Grenzwertermittlung von dieser Funktion?

13.02.2005, 20:16

streamilein

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Grenzwertermittlung von dieser Funktion?

Hallo,

es soll an der Polstelle folgender Funktion der Grenzwert ermittelt werden.

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{x} + \frac{1}{e^x -1 } \end{eqnarray*}$

ich habe jetzt was probiert und habe folgende Lösung rausbekommen.

lim x->0 von rechts (+) = 0
lim x->0 von links (-) = 2*unendlich

es ist sehr wichtig weil ich demnächst ne Klausur schreibe.
ist das richtig was ich gelöst habe oder wie muss ich vorgehen?
ich wäre um ne richtige Lösung mit Rechenweg 1000mal dankbar.

13.02.2005, 20:39

t0}{!c

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Also laut Wertetabelle müsste es sowohl von rechts als auch von links gegen 0.5 gehen.

Vor allem darfst du nicht sagen dann unendlich + unendlich = 2*unendlich und unendlich - unendlich = 0. unendlich ist keine Zahl, folglich kann es auch kein grenzwert sein, weder kann man damit auf einen grenzwert kommen, wenn unendlich nicht weiter im term neutralisiert wird (z.B. (1/x)^0 für x->0). Du musst deinen Term also erst so umformen, dass du nichts mehr da hast was unendlich gibt.

13.02.2005, 20:43

iammrvip

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Ich würd's so machen: Hauptnenner bilden, zweimal l'Hôspital.

13.02.2005, 21:22

Mathespezialschüler

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Ich glaub, du gehst da falsch ran: Wahrscheinlich hast du bei "von rechts gegen 0" dann $\begin{eqnarray*} -\infty+\infty \end{eqnarray*}$ da stehen gehabt. Das muss aber nicht 0 sein!!! unendlich ist keine Zahl, damit kannst du nicht rechnen wie mit Zahlen. Bei "von links gegen 0" hattest du wohl $\begin{eqnarray*} \infty+\infty \end{eqnarray*}$ . Das stimmt nicht. $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ geht für x von links gegen 0 gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^x-1} \end{eqnarray*}$ geht für x von links gegen 0 aber gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ , also steht da $\begin{eqnarray*} \infty-\infty \end{eqnarray*}$ und wie gesagt kann da alles rauskommen und nicht nur 0!!
Du musst also einen anderen Weg finden!

13.02.2005, 21:52

streamilein

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@Mathespezialschüler und wie wäre der andere Weg? Könntest du den bitte beschreiben?

13.02.2005, 21:55

Leopold

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Was hast du denn für Vorkenntnisse? Schule? Universität? Mathematikstudium? Mathematik für Naturwissenschaftler?

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13.02.2005, 22:02

streamilein

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naja ist eine Aufgabe aus meinem Studium aber irgendwie komm ich mit den Grenzwerten nicht zurecht.

13.02.2005, 22:05

Leopold

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Wenn du Potenzreihen kennst, kannst du das mit einer begrenzten Potenzreihenentwicklung herausbekommen. Aber auch der von iammrvip vorgeschlagene Weg über L'Hospital ist gut gangbar.

13.02.2005, 22:09

streamilein

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ja das mit l`Hopital ist mir bekannt, das andere leider nicht.

ich hab jetzt mal den l´Hopital zweimal angewendet und kam jetzt auf das Ergebnis -1/2

ist das korrekt?

13.02.2005, 22:15

Leopold

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Das ist korrekt.
Die Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist übrigens keine Polstelle, sondern eine Hebbarkeitsstelle, eben weil der Grenzwert existiert.

Ich weiß nicht, ob dir der Begriff der meromorphen Funktion vertraut ist. Die vorgelegte Funktion ist nämlich eine solche. Und da gibt es an den singulären Stellen nur den Fall eines Poles oder eines endlichen Grenzwertes. Dein Ergebnis aus dem ersten Beitrag ist also von vorneherein unmöglich. Im nachhinein stellt sich diese Funktion sogar als holomorph heraus.

