versuchen)

willst mehr beispiele?

mfg jochen

13.02.2005, 19:20

derkoch

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du hast hier ne gleichung 4.grades vorliegen, durch die substitution führst du diese gleichung auf 2. grad zurück, diese kannst du anschließend mit der berühmten pq- formel , oder quadratische ergänzung lösen

13.02.2005, 19:28

babelfish

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*g* okay, okay! ich merke, das kann sehr praktisch sein!

@LOED:

x^4-2x^2+2=0

t=x^2

=> t^2 - 2t + 2 = 0

t1= 1 + wurzel(-1)

verwirrt

verwirrt

wurzel von -1 geht doch überhaupt nich...

/edit: achja, war das überhaupt richtig, was ich da am anfang fabriziert habe?!

13.02.2005, 19:31

JochenX

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richtig, das ist unlösbar im reellen....
aber hast du das an der form x^4-2x^2+2=0 schon erkannt?
dafür brauchst du substitution smile

smile

ja der anfang war richtig!

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13.02.2005, 19:34

babelfish

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Zitat:

Original von LOED
aber hast du das an der form x^4-2x^2+2=0 schon erkannt?
dafür brauchst du substitution smile

smile

Gott

konnte ich natürlich nicht erkennen!

yieppe! jetzt weiß ich wieder ein kleines bisschen mehr! Tanzen

Tanzen

13.02.2005, 19:37

zweiundvierzig

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Zitat:

wurzel von -1 geht doch überhaupt nich...

i rulez!

13.02.2005, 19:40

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

edit: gelöscht , falsche seite aufgerufen!
Big Laugh

Big Laugh

13.02.2005, 19:43

babelfish

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1 + 1i bzw
1 - 1i

ja, das hat mir der mathe tool hier auch gesagt! Big Laugh

Big Laugh

bringt mir aber leider noch recht wenig... : (

13.02.2005, 19:46

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

dann ignorier es einfach....
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-1}=i \end{eqnarray*}$ , aber für dich gibt's das noch gar nicht.....
als du noch bloss die rationalen zahlen kanntest hättest du von pi auch nichts wissen wollen..... Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit: wenn du's etwas genauer wissen willst, i ist eine komplexe Zahl.
die menge der komplexen zahlen (=C) sind eine körpererweiterung zu IR, und zwar vom grad 2.
C ist der kleinste Körper, der IR und die Wurzel aus -1 (kurz i genannt) enthält.
sehr interessant: der fundamentalsatz der algebra besagt, C ist algebraisch abgeschlossen.

wenn du mehr wissen willst, dann schau doch mal in den workshop dazu....

13.02.2005, 19:46

Leopold

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Ich will die Diskussion einmal auf einer höheren Ebene weiterführen. Ich halte die Substitution für ein grundlegendes Denkprinzip der Mathematik. Ohne sie kann man überhaupt keine moderne Mathematik machen. Ein einfaches Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \text{Der Satz des Pythagoras} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 = c^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{wenn } a,b \text{ die Längen der Katheten und } c \text{ die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks sind} \end{eqnarray*}$

Und jetzt betrachten wir ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Eine Symmetrieachse zerlegt dieses in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten $\begin{eqnarray*} \frac{a}{2}, h \text{ (Höhe)} \end{eqnarray*}$ und der Hypotenuse $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt kann man wunderbar sehen, ob jemand Mathematik begreift oder nicht. Vielen Menschen fällt es nämlich enorm schwer, sich von den Namen der Variablen zu lösen und jetzt die neuen Ausdrücke zu substituieren, insbesondere, wenn es wie hier auch noch eine Kollision des Bezeichners aus der Formel mit einem aktuellen Bezeichner gibt:

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{a}{2} \right)^2 + h^2 = a^2 \end{eqnarray*}$

13.02.2005, 19:54

babelfish

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-1}=i \end{eqnarray*}$

ja, ich habe auch durch dieses board ansatzweise mitbekommen, dass es da noch etwas außerhalb meiner reellen zahlenwelt gibt! danke! Augenzwinkern

Augenzwinkern

@leopold: klingt sehr philosophisch... aber ich verstehe was du meinst! substitution=ersetzen!

