Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung

15.02.2005, 14:47

taatütata

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Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung

Hallo
ich habe da so eine Aufgabe ; ich weiß nicht wo ich anfangen soll ich traurig

traurig

weiß nicht die HB und auch nicht die EB.
Die Aufgabe lautet:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -0,5x^4+4x^2-8 Der Punkt P(u/v) liegt für 0<u<2 auf dem Schaubild K von f. Die Parallelen zu den Koordinatenachsen durch P(u/v) bilden mit den Koordinatenachsen ein Rechteck. Für welchen Wert von u hat das Rechteck den größten Flächeninhalt?
Geben sie den Flächeninhalt an!

Danke

15.02.2005, 14:52

iammrvip

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Der Flächeninhalt einer Rechtecks soll maximal werden.

Für den Flächeninhalt eine Rechtecks gilt

$\begin{eqnarray*} A = a\cdot b \end{eqnarray*}$

das ist schon die Hauptbedingung. Jetzt musst du für die Seiten a und b nur noch geeignete Eigentschaften der Funktion finden.

15.02.2005, 14:56

taatütata

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wie geh ich die aufgabe den konkret an??

15.02.2005, 15:04

iammrvip

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Bei Extremaufgabe ist es immer wichtig, dass man sich erstmal eine Skizze des Sachverhalts macht. Siehe Anhang.

Du sollst im Intervall $\begin{eqnarray*} 0 < x < 2 \end{eqnarray*}$ den Punkt $\begin{eqnarray*} P(u|v) \end{eqnarray*}$ finden, für den das grüne Rechteck den maximalen Flächeninhalt bekommt.

Das bedeutet aber doch, dass der Flächinhalt des Rechtecks maximal werden muss. Für den Flächeninhalt eines Rechtecks gilt $\begin{eqnarray*} A = ab \end{eqnarray*}$ . Jetzt musst du nur noch aus dem Sachverhalt a und b ersetzen.

15.02.2005, 15:08

taatütata

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also den graphen hab ich auch neben mir liegen aber woher weißt du das da das rechteck reinkommt??

15.02.2005, 15:08

taatütata

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an dieser stelle mein ich

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15.02.2005, 15:13

aRo

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naja, lies dir mal die Aufgabenstellung durch.

Siehst du noch eine andere mögliche Position des Rechtecks?

gruß,
aRo

15.02.2005, 15:14

taatütata

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was ist den mit dem punlt P(u/v) der ist doch beliebig oder??
außerdem versteh ich das intervall nicht
0<u<2

15.02.2005, 15:19

aRo

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Zitat:

Der Punkt P(u/v) liegt für 0<u<2 auf dem Schaubild K von f.

das heißt u (also der x-Wert des Punktes) lieft auf dem Graphen von f, wobei u größer als 0 und kleiner als 2 sein muss!

gruß,
aRo

15.02.2005, 15:22

iammrvip

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Das liegt daran, dass u auch andere Werte annimmt, deshalb beschränkt man sich auf dieses Intervall Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das Intervall heißt einfach, dass u irgendeinen Werte zwischen 0 und 2 annimmt, aber dabei 0 und 2 nicht, nur die Zahlen dazwischen.

Das heißt aber auch, dass wird nur das Intervall 0..2 betrachten müssen, denn u ist ja der x-Wert des Punktes $\begin{eqnarray*} P(\underbrace{u}_{{\rm x-Wert}}|\underbrace{v}_{{\rm y-wert}}) \end{eqnarray*}$

15.02.2005, 15:25

taatütata

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also darf das rechteck nur dort liegen wie in der zeichnung??

15.02.2005, 15:32

iammrvip

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Ja. es könnte auch liegen, wie das rote oder grüne Rechteck in der Skizze im Anhang.

Es hat aber immer eine Eckpunkt im Ursprung und einen auf dem Graphen.

Du sollst nun von diesen vielen Rechtecken das finden, dass den größten Flächeninhalt besitzt.

15.02.2005, 15:39

taatütata

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kannst du mir mal den anfang zeigen wie man dies berechnet das größte rechteck?
also die hb ist ja A(rechteck)=a*b
wie ermittel ich die nebenbedingung?

15.02.2005, 15:42

iammrvip

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Wie du aus der Skizze siehst, ist die eine Seite einfach der x-Wert, ne verwirrt

verwirrt

Und die andere Seite ist einfach der y-Wert der Funktion, ne verwirrt

verwirrt

Also erhalten wir

$\begin{eqnarray*} A = x\cdot y \end{eqnarray*}$

15.02.2005, 15:47

taatütata

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ja sorry falsche variabeln aber das ist meine hb
und wie komm ich jetzt weiter?

15.02.2005, 15:51

iammrvip

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Jetzt musst du dir einfach überlegen, wir du y ersetzen kannst.

Denke mal daran, wie berechnest du denn y? Das setzt du einfach ein.

15.02.2005, 15:59

taatütata

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ich kann y doch nicht ersetzen da ich keine seitenlänge habe?

