Unendliche Wurzelreihen

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Frooke Auf diesen Beitrag antworten »
Unendliche Wurzelreihen
Hallo!
Ich habe mich vor kurzem mit einer Aufgabe befasst: Hilfe

Da ich nicht genau wusste, wie ich sie angehen sollte, habe ich mir überlegt, diese Summe als Folge zu schreiben:



Nun habe ich den Limes gerechnet:

Also ist


Nun weiss ich leider nicht ob das stimmt traurig
Und ich würde gerne den allgemeinen Fall berechnen... Das ginge nach dieser Methode so:



Also

Ich setze

Die Umformung ergibt:

Ich kann das doch nun schreiben als
. Das Minus macht ja keinen Sinn, wenn es sich um eine Summe handelt... Also ist doch nur die + Lösung von Belang... verwirrt
Erstaunlich ist nun, dass
Kann mir nun jemand helfen und mir sagen, ob das, was ich hier geschrieben habe Schwachsinn ist, oder ob es womöglich gar stimmt? Wäre für jede Antwort dankbar...
Vielen Dank für die Bemühungen und das Durchlesen dieses langen Threads... smile
Thomas L. Auf diesen Beitrag antworten »

das kann man aber nur so machen wenn man weiss das die reihe auch konvergiert. Für ist die Reihe monoton steigend und nicht beschränkt.
pimaniac Auf diesen Beitrag antworten »

Ne das passt....

Thomas: du mußt aufpassen dass is keine normale Reihe!!!
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

@ Thomas L.: Hmm, sorry, ich weiss nicht genau, was Du meinst... verwirrt

Sie konvergiert ja auch für

Dann ist der Grenzwert , oder nicht?

Für ergibt es den Grenzwert 2.

Da bin ich zwar nicht sicher, aber das Eintippen in den Taschenrechner bestätigt die Vermutung (was natürlich nichts heissen soll weil ich ja nur endlich viele Schritte in den TR eingetippt hab Augenzwinkern )

Das sollte doch für alle Zahlen von 0 bis unendlich klappen... Meine Frage war eigentlich, ob die Umformung zu einer Folge und der Einsatz des Limes in diesem Fall erlaubt ist...

@ Pimaniac: Sowas nennt man doch dann eine rekursive Folge, oder täusch ich mich da?

Ausserdem: Wenn Du sagst, dass das passt, müsste eine ähnliche Vorgehensweise auch für andere Operationen klappen oder...

So wäre

Die eingesetzte Zahl entspräche also dem Grenzwert...

Ich werde mir das nochmal für einen exponentiellen Wurzelturm, Divisionen usw. überlegen...

EDIT: Nachträge geschrieben...
t0}{!c Auf diesen Beitrag antworten »

Kleine Info am Rande:

Die Zahl (1.618...) heißt Phi.

Der Goldene Schnitt bezeichnet das Verhältnis Phi : 1, bei dem die größere der beiden Strecken, die entstehen wenn man eine Strecke in ihm Teilt, wieder das gleiche Verhältnis zu der Ursprungsstrecke aufweist.

[----------a----------]
[-----b-----][----c---]

a = b + c

b / c = 1 / Phi


c / a = 1 / Phi
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

@t0}{!c: Danke für den Tipp! Ich wusste, dass es da eine Bezeichnung gibt, aber nicht mehr welche... Freude

Also editier ich das mal oben... Vielen Dank!
 
 
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendliche Wurzelreihen
Wie kommst du denn auf

Ich würde das gerne nachvollziehen. Aber es gelingt mir nicht verwirrt
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von t0}{!c
Kleine Info am Rande:

Die Zahl (1.618...) heißt Phi.

Der Goldene Schnitt bezeichnet das Verhältnis Phi : 1, bei dem die größere der beiden Strecken, die entstehen wenn man eine Strecke in ihm Teilt, wieder das gleiche Verhältnis zu der Ursprungsstrecke aufweist.

[----------a----------]
[-----b-----][----c---]

a = b + c

b / c = 1 / Phi


c / a = 1 / Phi


achtung! korrekt muss es heißen:
a/b=b/c=phi
b ist in der skizze eindeutig der größere streckenteil, also ist c/a=1/phi falsch!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fasse mal die "Erkenntnisse" zusammen:

Sei mit irgend einer (festen) Zahl x>0, sowie die positive Nullstelle der quadratischen Funktion . Anzumerken ist, dass dann für alle gilt (braucht man bei 2) unten).

Dann kann man mittels Vollständiger Induktion nachweisen:

1)

2) (unter Benutzung von a) !)

Damit hat man Konvergenz, und der Grenzwert kann dann nur sein.
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

@ Arthur Dent: Gratuliere, du hast 1999 Beiträge. Beim nächsten trink ich einen auf dich! Prost ! Fernes Prost aus der Schweiz für dich! Augenzwinkern

Nun zur Mathematik: Danke für deine mathematische Legitimierung meiner Überlegungen! Heisst da, dass das so stimmt?