13.02.2005, 22:27

streamilein

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meromorphen Funktion sagt mir überhaupt nichts :-(

Was ich jetzt allerdings hier jetzt nicht verstanden habe warum ich in der Ausgangssituation nicht gleich 0 einsetzen konnte um zu schauen was passiert.

Kann mir vll jemand ne kleine Anleitung geben wie man bei der Grenzwertberechnung vorgehen muss? Oder wo kann ich sowas finden?

13.02.2005, 22:40

Leopold

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Wenn ein sogenannter unbestimmter Ausdruck entsteht, ist die Grenzwertberechnung nur durch Termumformung und/oder ein schärferes Hilfsmittel wie L'Hospital möglich. Insofern war iammrvips Tip genau der richtige: Den Term auf Bruchform bringen, um L'Hospital anwenden zu können.

Die wichtigsten unbestimmten Ausdrücke sind

$\begin{eqnarray*} \infty - \infty, \ \frac{\infty}{\infty}, \ 0 \cdot \infty, \ \frac{0}{0}, \ 0^0 \end{eqnarray*}$

Diese Ausdrücke sind symbolisch zu lesen. Der erste ( $\begin{eqnarray*} \infty - \infty \end{eqnarray*}$ ) etwa steht für den Fall:

Gegeben eine Summe, in der der erste Summand gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ und der zweite gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ strebt. Wie verhält sich die Summe?

Nicht als unbestimmter Ausdruck gilt z.B.

$\begin{eqnarray*} \infty + \infty \end{eqnarray*}$

Denn wenn beide Summanden gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ streben, so strebt auch die Summe gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ . Das wird gelegentlich auch so geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \infty + \infty = \infty \end{eqnarray*}$

Aber auch das ist nur symbolisch zu verstehen und keineswegs im Sinne einer Gleichung reeller Zahlen.

14.02.2005, 01:35

streamilein

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jetzt hab ich nochmal ne andere Funktion gelöst.

$\begin{eqnarray*} \frac{e^x-2^{x}}{x} \end{eqnarray*}$
und lim x->0

ich habe jetzt wieder einmal den l´Hopital angewendet.

und hab dann

$\begin{eqnarray*} \frac{e^x-(ln 2)* 2^{x}}{1} \end{eqnarray*}$

heraus und wenn ich jetzt hier die 0 einsetze kommt 0,31 heraus.

ist das korrekt das der Grenzwert also 0,31 ist?

14.02.2005, 01:44

Seimon

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korrekt $\begin{eqnarray*} 1-ln(2) \end{eqnarray*}$ ist der Grenzwert smile

smile

14.02.2005, 01:52

streamilein

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cool ich glaub so langsam kapier ich ein wenig mehr. wenn du mir jetzt noch sagst dass bei folgender Funktion gegen 0 raus kommt dann ist die Welt wieder in Ordnung.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} * ln x \end{eqnarray*}$ x>0;

lim x->0;

ich muss doch jetzt hier einfach ne Wertetabelle machen mit z.B. den Werten für x:

0,1; 0,01; 0,0001 und dann seh ich das die Funktion gegen 0 geht. Ist das so korrekt?

14.02.2005, 02:20

Seimon

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} * ln x=\frac{ln x}{\frac{1}{\sqrt{x}}} \end{eqnarray*}$

-> L'Hospital geschockt

geschockt

14.02.2005, 02:38

streamilein

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bist du dir da ganz sicher das ich da auch l´Hopital anwenden muss. ich hab das auch mal gedacht aber egal wie oft ich den l´Hopital anwende kommt doch immer irgendwie die Form 0/0 raus oder net?

14.02.2005, 06:36

Leopold

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siehe hier (mit a=½)

14.02.2005, 14:07

Frooke

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@Leopold
Könntest Du mal einem Nichtwissenden erklären, was holomorph und meromorph genau bedeutet? Dankeschön Frooke Gott

Gott

14.02.2005, 14:36

Seimon

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Zitat:

Original von streamilein
bist du dir da ganz sicher das ich da auch l´Hopital anwenden muss. ich hab das auch mal gedacht aber egal wie oft ich den l´Hopital anwende kommt doch immer irgendwie die Form 0/0 raus oder net?

also nach der Umformung steht da: $\begin{eqnarray*} \frac \infty \infty \end{eqnarray*}$

nach 1 mal L'Hospital + kürzen nicht mehr!

wie kommst du auf 0/0 verwirrt

verwirrt

14.02.2005, 15:00

MATA

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Also für mich steht da $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} ln x/ (1/\sqrt{x}) = 0/0 \end{eqnarray*}$ .... oder sehe ich das falsch?