15.02.2005, 15:59

taatütata

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ich hab keine ahnung sorry Hilfe

Hilfe

15.02.2005, 16:03

iammrvip

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Wenn du z.B.

den y-Wert für x = 2 haben willst, rechnest du doch

$\begin{eqnarray*} f(2) = y \end{eqnarray*}$

Also gilt allgemein:

$\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$

das setzt du jetzt einfach statt y in die Hauptbedingung ein und fertig ist die Zielfunktion.

$\begin{eqnarray*} A = x\cdot f(x) \end{eqnarray*}$

------------------------------------------

Bitte nicht verwirrt sein: Da das ganze ja für u gilt, heißt das, dass x = u also

$\begin{eqnarray*} A = u\cdot f(u) \end{eqnarray*}$

15.02.2005, 16:07

taatütata

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also ist A= u*f(u) die nebenbedingung
und das setze ich in die HB ein
also
x*u*f(u)=A

15.02.2005, 16:08

taatütata

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ahh sorry Nb ist Y= f(u)

15.02.2005, 16:08

iammrvip

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Nein, so nicht.

HB: $\begin{eqnarray*} A(x,y) = x\cdot y \end{eqnarray*}$
NB: $\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$

Zf: $\begin{eqnarray*} A(x) = x\cdot f(x) \end{eqnarray*}$ für die Stelle $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ist das dann $\begin{eqnarray*} A(u) = u\cdot f(u) \end{eqnarray*}$

15.02.2005, 16:16

taatütata

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ok wenn ich das jetzt einsetze (nb in Hb)
bekomme ich folgendes raus
A(u)=-0,5x^5+4x^3-8x

davon die ableitungen

A'=-2,5x^4+4x^2-8
A''= -1,x^3+24x

muss die x inder funktion als u erstzen????

15.02.2005, 16:20

Seimon

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Fehler beim Ableiten geschockt

geschockt

15.02.2005, 16:23

iammrvip

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Zitat:

Original von taatütata
A(u)=-0,5x^5+4x^3-8x

Wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} A(u) \end{eqnarray*}$ schreibst, muss du aber auch statt x über all u schreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

die Ableitungen stimmen nicht.

Du kannst auch

$\begin{eqnarray*} A(u) = -\frac{1}{2}u^5 + 4u^3 - 8u \end{eqnarray*}$

schreiben, dann musst du nicht mit den dummen Dezimalzahlen rechnen.

15.02.2005, 16:24

taatütata

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wo ist denn da mein fehler??

15.02.2005, 16:27

iammrvip

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Du hast vergessen die 3 vorzuziehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} A(u) = -\frac{1}{2}u^5 + 4u^3 - 8u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'(u) = -\frac{5}{2}u^4 + 12u^2 - 8 \end{eqnarray*}$

15.02.2005, 16:31

taatütata

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jetzt kann ich doch die A'=0 setzen
damit errechne ich doch jetzt nur u oder??
wenn ich das ganze max. rechteck errechnen will muss ich noch was anderes rechnen???

15.02.2005, 16:35

iammrvip

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Genau.

/edit: Dazu musst du dann noch die andere Seite berechnen.

15.02.2005, 16:37

taatütata

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nee da steht doch auch noch
geben sie den ganzen max flächeninhalt an
setze ich dann den wert von u einfach in die formeln ein und ersetze u?

15.02.2005, 16:40

iammrvip

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Wir wir gesagt haben,

$\begin{eqnarray*} a = u \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = y = f(u) \end{eqnarray*}$

Also kannst du das errechnete u gleich als eine Seite nehmen und die andere Seite muss du noch mit $\begin{eqnarray*} f(u) \end{eqnarray*}$ ausrechnen.

15.02.2005, 16:42

taatütata

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wie berechne ich denn die andere seite???
das versteh ich jetzt nicht

15.02.2005, 16:44

aRo

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schau dir nochmal das bild an!
dann siehst du doch, dass genau das gilt, was iammrvip gerade gesagt hat.

15.02.2005, 16:44

taatütata

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ok danke du hast mir echt weiter geholfen herzlichen dank
*freu* ich versteh mal mathe

15.02.2005, 16:45

iammrvip

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Das ist schön smile

smile

.

Du kannst ja noch dein Ergebnis zur Kontrolle posten.

15.02.2005, 16:46

taatütata

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ok mach ich
bin jetzt fleißig am rechnen Freude

Freude

16.02.2005, 15:28

taatütata

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hallo
hab für u=2 raus aber den max flächenihnalt vom rechteck krieg ich nicht raus verwirrt

verwirrt

16.02.2005, 16:10

iammrvip

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Es kommen aber 4 Ergebnisse raus verwirrt

verwirrt

Dabei entfallen nämlich $\begin{eqnarray*} u = \pm 2 \end{eqnarray*}$ , da das Intervall gleich $\begin{eqnarray*} 0 < u < 2 \end{eqnarray*}$ ist. (nicht "kleiner gleich"!!)

16.02.2005, 16:16

n!

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wenn du substituierst,dann kommen für (z=x²) zwei Lösungen raus.Die 2 ist dabei aber es gibt noch eine andere.Vergiss nicht die Substitution rückgängig zu machen

16.02.2005, 17:01

taatütata

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kannst du mir mal die formel aufschreiben wie man das max flächeninhalt des rechtecks berechnet

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