@t0}{c!: Habs trotzdem verstanden, danke! Wink

Gruss
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendliche Wurzelreihen
Im Grunde genommen meinst du wohl das richtige, aber mit einigen Schreibweisen kann ich natürlich nicht einverstanden sein, wie z.B.

Zitat:
Original von Frooke



Deshalb wollte ich alles nochmal "ordentlich" aufschreiben und gleich einen Weg weisen, wie man die Konvergenz solide nachweisen kann.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe auch diesem Post.
Das kann man, wenn man das verallgemeinert, auf sehr viele rekursiv angegebene Folgen anwenden. Diese Verallgemeinerung heißt dann Fixpunktsatz. Augenzwinkern
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur Dent: Da muss ich noch was erklären wegen meiner Schreibweisen, sorry. Ich meinte nicht:

Und dabei soll aus folgen...

Sondern

Und mit dem Limes für n gegen unendlich also:

Nur hab ich das grad hintendran geschrieben, als wäre es eine Folgerung aus dem davor... Ist nicht sehr vorteilhaft Hammer

Aber so wie ichs jetzt erklärt habe, ist es ok? verwirrt

Danke für die Bemühungen! Gott

@MSS: Danke für den Link! Freude Und zu diesem Fixpunktsatz: Kannst Du den mal erläutern? Wäre cool! Danke!

PS. Dass das auf viele Folgen anwendbar ist, bin ich grad am anschauen (siehe oberer Post wegen der Produkte, des «Exponentenwurzelturms» usw...)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, anscheinend hast du meinen Einwand oben nicht ganz verstanden:
Zitat:
Original von Frooke
Und mit dem Limes für n gegen unendlich also:


Wenn du den Limes bildest, darfst du doch nicht weiter schreiben! Du meinst sicher mit , natürlich nur, falls letzterer Grenzwert existiert.
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Ach sooooo! Hammer Sorry, klar! Hatte ein Brett vor dem Kopf. Nichts für ungut! Gott
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreib dir erstmal den Fixpunktsatz hin, weiß aber nicht, ob du ihn verstehst.

Ist die Funktion monoton und stetig und definiert man die Iterationsfolge durch die Festsetzung

für mit beliebigem ,

so strebt monoton gegen einen Fixpunkt von f.

Ein Fixpunkt ist ein Punkt, für den gilt.
Beispiele:

Sei a eine nichtnegative Zahl und eine positve Zahl, dann konvergiert die durch



definierte Folge monoton fallend gegen .
In diesem Fall ist . Und nach dem Satz muss ein Fixpunkt von f sein, also . Das stimmt auch, denn

.

Weiteres Beispiel:

Ist a>0 und , dann strebt die Folge mit monoton steigend gegen .


edit: Danke, hab die latex-Codes verbessert. Musste leider kurz weg, deswegen konnt ichs mir nicht mehr angucken.
N8schichtler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Ich schreib dir erstmal den Fixpunktsatz hin, weiß aber nicht, ob du ihn verstehst.

Ist die Funktion monoton und stetig und definiert man die Iterationsfolge durch die Festsetzung

für mit beliebigem ,

so strebt monoton gegen einen Fixpunkt von f.

Ein Fixpunkt ist ein Punkt, für den gilt.
Beispiele:

Sei a eine nichtnegative Zahl und eine positve Zahl, dann konvergiert die durch



definierte Folge monoton fallend gegen .
In diesem Fall ist . Und nach dem Satz muss ein Fixpunkt von f sein, also . Das stimmt auch, denn

.

Weiteres Beispiel:

Ist a>0 und , dann strebt die Folge mit monoton steigend gegen .


Kann unser Spezialschüler kein LaTeX mehr?
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathespezialschüler: Danke für die Erklärung, aber das is mir leider zu hoch... Hmm. Ich seh auch den Zusammenhang zu «meinen» Folgen ned ganz...EDIT: Sorry, den seh ich jetzt... Hammer EDIT: Freude

Ich werds mir nochmals in Ruhe anschauen... Muss jetzt weg! Danke doch für die Mühe!

EDIT: Habs mir angeschaut und habe jetzt ein paar konkretere Fragen: Augenzwinkern
1. Was ist der Unterschied zwischen nichtnegativ und positiv?

2. Du meinst ja im Fixpunktsatz mit dem Fixpunkt eigentlich den Punkt (k|f(k))... Ich habe aber als Fixpunkt immer etwas anderes verstanden. Das war für mich z.B. ein Punkt, der bei einer Kurvenschar Element von allen Kurven (Schaubildern) ist, also parameterunabhängig ist... Benutze ich da eine falsche Bezeichnung?

3. Willst Du damit aussagen, dass «meine» Wurzelfolgen Folgen sind, auf die der Fixpunktsatz zutrifft? Wenn ja, hätte ich es wohl begriffen...

4. Letzte Frage: Big Laugh Warum definierst du deine Funktion auf einem Intervall [a,b]? Ich sehe den Zweck davon nicht...?

Vielen Dank für deine Hilfe! Lieber Gruss Frooke Wink
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

1. a ist nichtnegativ, wenn und a ist positiv, wenn .