13.02.2005, 19:56

JochenX

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Zitat:

substitution=ersetzen

substituieren=ersetzen
substitution=ersetzung

13.02.2005, 19:57

babelfish

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Zitat:

Original von LOED

Zitat:

substitution=ersetzen

substituieren=ersetzen
substitution=ersetzung

sagt der, der nicht wusste, wie/ob er in seinem rang en komma zu setzen hat! Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.02.2005, 19:59

JochenX

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Hammer

babelfish, du hast ja so recht.........
na hauptsache, das grundproblem wurde beseitigt!

edit: komma eingefügt

13.02.2005, 20:02

babelfish

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Zitat:

Original von LOED
Hammer

Hammer

babelfish, du hast ja so recht.........
na hauptsache, das grundproblem wurde beseitigt!

ja, alles klar! smile

smile

Zitat:

edit: komma eingefügt

so ists recht! Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.10.2006, 23:26

Döner

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nötig?
Aber trotz allem ist die Substitution doch nicht zwingend nötig... man könnte auch von x^4+x^2+1 druch a-b-c-formel (a=x^2;b=x;c=1) auf ein vernünftiges Ergebnis kommen. Schließlich kann man uja auch x^2*x^2+x*x+1 schreiben. Auch wenn umständlich ist es zumindest nicht FALSCH, oder?

31.10.2006, 00:13

zweiundvierzig

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Dann hättest Du einen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Wert, der von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt. Das ist nicht falsch, aber nutzlos.

21.12.2007, 14:03

Lisbeth

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RE: substitution - was ist das?
verwirrt

verwirrt

tut mir leid, aber aufgrund meiner diskalkolie ist es für mich immer etwas schwerer die mathematik zu begreifen...
und ich habe immer noch nicht ganz verstanden WOFÜR ich die substitution nun benötige...was es ist, und wie sie funktioniert, ja, das kann man nachvollziehen, aber wieso müssen wir etwas umwandeln, wenn es zum schluss sowieso wieder "zurück gewandelt" wird.
für mich fehlt da (wie so oft in mathe) die logik...
wäre nett, wenn jemand eine idiotensichere antwort für mich hätte =)
vielen dank schonmal

21.12.2007, 15:54

ushi

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RE: substitution - was ist das?
ich zeigs dir an einem einfachen beispiel:

du willst diese gleichung lösen:

$\begin{eqnarray*} x^4-8x^2+7=0 \end{eqnarray*}$

leider fällt dir keine lösungsvorschrift ein. also:

$\begin{eqnarray*} x^2=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^2-8t+7=0 \end{eqnarray*}$

oh. das sind schon besser aus. da kenn ich doch die formel:

$\begin{eqnarray*} t_{1,2}=-\frac p2\pm \sqrt{\left( \frac p2\right) ^2-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_{1,2}=4\pm \sqrt{16-7} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_1=7~\text{und}~t_2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2=t_1~\rightarrow x^2=7~\rightarrow x_{1,2}=\pm\sqrt{7} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2=t_2~\rightarrow x^2=1~\rightarrow x_{3,4}=\pm 1 \end{eqnarray*}$

edit: desweiteren spielt die substitution beim intergrieren eine große rolle. viele funktionen lassen sich nicht einfach integrieren. da ersetzt man teile des integranten, integriert und resubstituiert. dann hat man die stammfunktion.

21.12.2007, 16:28

vektorraum

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RE: substitution - was ist das?

Zitat:

Original von Lisbeth
und ich habe immer noch nicht ganz verstanden WOFÜR ich die substitution nun benötige...was es ist, und wie sie funktioniert, ja, das kann man nachvollziehen, aber wieso müssen wir etwas umwandeln, wenn es zum schluss sowieso wieder "zurück gewandelt" wird.

Also ist die Frage vielmehr nach dem Sinn und Zweck:

Gut, Ushi hat ein Beispiel gegeben, den Sinn noch nicht so richtig erklärt. Deshalb will ich das mal ergänzen.

Die Substitution im obigen Beispiel ist dort sehr sinnvoll, da man zwar Formeln für die Bestimmung der Lösungen von Gleichungen vierten Grades kennt, die aber ungeheuer kompliziert sind. Deshalb gibt es einige Fälle, in dem man nicht mit so einem Geschütz ankommen muss und zunächst eine Substituion versucht. Durch die Substitution reduziert sich die zu lösende Gleichung auf eine vom Grad 2. Diese sind in der Regel sehr einfach zu lösen, da die Lösungsformel sehr einfach ist. Man muss danach natürlich wieder zurücksubstituieren, weil man ja die Lösungen der Ausgangsgleichungen sucht und nicht die der Gleichung zweiten Grades.

Noch extremer wird es bei einer Gleichung vom Grad 6. Dort gibt es gar keine Lösungsformeln, sondern man muss im allgemeinen hoffen, dass eine besondere Struktur vorliegt, so dass eine Substitution hilft, die die Gleichung auf den Grad 3 reduziert, wo wir widerrum Lösungsformeln kennen.

Ist dir das jetzt klarer geworden???

21.12.2007, 21:51

ethused-Earthling

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RE: substitution - was ist das?

Zitat:

Original von vektorraum
Die Substitution im obigen Beispiel ist dort sehr sinnvoll, da man zwar Formeln für die Bestimmung der Lösungen von Gleichungen vierten Grades kennt, die aber ungeheuer kompliziert sind.