P.S.: Wie stellt man mit dem Formeleditor Brüche vernünftig dar?

14.02.2005, 15:26

Seimon

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setz mal kleine Zahlen (0.0000001), dann siehst du:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} ln(x)=-\infty \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac 1 { \sqrt x}=\infty \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von MATA
P.S.: Wie stellt man mit dem Formeleditor Brüche vernünftig dar?

mit \frac {Zähler} {Nenner}

14.02.2005, 16:59

Leopold

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Zitat:

Original von Frooke
@Leopold
Könntest Du mal einem Nichtwissenden erklären, was holomorph und meromorph genau bedeutet? Dankeschön Frooke Gott

Gott

Ich hätte diese Begriffe nicht in die Debatte werfen sollen. Aber nachdem sie nun gefallen sind, so viel dazu:

"holomorphe Funktion" und "meromorphe Funktion" stehen etwa im selben Verhältnis zueinander wie "ganzrationale Funktion" und "rationale Funktion".

ganzrational: kann durch Polynom beschrieben werden
rational: kann durch einen Quotienten von Polynomen beschrieben werden

holomorph: kann lokal durch eine Potenzreihe beschrieben werden
meromorph: kann lokal durch einen Quotienten von Potenzreihen beschrieben werden

14.02.2005, 18:28

streamilein

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@Seimon

kannst du mir das vielleicht noch genauer hinschreiben? Wäre echt super von dir.

wenn ich doch den L´Hopital auf $\begin{eqnarray*} \frac{ln x}{x^{-1/2} } \end{eqnarray*}$ anwende dann kommt doch

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{x}}{-0.5x^{-1.5} } \end{eqnarray*}$

heraus oder nicht?

14.02.2005, 18:37

Seimon

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$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{x}}{-0.5x^{-1.5} } =x^{-1} \cdot (-0.5)^{-1} \cdot x^{1,5} \end{eqnarray*}$

14.02.2005, 18:52

streamilein

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ok. und was habe ich jetzt erreicht? wenn ich jetzt 0 einsetze dann seh ich ja das es gar nicht geht weil ich ja 0^-1 nicht machen darf.

oder habe ich jetzt wieder was übersehen?

14.02.2005, 19:09

Seimon

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du kannst da noch was vereinfachen!

$\begin{eqnarray*} x^{-1} \cdot x^2= \frac {x^2} x = x \end{eqnarray*}$

also ist

$\begin{eqnarray*} x^{-1} \cdot x^{1,5}= ? \end{eqnarray*}$

14.02.2005, 19:20

streamilein

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das wäre dann x^1/2

und daraus folgt -0,5^-1 * x^1/2

aber ich hab´s noch immer nicht erkannt :-(

Für mich kommt da jetzt immer noch 0 raus. oder ist das sogar korrekt?

14.02.2005, 19:32

Seimon

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Zitat:

Original von streamilein
Für mich kommt da jetzt immer noch 0 raus. oder ist das sogar korrekt?

bis jetz kam immer 0/0 raus! jetzt kommt 0 raus, du bist fertig und korrekt ist es auch sogar noch Rock

Rock

14.02.2005, 19:51

streamilein

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vielen vielen Dank für deine Geduld. Echt Klasse

14.02.2005, 20:01

Seimon

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kein Problem, macht ja Spass! fröhlich

fröhlich

14.02.2005, 20:42

Frooke

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@Leopold: Vielen Dank für die Erklärungen, obwohl ich ehrlich sein muss, dass sie mir zu hoch sind, weil ich gar ned weiss, was Potenzreihen sind... Aber danke trotzdem smile

smile

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