2. Nein, ich meine einen Punkt (k,k).
Es gibt mehrere Sachen, die man mit Fixpunkt bezeichnet, z.B. in der Geometrie. Ich habe deine Bezeichnung zwar noch nicht gehört, kann mir aber gut vorstellen, dass das Fixpunkt heißt, weil Fixpunkt so viel wie "fester Punkt" heißt.

3. Ja, das sind sie.

4. Meinst du jetzt, warum der Definitionsbereich [a,b] ist oder meinst du, warum der Wertebereich [a,b] ist? Oder meinst du, warum beide gleich sind?
Wenn du das auf den Definitionsbereich bezogen hast, würd ich folgendes sagen:
Allgemein werden in der Schule ja fast nur Funktionen mit den Wertebereichen R oder R+ oder R ohne 0 o.Ä. behandelt.
In der "Höheren Mathematik" möchte man allerdings möglichst viele Funktionen betrachten und das mit dem Intervall hat auch noch andere Vorteile.

Wenn es auf den Wertebereich bzw. auf beides zusammen bezogen ist, dann würd ich anders antworten. Meinst du das?
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

@MSS: Vielen mächtigen Dank für deine Ausführungen! War alles sehr gut erklärt! Freude Und danke, dass Du Dir die Zeit dafür genommen hast!

Nur noch etwas Kleines: Ob man den Punkt (k|f(k)) nennt oder (k|k) ist doch eigentlich irrelevant, da f(k)=k. Oder? Auf jeden Fall ist deine Schreibweise unumständlicher...

Und zu 4. Ich meinte eigentlich den Definitionsbereich und den Wertebereich...
Du könntest doch deine Funktionen genausogut einfach mit definieren. Oder würde das etwas ändern?

Danke für alles! Gruß Frooke Wink
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, natürlich kannst du auch f(k) hinschreiben, dann musst du aber vorher explizit sagen, dass f(k)=k ist! Denn die Punkte der Form (x,f(x)), bei denen nicht f(x)=x gesagt wird, das sind ja einfach nur die Punkte des Graphen und die können ja sehr beliebig sein.

Also das mit dem R nach R ist so eine Sache. Weil: Es gibt ja sowieso schon in der Schule Funktionen, die nicht auf ganz R definiert sind.
Und in der Höheren Mathematik da gibts noch ganz andere Funktionen und wie gesagt, es ist oft vorteilhaft, es so zu machen, um es so allgemein wie möglich zu halten. Denn so erfasst man viel mehr Funktionen, auf die man den Satz dan anwenden kann. Mit deiner Version hätte man viel weniger Funktionen, die man erfassen würde.
Außerdem kann man ja jede Funktion mit Definitionsbereich R auch "künstlich reduzieren" auf eine mit einem anderen Definitionsbereich. Das is also kein Problem.

Übrigens: Weißt du, warum bei der Funktion Definitions- und Wertebereich übereinstimmen müssen bzw. zumindest der Wertebereich eine Teilmenge des Definitionsbereiches sein muss?
Warum geht da z.B. nicht ein Funktion ?? Dass der Definitionsbereich [3;5] ist, bedeutet ja, dass die Funktion für alle anderen Zahlen nicht definiert ist. Weißt du's jetzt?

PS: Das is ne kleine Fangfrage, aber sehr gut zum Verständnis für dich.
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Da es eine Fangfrage ist, werde ich bestimmt darauf hereinfallen Big Laugh !

Ich versuchs nun aber trotzdem:

Ich würde sagen, dass dein Beispiel nicht funktioniert, weil ja nach dem Fixpunktsatz f(k)=k und somit k sowohl Teil des Definitionsbereichs als auch des Werteberechs sein muss. Dann wäre der Grenzwert nun 5, aber das geht nicht, weil 5 nicht Element des Wertebereichs ist. Stimmt das oder ist das Quatsch?

Zu deinem Satz: «Dass der Wertebereich [3;5] ist bedeutet ja, dass die Funktion für alle anderen Zahlen nicht definiert ist. Weißt du's jetzt?»

Meinst Du da nicht Definitionsbereich?

(Ich weiss nicht wie man Zitate macht)

Gruss Frooke
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da meinte ich Definitionsbereich, werd ich gleich editieren.
Naja, du hast den richtigen Ansatz, aber es muss sich nich um k drehen. Wenn man z.B. hat, daraus und dann hat, dann kann man ja gar nicht mehr berechnen, weil f ja für -3 gar nicht definiert ist. Und damit halt die ganze Folge immer definiert ist, müssen Definitions- und Wertebereich übereinstimmen. Klar? Augenzwinkern
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub jetzt seh ichs: Da ja ein Wert aus der Definitionsmenge durch die Funktion immer einen Wert aus dem Wertebereich ergibt, und man den anschliessend wieder einsetzen muss, muss dieser auch Teil des Definitionsbereich sein. Ist daher D=W?

Vielen Dank für alles! Echt nett, wieviel Zeit Du Dir nimmst! Gruss Frooke Freude
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau, deswegen Muss D=W sein Freude
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

JIppie! Tanzen

Und vielen Dank Freude !!!
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