Die Lösungsformel für biquadratische Gleichungen müsste $\begin{eqnarray*} x_ {1,2,3,4}= \pm \sqrt { - \frac {p}{2} \pm \sqrt { ( \frac{p}{2} )^2 - q} } \end{eqnarray*}$ lautet.
Sooo ungeheuer kompliziert ist die nun auch nicht.

21.12.2007, 22:01

tmo

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ich glaube vektorraum hat eher allgemein gleichungen der form $\begin{eqnarray*} x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \end{eqnarray*}$ gemeint.

und ich persönlich substituiere lieber jedesmal aufs neue, statt irgendwelche formeln zu lernen Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.12.2007, 22:42

ethused-Earthling

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo
ich glaube vektorraum hat eher allgemein gleichungen der form $\begin{eqnarray*} x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \end{eqnarray*}$ gemeint.

und ich persönlich substituiere lieber jedesmal aufs neue, statt irgendwelche formeln zu lernen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Achso, hab mich schon gewundert... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Natürlich hat jeder Weg beim Lösen einer biquadratischen Gleichung seine eigenen Vor- und Nachteile.
Letzendlich ist es doch geschmackssache, vorrausgesetzt der Aufwand unterscheidet sich nicht zu sehr. Darüber kann man sich jetzt streiten...

22.12.2007, 01:14

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo
ich glaube vektorraum hat eher allgemein gleichungen der form $\begin{eqnarray*} x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \end{eqnarray*}$ gemeint.
...

Nein, das hat er - denke ich mal - sicher nicht, denn hier führt keine Substitution zum Ziel, zumindest nicht diese $\begin{eqnarray*} x^2 = t \end{eqnarray*}$

mY+

22.12.2007, 12:11

ushi

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ich wollte eigentlich nur ein anschauliches beispiel bringen und da man als schüler nur begrenzt mit lösungsformeln für gleichungen die über den dritten grad hinausgehen zu tun hat, finde ich vektorraums aussage nicht unbedingt so fehl am platz. aber macht ruhig weiter.

23.12.2007, 00:37

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein schönes Beispiel für eine Substitution bei einer Gleichung 4. Grades kann man dann geben, wenn diese Gleichung symmetrisch ist (sie hat reziproke Lösungen, daher heisst sie auch reziproke Gleichung):

$\begin{eqnarray*} 6x^4 - 35x^3 + 62x^2 - 35x + 6 = 0 \end{eqnarray*}$

Division durch $\begin{eqnarray*} x^2 \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6x^2 - 35x + 62 - \frac{35}{x} + \frac{6}{x^2} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6(x^2+\frac{1}{x^2}) - 35(x + \frac{1}{x}) + 62 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Substitution: } \ x + \frac{1}{x} = u \ \to x^2+\frac{1}{x^2} = u^2 - 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6u^2 - 35u + 50 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_1 = \frac{5}{2}; \ u_2 = \frac{10}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_1: \to \ x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \ \to \ x_1 = 2; \ x_2 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_2: \to \ x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3} \ \to \ x_3 = 2; \ x_4 = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

mY+

01.03.2010, 20:39

FaulPelz

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So, nun frag ich dann hier nach.

Wie wurde im letzten Schritt rücksubstituiert?

01.03.2010, 20:47

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

So wie immer:

Deine Substitution liefert dir den (gewollten) Zusammenhang zwischen u und x. u kennst du nun, x willst du aber.
Das ist eine Gleichung mit einer Unbekannten. Soll heißen: Nach x auflösen und das u einsetzen.

Im Fall von mYthos' Beispiel erzeugt das aber wiederum eine quadr. Gleichung, die man ja aber problemlos lösen kann.

air

01.03.2010, 20:54

FaulPelz

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Hmm, okay...

$\begin{eqnarray*} x + \frac{1}{x} = u |-\frac{1}{x} <br /> x = u - \frac{1}{x} |\cdot x<br /> x^2 = u - 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x =\sqrt{u-1} \end{eqnarray*}$

01.03.2010, 20:54

mYthos

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Die Rücksubstition stand doch auch schon da (für u den vorhin errechneten Wert einsetzen!):

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x + \frac 1 x = \frac 5 2 \end{eqnarray*}$

Was hindert dich jetzt daran, nach x aufzulösen?

mY+

01.03.2010, 20:56

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

@ FaulPelz

Nein, da hast du einen Fehler gemacht.
Wenn du x = u - 1/x mit x multiplizierst, erhälst du x² = ux - 1.

Alles auf eine Seite bringen und dann kannst du die pq- oder Mitternachtsformel nehmen und erhälst die beiden x-Werte, die zum u-Wert gehören.

air

01.03.2010, 21:05

FaulPelz

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dank deines Hinweises habe ich es jetzt auch verstanden smile

smile

danke

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